11.1 余弦定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦余弦定理核心知识点，以隧道施工测距问题导入，通过勾股定理自然过渡到一般三角形边角关系，构建从特殊到一般的知识支架，衔接前后学习脉络。 资料特色在于情境化导入激发兴趣，分四类题型（已知两边及一角、三边解三角形等）配合通性通法指导，强化逻辑推理与数学运算素养，如实际问题应用培养用数学眼光观察世界的能力，助力学生掌握解题方法，为教师提供清晰教学思路与丰富实例。

11.1　余弦定理 新课程标准解读 核心素养 理解余弦定理的证明，并会运用余弦定理解决相关问题 逻辑推理、数学运算 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角∠BAC＝150°. 【问题】　（1）我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？ （2）你能通过上面的结论求出山脚的长度BC吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　余弦定理 1.余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余 弦 定 理 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝　b2＋c2－2bccos A　， b2＝　c2＋a2－2cacos B　， c2＝　a2＋b2－2abcos C　 推论 cos A＝　　， cos B＝　　， cos C＝　　 2.解三角形 我们把三角形的　三个角　和　三条边　叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求　其他元素　的过程叫作解三角形. 1.在△ABC中，符合余弦定理的是（　　） A.c2＝a2＋b2－2abcos C B.c2＝a2－b2－2bccos A C.b2＝a2－c2－2bccos A D.cos C＝ 解析：A　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A. 2.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.余弦定理适用于任何三角形 B.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一 C.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角 D.在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则角C为钝角 解析：AC　对于A，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，它适用于任何三角形，故A正确；对于B，已知两边及夹角时，△ABC唯一，故B错误；对于C，a2＋b2＝c2，由勾股定理的逆定理知C＝90°，故C正确；对于D，若a2＋b2－c2＞0，cos C＝＞0，又C∈（0，π），则角C为锐角，故D错误.故选A、C. 3.在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝　7　. 解析：由余弦定理，得c＝＝＝7. 题型一 已知两边及一角解三角形 【例1】　（链接教科书第92页例1（1））根据下列条件解三角形： （1）在△ABC中，已知b＝8，c＝3， A＝60°，求a的值； （2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形. 解：（1）由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，则a2＝82＋32－2×8×3×cos 60°＝49，所以a＝7. （2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 则32＝a2＋（3）2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0，A＝90°，C＝60°. 通性通法 已知两边及一角解三角形的两种情况 （1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角； （2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. 【跟踪训练】 1.（2024·无锡月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos（A＋B）＝，则c＝（　　） A.4　　　B.　　　C.3　　　D. 解析：D　cos C＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－.又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D. 2.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝　1或2　. 解析：在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB＝c＝，BC＝a＝1，cos A＝，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2. 题型二 已知三边解三角形 【例2】　（链接教科书第92页例1（2））在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 解：根据余弦定理，得cos A＝ ＝＝， ∵A∈（0，π），∴A＝. cos C＝ ＝＝， ∵C∈（0，π），∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 通性通法 已知三角形三边解三角形的方法 　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－bc，则A＝（　　） A.135° B.60°或120° C.45° D.135°或45° 解析：C　a2－b2＝c2－bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝，故A＝45°.故选C. 2.（2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝3∶4∶6，则cos A＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：C　由题意，不妨设a＝3k，b＝4k，c＝6k，k＞0，由余弦定理得，cos A＝＝＝.故选C. 题型三 判断三角形的形状 【例3】　（链接教科书第94页例5）（1）在△ABC中，（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab且2cos A·sin B＝sin C，试判断△ABC的形状； （2）在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断△ABC的形状. 解：（1）∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin（A＋B）. ∵2cos Asin B＝sin C， ∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin（A－B）＝0. ∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°， ∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B. 又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝. ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°， ∴△ABC为等边三角形. （2）由acos B＋acos C＝b＋c，结合余弦定理得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0. ∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形. 通性通法 判断三角形形状的方法 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论： ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2； ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 【跟踪训练】 　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B·cos C，试判断△ABC的形状. 解：将已知等式变形为b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2－＝2bc··， ∴b2＋c2＝＝＝a2. ∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形. 题型四 余弦定理在实际问题中的应用 【例4】　（链接教科书第93页例4）一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6海里，求灯塔与轮船原来的距离. 解：如图，设轮船原来在A处，航行20分钟后到达B处，C为灯塔的位置， 根据条件可得∠BAC＝120°，AB＝18×＝6（海里），BC＝6海里， 由余弦定理可得cos 120°＝＝＝－， 解得AC＝6（AC＝－12舍去）. 因此，灯塔与轮船原来的距离为6海里. 通性通法 利用余弦定理解决实际问题的方法技巧 　　解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到三角形中.这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语. 【跟踪训练】 某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在观测站C北偏西50°，灯塔B在观测站C北偏东70°，求两灯塔A，B之间的距离. 解：依题意知△ABC中，AC＝3 km，BC＝5 km，∠ACB＝120°. 由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49. ∴AB＝7 km.即两灯塔A，B之间的距离为7 km. 1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：A　在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，由AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，可得13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4（舍去）.故选A. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝1，c＝2，则A＝（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 解析：C　由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又A为△ABC的内角，所以A＝60°. 3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为　　km. 解析：在△ABC中，AC＝BC＝1 km，C＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，∴AB＝ km. 4.（2024·苏州月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是　直角　三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 解析：由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形. 1.在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则边长b＝（　　） A.5　　　B.8　　　C.5或－8　　D.－5或8 解析：B　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即49＝9＋b2－3b，所以（b－8）（b＋5）＝0.因为b＞0，所以b＝8. 2.在△ABC中，cos B＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析：A　cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形. 3.在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A. 4.（2024·宿迁月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·＝（　　） A.79 B.69 C.5 D.－5 解析：D　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得cos B＝＝，∴·＝｜｜｜｜cos（π－B）＝5×7×（－）＝－5.故选D. 5.（多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则（　　） A.b＝2 B.b＝2 C.B＝60° D.B＝30° 解析：AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒（b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°.故选A、D. 6.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c2＜a2＋b2＋2abcos 2C，则C的取值可能为（　　） A. B. C. D. 解析：AB　由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＜a2＋b2＋2abcos 2C，整理得cos 2C＋cos C＞0，即2cos2C＋cos C－1＞0，所以（2cos C－1）（cos C＋1）＞0，解得cos C＞或cos C＜－1（舍去），因此cos C＞.又因为C为△ABC的内角，所以C∈.故选A、B. 7.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝　1　. 解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，化简得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1. 8.（2024·无锡第一中学期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边AC的中点，c＝1，BD＝，∠ABD＝，则a＝　　. 解析：由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝1＋2－2×1××＝1，所以AD＝1，AC＝2AD＝2，此时AB2＋AD2＝BD2，即AB⊥AD，所以a＝BC＝＝. 9.在△ABC中，若（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），则A＝　120°　. 解析：∵（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cos A＝＝＝－.∵0°＜A＜180°，∴A＝120°. 10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c. 解：因为sin C＝，且0＜C＜π，所以C＝或C＝. 当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，所以c＝2； 当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，所以c＝2. 综上所述，c的值为2或2. 11.（2024·梅村高中月考）黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形.根据这些信息，则cos 36°＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，＝.设AB＝2x，BC＝（－1）x，则cos 36°＝＝＝.故选B. 12.（多选）在△ABC中，下列结论一定成立的是（　　） A.c＝acos B＋bcos A B.sin（A＋B）＝sin C C.cos（A＋B）＝cos C D.b2＝（a－c）2＋2ac（1－cos B） 解析：ABD　对于A，acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝＝c，故A正确；对 于B，由诱导公式得B正确；对于C，cos（A＋B）＝－cos C，故C错误；对于D，（a－c）2＋2ac（1－cos B）＝a2＋c2－2ac＋2ac－2accos B＝a2＋c2－2accos B＝b2，故D正确.故选A、B、D. 13.在非等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a为最大边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围为　（60°，90°）　. 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则cos A＝＞0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是（60°，90°）. 14.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos（A＋B）＝1. （1）求角C的度数； （2）求AB的长度. 解：（1）cos C＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－，又0°＜C＜180°，所以C＝120°. （2）因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根， 所以 所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝（2）2－2＝10. 所以AB＝. 15.（2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋（cos A－sin A）cos B＝0. （1）求B的大小； （2）若a＋c＝1，求b的取值范围. 解：（1）由已知得，－cos（A＋B）＋cos Acos B－sin A·cos B＝0， 即sin Asin B－sin Acos B＝0. 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0. 又cos B≠0，所以tan B＝. 又0＜B＜π，所以B＝. （2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. 因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3（a－）2＋. 又0＜a＜1，所以≤b2＜1，即≤b＜1， 即b的取值范围为［，1）. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $