章末检测（10） 三角恒等变换-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦三角恒等变换核心知识，涵盖两角和差公式、二倍角公式及应用，从基础公式化简求值到三角形、实际问题综合应用，梳理知识脉络，搭建递进式学习支架。 资料亮点在于题目层次分明，从基础到探究性问题，如正方形空地种植面积问题培养数学眼光，恒等式推广题发展推理思维，解析规范助力学生理解数学语言，提升教师教学效率与学生应用能力。

章末检测（十）　三角恒等变换 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.cos（45°－α）cos（α－15°）－sin（45°－α）sin（α－15°）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：C　原式＝cos[（45°－α）＋（α－15°）]＝cos 30°＝.故选C. 2.下列各式中，值为的是（　　） A.cos2－sin2 B. C.sin 15°cos 15° D. 解析：B　对于A，cos2－sin2＝cos（2×）＝cos＝，故A错误；对于B，＝·＝tan 45°＝，故B正确；对于C ，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故C错误；对于D，＝＝，故D错误.故选B. 3.已知tan（α－β）＝3，tan β＝2，则tan α＝（　　） A.－1 B.1 C.－ D. 解析：A　因为tan α＝tan[（α－β）＋β]＝，又tan（α－β）＝3，tan β＝2，故tan α＝＝－1.故选A. 4.cos 20°·cos 40°·cos 60°·cos 80°＝（　　） A.　 　　B.　 　　C.　　　D. 解析：C　由20°，40°，80°成倍角关系，且sin 2α＝2sin αcos α，则cos α＝，则cos 20°cos 40°·cos 60°cos 80°＝×××＝.故选C. 5.已知cos α＝，α∈，则sin＝（　　） A. B.－ C. D. 解析：A　∵α∈，∴∈，∴sin＝＝＝＝.故选A. 6.若2α∈（－，），tan α＝，则sin（2α－）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：D　因为tan α＝，所以＝.整理得3sin α＝sin2α＋cos2α＝1，则sin α＝，又2α∈（－，），则2α∈（0，），所以cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝1－2sin2α＝，所以sin（2α－）＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝.故选D. 7.已知sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－且α－β∈，α＋β∈，则cos 2β＝（　　） A.1 B.－1 C. D.－ 解析：C　∵α－β∈，sin（α－β）＝，∴cos（α－β）＝－.∵α＋β∈，cos（α＋β）＝－，∴sin（α＋β）＝.∴cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝.故选C. 8.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析：B　∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝＝ ＝，即＝，∴cos（B＋C）＝0，∴cos（π－A）＝0，∴cos A＝0，∵0＜A＜π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形.故选B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知0＜θ＜，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，则下列选项中与tan的值恒相等的有（　　） A. B. C. D. 解析：AD　∵sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴＝，∴tan＝＝＝＝＝＝.故选A、D. 10.已知α，β是锐角，cos α＝，cos（α－β）＝，则cos β＝（　　） A. B. C. D.－ 解析：AC　由α是锐角，cos α＝，则sin α＝＝，又α，β是锐角，则－β∈，得α－β∈，又cos（α－β）＝，则sin（α－β）＝±，则cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×±×＝，得cos β＝或cos β＝.故选A、C. 11.下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C.·（α∈（0，π）） D. 解析：CD　A项，＝＝＝｜tan α｜≠tan α；B项，＝＝tan≠tan α；C项，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tan α，符合；D项，＝＝tan α，符合.故选C、D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知sin（α＋30°）＝，则sin（2α＋150°）＝　　. 解析：sin（2α＋150°）＝sin[2（α＋30°）＋90°]＝cos [2（α＋30°）]＝1－2sin2（α＋30°）＝1－2×（）2＝. 13.△ABC的三个内角分别为A，B，C，当A＝　60°　时，cos A＋2cos取得最大值，这个最大值为　　. 解析：cos A＋2cos＝cos A＋2sin＝1－2sin2＋2sin＝－2sin2＋2sin＋1＝－2·＋，当sin＝，即A＝60°时，＝. 14.计算：cos 40°（1＋）＝　1　. 解析：原式＝cos 40°（1＋）＝cos 40°·＝cos 40°＝cos 40°＝cos 40°＝cos 40°＝＝1. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. （1）求tan（α－β）的值； （2）求α＋β的值. 解：（1）由题可知，cos α＝，cos β＝. 由于α，β为锐角，则sin α＝，sin β＝， 故tan α＝，tan β＝， 则tan（α－β）＝＝＝－. （2）因为tan（α＋β）＝＝1， sin α＝＜，sin β＝＜，即0＜α＋β＜，故α＋β＝. 16.（本小题满分15分）已知cos＝，＜x＜，求的值. 解：＝ ＝ ＝ ＝sin 2x·tan. ∵＜x＜，∴＜x＋＜2π， 又∵cos＝， ∴sin＝－. ∴tan＝－. sin 2x＝sin＝－cos［2（＋x）］＝1－2cos2＝1－2×＝. ∴＝sin 2x·tan＝×＝－. 17.（本小题满分15分）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）； cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）. （1）求出这个常数； （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15° ＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos 30°－（1－cos 30°） ＝1＋－×＝. （2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α， cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α） ＝cos2α＋－sin α·（cos α－sin α） ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝. 18.（本小题满分17分）如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝，其他区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度. （1）求△PAQ的面积S关于θ的函数解析式S（θ）； （2）求面积S的最小值. 解：（1）因为∠BAP＝θ，正方形边长为1百米， 所以AP＝，AQ＝. 如图，过点P作AQ的垂线，垂足为E，则PE＝·， 所以S（θ）＝··＝，θ∈. （2）因为S（θ）＝， 所以当sin＝1，即θ＝时，S（θ）取最小值为－1， 故当θ＝时，面积S的最小值为－1. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx＋1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； （2）设α，β∈，f＝，f（3β＋π）＝，求cos（α＋β）的值. 解：（1）∵f（x）＝2＋1 ＝2＋1 ＝2sin＋1， ∵T＝＝6π，∴ω＝. （2）由（1）得f（x）＝2sin＋1， ∵f＝2sin＋1＝2sin＋1＝－2cos α＋1＝， ∴cos α＝. 又f（3β＋π）＝2sin＋1＝2sin β＋1＝，∴sin β＝. ∵α，β∈，∴sin α＝＝，cos β＝＝. ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $