10.3 几个三角恒等式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦三角恒等式核心内容，涵盖积化和差、和差化积及半角公式。通过引导学生对已学和角差角公式进行加减运算，自主推导新公式，搭建新旧知识衔接的学习支架。 以问题驱动探究，如“如何用和角差角公式表示积的形式”，培养逻辑推理素养。例题与跟踪训练分层设计，强化数学运算能力，半角公式符号讨论渗透严谨思维。助力学生构建知识网络，为教师提供丰富题型与通性通法指导。

10.3　几个三角恒等式 新课程标准解读 核心素养 1.了解积化和差公式、和差化积公式及其推导过程 逻辑推理 2.了解半角公式及其推导过程 逻辑推理 3.能运用积化和差公式、和差化积公式及半角公式进行相关计算、化简和证明 数学运算 　　观察下列学过的两组公式： 　　（1）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β， ① 　　sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β； ② 　　（2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， ③ 　　cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β. ④ 　　尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？ 【问题】　（1）如何用sin（α＋β），sin（α－β）表示sin αcos β及cos αsin β的值？ （2）如何用cos（α＋β），cos（α－β）表示cos αcos β及sin αsin β的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　积化和差公式、和差化积公式 　积化和差 和差化积 【想一想】 1.积化和差公式与和差化积公式之间有什么联系？ 提示：在积化和差公式中，令α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝，则积化和差公式相应变为和差化积公式. 2.积化和差公式与和差化积公式在三角恒等变换中有什么作用？ 提示：和积互化是三角恒等变换中的一种重要的变形手段，是化非特殊角为特殊角的有效方法，也是在三角函数式的化简、求值和证明中，相约或相消的常用方法. 知识点二　半角公式 【想一想】 半角公式中的符号是如何确定的？ 提示：（1）当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据的范围确定符号； （2）如果没有给出确定符号的条件，那么在根号前要保留正负号. 1.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.cos α－cos β＝－2sinsin B.cos＝ C.tan＝ D.tan＝，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z） 解析：AD　对于A，cos α－cos β＝－2sin·sin，故A正确；对于B，cos＝±，故B错误；对于C、D，当α≠2kπ＋π时，tan＝＝，故C错误，D正确.故选A、D. 2.（2024·南京月考）若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝（　　） A.　　B.　　C.　　D.－ 解析：A　因为α∈，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ ＝.故选A. 3.sincos＝　＋　. 解析：sincos＝sin·cos（π＋）＝sincos＝＝×（1＋）＝＋. 题型一 积化和差公式的应用 【例1】　（链接教科书第76页例1）求下列各式的值： （1）sin 37.5°cos 7.5°； （2）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 解：（1）原式＝[sin（37.5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°）] ＝（sin 45°＋sin 30°）＝×（＋）＝. （2）原式＝（sin 90°－sin 50°）－（cos 60°－cos 40°） ＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝. 通性通法 　　在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为sin（α＋β）与sin（α－β）的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos（α＋β）与cos（α－β）的和或差. 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1）2cos 50°cos 70°－cos 20°； （2）sin 80°cos 40°－sin 40°； （3）sin 37.5°sin 22.5°－cos 15°. 解：（1）原式＝cos（50°＋70°）＋cos（50°－70°）－cos 20° ＝cos 120°＋cos 20°－cos 20°＝cos 120°＝－. （2）原式＝[sin（80°＋40°）＋sin（80°－40°）]－sin 40° ＝（sin 120°＋sin 40°）－sin 40°＝. （3）原式＝－[cos（37.5°＋22.5°）－cos（37.5°－22.5°）]－cos 15° ＝－（cos 60°－cos 15°）－cos 15°＝－cos 60°＝－. 题型二 和差化积公式的应用 【例2】　（链接教科书第77页例2）把下列各式化为积的形式： （1）sin x＋sin 3x； （2）cos（15°＋α）－cos（15°－α）. 解：（1）原式＝2sincos＝2sin 2x·cos x. （2）原式＝－2sin·sin＝－2sin 15°sin α. 通性通法 　　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来. 【跟踪训练】 1.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D.1 解析：C　sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80°＝2××sin 80°＋－sin 80°＝.故选C. 2.计算：＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：B　原式＝＝－＝－＝－.故选B. 题型三 应用半角公式求值 【例3】　（链接教科书第78页例3）已知sin α＝－，＜α＜2π，求sin，cos，tan的值. 解：∵＜α＜2π，sin α＝－， ∴cos α＝且＜＜π， ∴sin＝ ＝， cos＝－ ＝－， tan＝＝－. 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 提醒　已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，求值时要注意确定其符号. 【跟踪训练】 1.（2024·常州第一中学月考）sin的值是（　　） A. B. C. D. 解析：B　sin＝＝＝＝＝.故选B. 2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值. 解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，依半角公式得 sin θ＝＝＝， cos θ＝－＝－＝－， 所以tan＝＝＝. 题型四 三角函数式的化简与证明 【例4】　化简： （π＜α＜2π）. 解：原式＝ ＝ ＝.又∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，∴原式＝＝cos α. 通性通法 化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式； （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切； （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方、和积互化等. 【跟踪训练】 1.化简：（1）cos－tan（1＋cos α）； （2）. 解：（1）原式＝－sin α－·（1＋cos α）＝－2sin α. （2）原式＝＝＝＝tan 2α. 2.求证：tan－tan＝. 证明：左边＝－ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边. 所以原等式成立. 1.利用积化和差公式化简sin αsin＝（　　） A.－[cos（α＋β）－cos（α－β）] B.[cos（α＋β）＋cos（α－β）] C.[sin（α＋β）－sin（α－β）] D.[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 解析：D　sin αsin＝sin αcos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）].故选D. 2.sin 75°－sin 15°＝（　　） A. B. C. D.－ 解析：B　sin 75°－sin 15°＝2cossin＝2cos 45°·sin 30°＝.故选B. 3.（2024·扬州月考）若cos α＝－，α是第三象限角，则tan＝　－3　. 解析：∵cos α＝－，α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，∴tan＝＝－3. 4.把下列各式化为积的形式： （1）sin 122°＋sin 36°； （2）cos 75°－cos 23°. 解：（1）原式＝2sincos＝2sin 79°·cos 43°. （2）原式＝－2sinsin＝－2sin 49°·sin 26°. 1.设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin＝（　　） A.　　　　　　　 B. C.－ D.－ 解析：D　∵∈，∴sin＝－＝－.故选D. 2.cos 72°－cos 36°＝（　　） A.3－2 B. C.－ D.3＋2 解析：C　原式＝－2sinsin＝－2sin 54°sin 18°＝－2cos 36°cos 72°＝＝－.故选C. 3.化简＝（　　） A.tan α B.tan 2α C. D. 解析：B　原式＝＝＝tan 2α.故选B. 4.下列四个关系式中正确的是（　　） A.sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ B.cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C.sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ D.sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ 解析：A　A正确，利用和差化积公式得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ；B错误，右边应是2sin 4θsin θ；C错误，右边应是－2cos 4θsin θ；D错误，由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin（－3θ）＝2sin（θ＋）cos（4θ－）.故选A. 5.（2024·徐州月考）若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin（x＋y）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：A　因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos（x－y）＝，因为sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin（x＋y）cos（x－y）＝，所以2sin（x＋y）·＝，所以sin（x＋y）＝.故选A. 6.（多选）tan 75°＝（　　） A.2＋ B. C. D.tan 25°tan 35°tan 85° 解析：ACD　tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋，故A正确；由正切的半角公式知tan 75°＝，故B错误；tan 75°＝＝＝，故C正确；∵tan（60°－α）tan（60°＋α）tan α＝tan 3α，令α＝25°，则tan 75°＝tan 25°tan 35°tan 85°，故D正确.故选A、C、D. 7.（2024·无锡月考）已知sin α＝，且α为钝角，则cos＝　　. 解析：由α是钝角，即90°＜α＜180°，得45°＜＜90°，∴cos α＜0，cos＞0，∴cos α＝－＝－，∴cos＝＝＝. 8.＋＝　　. 解析：＋＝＋＝ ＝＝＝＝2cos 30°＝. 9.已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤π，则cos θ＝　－　，sin＝　　. 解析：∵≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且≤≤.又sin θ＋cos θ＝　①，∴（sin θ＋cos θ）2＝，∴2sin θcos θ＝－，∴（cos θ－sin θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∴cos θ－sin θ＝－　②，联立①②，得∴sin＝sin＝＝＝. 10.（1）设cos（x＋y）sin x－sin（x＋y）cos x＝，且y是第四象限角，求tan的值； （2）已知θ∈，且sin θ＝，求sin，cos，tan的值. 解：（1）∵cos（x＋y）sin x－sin（x＋y）cos x＝，∴sin y＝sin[（x＋y）－x]＝sin（x＋y）cos x－cos（x＋y）sin x＝－， ∵y是第四象限角， ∴cos y＝＝＝， 由半角公式得tan＝＝＝－×＝－. （2）∵θ∈，且sin θ＝， ∴cos θ＝－＝－，又∵∈， ∴sin＝－＝－＝－， cos＝－＝－＝－， tan＝＝＝2. 11.（2024·南通月考）已知cos α＝－且α为第三象限角，则＝（　　） A.－　 　B.　　　C.2　　　D.－2 解析：A　∵cos α＝－，α为第三象限角，∴sin α＝－，∴tan＝＝＝－3，∴＝＝－.故选A. 12.若sin α＋sin β＝（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　∵α，β∈（0，π），∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又y＝cos x在（0，π）上单调递减，∴β＜α，0＜α－β＜π.由已知可得：2sincos＝（－2sin·sin），∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.故选D. 13.（2024·镇江月考）函数y＝sin（x＋10°）＋cos（x＋40°）（x∈R）的最大值是　1　. 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∴y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°）.∴ymax＝1. 14.（1）（2024·淮安质检）已知＜α＜3π，试化简：； （2）已知在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形. 解：（1）∵＜α＜3π，∴＜＜， ∴cos α＜0，sin ＜0. 故原式＝＝＝＝－sin . （2）证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B. 又∵cos A＋cos B＝2cos cos ， ∴2sin cos ＝2cos cos ， 显然cos ≠0，故sin ＝cos ， 两边平方，得sin2 ＝cos2， 即＝， ∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0， ∴2cos Acos B＝0，即cos A＝0或cos B＝0. ∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角， ∴△ABC是直角三角形. 15.已知函数f（x）＝sincos. （1）求f（x）的值域； （2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点. 解：（1）由积化和差公式可知f（x）＝ ＝ ＝sin－， ∵sin∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0]. （2）令f（x）＝0，∴sin＝1， ∴2x－＝＋2kπ，k∈Z， ∴x＝＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]， ∴x＝或x＝，∴f（x）的零点为，. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $