10.1.3 两角和与差的正切-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦“两角和与差的正切”核心知识点，通过网格图形问题情境导入，引导学生基于已学的两角和差正余弦公式推导正切公式，构建知识脉络与学习支架。 资料特色在于分层题型设计（给角求值、给值求值、综合应用），结合高楼测量等实际问题培养数学眼光，通性通法总结提升数学思维，例题与跟踪训练强化数学运算，助力学生掌握公式应用，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

10.1.3　两角和与差的正切 新课程标准解读 核心素养 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 逻辑推理 2.能够运用两角和与差的正切公式解决有关求值、化简等问题 数学运算 　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β. 【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的正切公式 1.正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的正切 公式 tan（α＋β）＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠ 　kπ＋（k∈Z）　 两角差 的正切 公式 tan（α－β）＝ T（α－β） α，β，α－β≠ 　kπ＋（k∈Z）　 提醒　（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； （2） 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）； tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）； 1－tan αtan β＝； 1＋tan αtan β＝. 【想一想】 你能借助两角和与差的正、余弦公式推导出tan（α＋β）与tan（α－β）吗？ 提示：tan（α＋β）＝＝＝＝. 类似地可以推导tan（α－β），也可用－β代替tan（α＋β）中的β，tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝＝. 1.下列说法正确的个数为（　　） ①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立； ②对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立； ③tan能根据公式tan（α－β）直接展开. A.0　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 解析：B　①若α＝，β＝0，则等式成立，所以①正确；②只有当α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z时，公式才成立，所以②错误；③由于按公式展开后出现tan 无意义，故不能按公式tan（α－β）直接展开，所以③错误，故选B. 2.已知tan α＝，则tan＝　7　. 解析：∵tan α＝，∴tan＝＝＝7. 3.已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，则tan αtan β＝　　. 解析：∵tan（α＋β）＝，∴4＝，即1－tan αtan β＝，∴tan αtan β＝. 题型一 给角求值 【例1】　（链接教科书第65页练习2题）求下列各式的值：（1）tan； （2）； （3）tan＋tan＋tantan. 解：（1）tan＝tan（π－） ＝－tan＝－tan（－） ＝－＝－（2－）＝－2. （2）法一　因为tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋. 所以＝＝－. 法二　＝＝tan（45°＋75°）＝tan 120°＝－. （3）tan＋tan＋ tan tan ＝tan＋tantan ＝＋tantan＝. 通性通法 探究公式T（α±β）的逆用及变形应用的解题策略 　　应用两角和与差的正切公式解题时，要注意公式的逆用和常用的公式变形. （1）“1”的代换：在T（α±β）中，如果式子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan； （2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式. 【跟踪训练】 　计算：（1）； （2）tan 10°·tan 20°＋（tan 10°＋tan 20°）. 解：（1）原式＝＝＝＝－1. （2）原式＝tan 10°·tan 20°＋[tan （10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1. 题型二 给值求值（角） 【例2】　（1）（链接教科书第64页例1）若tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan（α＋β）＝（　　） A.3 B.－3 C.±3 D.－1 （2）已知tan α＝，tan β＝且α，β∈，求2α＋β的值. （1）解析：B　由题意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan（α＋β）＝＝＝－3.故选B. （2）解：∵tan α＝，tan β＝且α，β∈， ∴tan（α＋β）＝＝＝＞0， ∴α＋β∈，2α＋β∈（0，π）， ∴tan（2α＋β）＝tan[（α＋β）＋α]＝＝＝1，∴2α＋β＝. 通性通法 1.关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和或差，再根据公式求解. 2.关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 【跟踪训练】 　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角. 求：（1）sin（α－β），tan（α－β）；（2）α＋β. 解：∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－. tan α＝＝－，tan β＝＝－. （1）sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×（－）－（－）×＝－. tan（α－β）＝＝＝－. （2）法一　cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－×（－）－×＝. 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝. 法二　tan（α＋β）＝＝＝－1，由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝. 题型三 两角和与差正切公式的综合应用 【例3】　（1）（链接教科书第66页例4）若A＋B＝，求证：tan Atan B＋tan A＋tan B＝1； （2）（链接教科书第66页例5）如图，在某开发区内新建两栋高楼AB，CD（AC为水平地面），P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角∠BPD＝45°，AB＝AC＝50 m.试求楼CD的高度（测量仪器的高度不计）. 解：（1）证明：左边＝tan Atan B＋tan（A＋B）（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋tan·（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右边. 故当A＋B＝时，tan Atan B＋tan A＋tan B＝1. （2）如图，设∠APB＝α，∠CPD＝β， 则α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α. 依题意，得tan α＝＝＝2， ∴tan β＝tan（135°－α）＝＝＝3， ∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75， 即楼CD的高度为75 m. 通性通法 证明三角恒等式的常用方法 （1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去； （2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边－右边＝0. 【跟踪训练】 1.已知tan α＝2，证明：sin2α＋sin αcos α＝－－. 证明：因为tan α＝2， 所以左边＝＝＝＝. 右边＝－－ ＝－－ ＝－－tan（＋） ＝－－tan＝， 所以左边＝右边， 所以原等式成立. 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值. 解：由AB＋BP＝PD， 得a＋BP＝， 解得BP＝a，PC＝a， 设∠APB＝α，∠DPC＝β， 则tan α＝＝，tan β＝＝， ∴tan（α＋β）＝＝－18， 又∠APD＋α＋β＝π， ∴tan∠APD＝tan[π－（α＋β）]＝－tan（α＋β）＝18. 1.tan 255°＝（　　） A.－2－　　　　　　 B.－2＋ C.2－ D.2＋ 解析：D　tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋.故选D. 2.（多选）若tan β＝，则α＋β的大小可能是（　　） A.－　 　B. C.　 　D.－π 解析：BD　由题意知tan β＝，所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即tan（α＋β）＝1，故α＋β＝＋kπ， k∈Z.当k＝0时，α＋β＝；当k＝－1时，α＋β＝－π.故选B、D. 3.（2024·淮安马坝高中期中）若tan（α＋）＝5，则tan α＝　　. 解析：tan（α＋）＝＝，故＝5，解得tan α＝. 4.已知A，B都是锐角，且A＋B≠，（1＋tan A）·（1＋tan B）＝2.求证：A＋B＝. 证明：∵（1＋tan A）（1＋tan B）＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝2，∴1－tan Atan B＝tan A＋tan B， 又∵A＋B≠，∴1－tan Atan B≠0， ∴＝1，∴tan（A＋B）＝1， 又∵A，B是锐角，∴A＋B＝. 1.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（2，－3），则tan（α－）＝（　　） A.－　　 B.　　　C.1　　　D.5 解析：D　由题意得，tan α＝＝－，所以tan（α－）＝＝＝5.故选D. 2.若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（　　） A. B.－ C.1 D.－1 解析：A　tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝.故选A. 3.（2024·无锡月考）在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由已知，得tan A＋tan B＝（tan Atan B－1），即＝－，∴tan（A＋B）＝－，∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝，∴C＝.故选A. 4.已知tan（α＋β）＝，tan＝，那么tan＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为α＋＝（α＋β）－，所以tan＝tan＝ ＝，故选C. 5.（多选）（2024·常州月考）若tan ＝2，tan β＝－，则（　　） A.tan α＝ B.tan α＝ C.tan（α＋β）＝0 D.tan（α－β）＝ 解析：BC　tan α＝tan＝＝，故A错误，B正确；tan（α＋β）＝＝＝0，故C正确；tan（α－β）＝＝＝，故D错误.故选B、C. 6.（多选）下列式子化简结果为的是（　　） A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B.2（sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°） C. D. 解析：ABC　对于A，利用正切的变形公式可得原式＝，故A正确；对于B，原式＝2（sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°）＝2sin（35°＋25°）＝2sin 60°＝，故B正确；对于C，原式＝＝tan（135°－75°）＝tan 60°＝，故C正确；对于D，由C知，原式＝＝，故D错误.故选A、B、C. 7.在△ABC中，若tan Atan B＞1，那么△ABC是　锐角　三角形. 解析：由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tan A·tan B＞1，可得A，B都是锐角，故tan A和tan B都是正数，∴tan（A＋B）＝＜0，故A＋B为钝角.由三角形内角和为180°可得，C为锐角，故△ABC是锐角三角形. 8.已知tan（α－）＝，tan（β－）＝－，则tan＝　　. 解析：tan＝tan［（α－）＋（β－）］＝＝. 9.（2024·徐州月考）已知＝3，tan（α－β）＝2，则tan（β－2α）＝　　. 解析：由条件知＝＝3，则tan α＝2.因为tan（α－β）＝2，所以tan（β－α）＝－2.故tan（β－2α）＝tan[（β－α）－α]＝＝＝. 10.已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈. （1）求tan β的值； （2）求tan（α＋β）的值，并求出α＋β的值. 解：（1）因为cos β＝，β∈， 所以sin β＝＝，所以tan β＝＝2. （2）tan（α＋β）＝＝＝1. 又α∈，β∈，所以α＋β∈， 所以α＋β＝. 11.（2024·连云港赣榆一中月考）我国古代天文学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤180°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan（α－β）＝，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（　　） A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 解析：B　设第一次“晷影长”是l1，“表高”是h1，太阳天顶距为α，则l1＝h1tan α，设第二次“晷影长”是l2，“表高”是h2，太阳天顶距为β，则l2＝h2tan β，因为第二次的“晷影长”与“表高”相等，则tan β＝1，则＝tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝2.故选B. 12.（多选）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则下列各式正确的是（　　） A.A＋B＝2C B.tan（A＋B）＝－ C.tan A＝tan B D.cos B＝sin A 解析：CD　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝C，∴tan（A＋B）＝，故选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝（1－tan A·tan B）＝，∴tan A·tan B＝　①，又tan A＋tan B＝　②，联立①②，解得tan A＝tan B＝，∴A＝B＝30°，cos B＝sin A，故选项C、D正确.故选C、D. 13.（2024·盐城质检）已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝　　. 解析：∵tan（α＋β）＝＝＝，tan（α＋β＋γ）＝＝＝1，∵α，β，γ∈，∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝＞0，∴α＋β∈，∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝. 14.在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状. 解：tan A＝tan[180°－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝＝＝－， 而0°＜A＜180°，∴A＝120°. tan C＝tan[180°－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝＝＝， 而0°＜C＜180°，∴C＝30°. ∴B＝180°－120°－30°＝30°. ∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形. 15.是否存在锐角α，β，使得（1）α＋2β＝，（2）tan·tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由.（tan＝2－）. 解：假设存在锐角α，β使得（1）α＋2β＝，（2）tan·tan β＝2－同时成立. 由（1）得＋β＝， 所以tan（＋β）＝＝. 又tantan β＝2－， 所以tan＋tan β＝3－， 因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－）x＋2－＝0的两个根， 设方程的两根分别为x1，x2， 解得x1＝1，x2＝2－. 若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾， 所以tan ＝2－，tan β＝1， 所以α＝，β＝， 所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $