10.1.2 第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦两角和与差的正余弦公式应用，通过证明恒等式、灵活拆角求值、综合应用三个题型，衔接已学公式与解题实践，搭建从基础到综合的学习支架。 以“例题-通性通法-跟踪训练”为结构，培养数学思维（逻辑推理、运算能力）和数学眼光（角的关系观察），如拆角求值中角的拆分体现观察能力，证明题强化推理，助力学生掌握解题策略，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

第2课时　两角和与差的正、余弦公式的应用 题型一 证明恒等式 【例1】　（链接教科书第60页例4）证明：＝tan（α＋β）. 证明： ＝ ＝＝＝tan（α＋β），所以原式得证. 通性通法 解决有关的证明问题的策略 　　对于三角函数中的证明问题，首先需要看等号两边式子的结构特征（等式两边的角和三角函数名称之间的关系），确定证明的方向，遵循从繁到简原则，然后利用公式证明. 【跟踪训练】 　已知3sin β＝sin（2α＋β），求证tan（α＋β）＝2tan α. 证明：由已知得3sin[（α＋β）－α]＝sin[（α＋β）＋α]， 即3[sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α]＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α， 即2sin（α＋β）cos α＝4cos（α＋β）sin α， 所以tan（α＋β）＝2tan α. 题型二 灵活拆角求值 【例2】　（链接教科书第60页例5）求的值. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 通性通法 拆角求值问题的思路 （1）在利用两角和与差的余弦、正弦公式时，不能机械地去套公式，而要变通地从本质上使用公式.要注意观察式中出现的多个角之间是否存在一定的关系，在解题过程中可以利用角之间的关系进行拆角来减少角的个数； （2）要把非特殊角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知的角简单变形就能得到的两个角）的和或差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解. 【跟踪训练】 　求值：. 解：原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 题型三 两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用 【例3】　（1）（链接教科书第60页例6）若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，求tan αtan β的值； （2）化简：sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β]. 解：（1）由已知条件得 所以 所以tan αtan β＝＝（－）÷＝－. （2）原式＝sin（α＋β）cos α－{sin[（α＋β）＋α]－sin[（α＋β）－α]} ＝sin（α＋β）cos α－·2cos（α＋β）sin α ＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α ＝sin[（α＋β）－α] ＝sin β. 通性通法 化简三角函数式的方法技巧 （1）正确逆用两角和与差的正、余弦公式，是化简三角函数式的基本途径； （2）化简三角函数式要从分析角之间的关系入手，这是化简三角函数式的一个切入点. 【跟踪训练】 　（2024·苏州月考）已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝　－　. 解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2（sin αcos β＋cos αsin β）＝1，∴sin（α＋β）＝－. 1.＝（　　） A.－1 B.－ C.1 D. 解析：B　因为2cos 10°＝2sin 80°＝2sin（60°＋20°）＝2（sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°）＝cos 20°＋sin 20°，所以＝＝－.故选B. 2.（多选）（2024·镇江月考）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转得到角β，则下列结论中正确的是（　　） A.tan α＝ B.cos β＝－ C.sin（α－β）＝－1 D.sin＝－ 解析：AC　对于A，由题意，得tan α＝＝，故A正确；对于B，由题意，得β＝α＋，所以cos β＝cos＝－sin α＝－＝，故B错误；对于C，sin β＝sin＝cos α＝－，所以sin（α－β）＝－×－×＝－1，故C正确；对于D，sin＝－×＋×＝，故D错误.故选A、C. 3.已知2sin＝cos α，则tan α＝　＋1　. 解析：因为2sin＝cos α，所以2sin αcos－2cos αsin＝cos α，整理得sin α＝（＋1）cos α，即tan α＝＋1. 1.已知0＜α＜，0＜β＜，且sin（α－β）＝－，sin β＝，则sin α＝（　　） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.－ 解析：C　由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，所以cos（α－β）＝＝，cos β＝＝，所以sin α＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）cos β＋cos（α－β）sin β＝－×＋×＝.故选C. 2.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，则cos αcos β＝（　　） A.0 B. C.0或 D.0或± 解析：A　cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0. 3.已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，则 sin 2α＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.又∵cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，∴sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－.∴sin 2α＝sin[（α＋β）＋（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）＝－.故选A. 4.（2024·泰州月考）已知cos（α＋）－sin α＝，则sin（α＋）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：B　∵cos（α＋）－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴sin（α＋）＝sin αcos ＋cos αsin ＝sin α－cos α＝－，故选B. 5.（2024·盐城质检）设α∈（0，），β∈（0，），且tan α＝，则（　　） A.2α－β＝0 B.2α＋β＝ C.2α＋β＝0 D.2α－β＝ 解析：D　∵＝⇒sin α·cos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin（α－β）＝cos α＝sin （－α），∵－＜α－β＜，0＜－α＜，∴α－β＝－α，∴2α－β＝. 6.（多选）已知cos α＝，cos（α＋β）＝－，且α，β∈（0，），则（　　） A.cos β＝ B.sin β＝ C.cos（α－β）＝ D.sin（α－β）＝－ 解析：AC　对于A，因为α∈（0，），cos α＝，所以sin α＝＝＝.又α，β∈（0，），所以α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝＝＝，所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－＋＝，故A正确；对于B，因为β∈（0，），所以sin β＝＝＝，故B错误；对于C，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝，故C正确；对于D，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝，故D错误.故选A、C. 7.＝　　. 解析：原式＝ ＝ ＝＝tan 60°＝. 8.已知sin＝－，则cos x＋cos＝　－1　. 解析：因为sin＝－，所以cos x＋cos（x－）＝cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝sin＝－1. 9.（2024·南京月考）已知sin α＋cos β＝－，cos α－sin β＝，则sin（α－β）＝　－　. 解析：因为sin α＋cos β＝－，cos α－sin β＝，所以（sin α＋cos β）2＝，（cos α－sin β）2＝.所以sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，两式相加可得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，所以2＋2sin αcos β－2cos αsin β＝，即2＋2（sin αcos β－cos αsin β）＝，所以2＋2sin（α－β）＝，解得sin（α－β）＝－. 10.求证：＝tan（α＋β）. 证明：因为左边＝ ＝＝tan（α＋β）＝右边，所以等式成立. 11.已知0＜α＜，sin＝，则＝（　　） A.　　　　　　　B. C. D. 解析：C　因为sin＝，所以（cos α－sin α）＝，所以cos α－sin α＝，所以1－2sin αcos α＝，得sin αcos α＝.因为0＜α＜，所以cos α＋sin α＝＝，所以＝＝＝＝.故选C. 12.（多选）（2024·苏州质检）已知在△ABC中，sin A＋cos A＝m，则下列说法中正确的是（　　） A.m的取值范围是[－，] B.若0＜m＜1，则△ABC为钝角三角形 C.若m＝，则tan A＝－ D.若m＝1，则△ABC为直角三角形 解析：BCD　m＝sin A＋cos A＝sin.对于A，因为A为三角形的内角，所以A∈（0，π），所以A＋∈，所以sin∈（－，1］，则m∈（－1，]，故A不正确；对于B，若0＜m＜1，则0＜sin＜1，0＜sin＜.由A可知，＜A＋＜π，所以＜A＜，故A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确；对于C，若m＝，则sin A＋cos A＝①，（sin A＋cos A）2＝，所以2sin Acos A＝－，所以A为钝角，且sin A－cos A＞0，（sin A－cos A）2＝1－2sin Acos A＝，所以sin A－cos A＝②.由①②解得sin A＝，cos A＝－，所以tan A＝＝－，故C正确；对于D，当m＝1时，sin A＋cos A＝1，所以（sin A＋cos A）2＝1＋2sin Acos A＝1，所以sin Acos A＝0.在△ABC中，sin A≠0，所以cos A＝0，A＝90°，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、C、D. 13.（2024·连云港月考）若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝　　. 解析：由题意知α＋β＝－，所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝cos（α＋β）－sin（α＋β）＝2［cos（α＋β）－sin（α＋β）］＝2sin＝2sin＝2sin ＝. 14.若sin（＋α）＝，cos（－β）＝，且0＜α＜＜β＜，求cos（α＋β）的值. 解：∵0＜α＜＜β＜，∴＜＋α＜π，－＜－β＜0. 又sin（＋α）＝，cos（－β）＝，∴cos（＋α）＝－，sin（－β）＝－. ∴cos（α＋β）＝sin［＋（α＋β）］＝sin［（＋α）－（－β）］＝sin（＋α）cos（－β）－cos（＋α）·sin（－β）＝×－（－）×（－）＝－. 15.已知＜β＜α＜，且 sin 2αsin－cos 2αsin＝，sin 2βcos＋cos 2βsin＝，求sin（2α－2β）的值. 解：由题意，得sin 2αsin－cos 2αsin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝sin＝，sin 2βcos＋cos 2βsin＝sin＝. 因为＜β＜α＜， 所以＜2β＋＜2α＋＜， 则cos＝－，cos＝－， 所以sin（2α－2β）＝sin［－］＝sincos－cossin（2β＋）＝. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $