10.1.1 两角和与差的余弦-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦“两角和与差的余弦”核心知识点，通过向量a=(cos75°,sin75°)与b=(cos15°,sin15°)的点积两种计算方式导入，衔接向量数量积与三角函数，搭建从向量到三角公式的学习支架。 以问题驱动公式推导，用向量法体现逻辑推理，题型分层（直接应用、给角求值等）结合跟踪训练提升数学运算，母题探究培养数学抽象，助力学生构建知识体系，帮助教师高效开展教学。

10.1.1　两角和与差的余弦 新课程标准解读 核心素养 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤 数学抽象、逻辑推理 2.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值 逻辑推理、数学运算 　　设向量a＝（cos 75°，sin 75°），b＝（cos 15°，sin 15°），则向量a与向量b的夹角θ＝60°. 【问题】　（1）分别用公式a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ及a·b＝x1x2＋y1y2计算a·b的值，比较两次计算的结果，你能发现什么？ （2）上述结论能否进行推广？即已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），你能得到什么结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角差的 余弦公式 cos（α－β）＝　cos αcos β＋sin αsin β　 C（α－β） α，β∈R 两角和的 余弦公式 cos（α＋β）＝　cos αcos β－sin αsin β　 C（α＋β） 提醒　（1）公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos（α－β），cos（α＋β）是一个整体；（2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式. 【想一想】 诱导公式cos＝sin α与两角差的余弦公式有何联系？ 提示：诱导公式cos＝coscos α＋sinsin α＝sin α，是两角差的余弦公式的特殊情况. 1.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.cos（60°－30°）＝cos 60°－cos 30° B.∃α，β∈R，cos（α－β）＝cos α－cos β成立 C.对∀α，β∈R，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β都成立 D.∃α，β∈R，cos（α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin β成立 解析：BCD　对于A，cos（60°－30°）＝，cos 60°－cos 30°＝－，故A错误；对于B，若α＝，β＝，cos（α－β）＝cos（－）＝，cos α－cos β＝，故B正确；对于C，由两角差的余弦公式，C正确；对于D，若α＝β＝0，则cos（α＋β）＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1，故D正确.故选B、C、D. 2.coscos－sinsin＝（　　） A.　　　　　　　　　　B. C. D.1 解析：B　coscos－sinsin＝cos＝cos＝，故选B. 3.已知sin＝，α∈，则cos＝　－　. 解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，所以cos＝cos α＋sin α＝－. 题型一 两角和与差的余弦公式的直接应用 【例1】　（1）（链接教科书第54页例1）利用两角和（差）的余弦公式证明： ①cos（＋α）＝－sin α；②cos（＋α）＝sin α. （2）利用两角和（差）的余弦公式化简： ①cos（＋α）＋cos（－α）；②sin（α－β）sin α＋cos（β－α）cos α. 解：（1）证明：①cos（＋α）＝coscos α－sinsin α＝－sin α. ②cos（＋α）＝coscos α－sinsin α＝sin α. （2）①原式＝（coscos α－sinsin α）＋（cos·cos α＋sinsin α）＝cos α. ②原式＝cos αcos（β－α）－sin αsin（β－α）＝cos[α＋（β－α）]＝cos β. 通性通法 1.利用两角和与差的余弦公式可对一些等式进行证明. 2.对有些复杂的式子，要先化简或变形，只有当式子结构与公式结构完全一致时，才可使用两角和（差）的余弦公式. 【跟踪训练】 1.cos（30°＋α）－cos（30°－α）＝（　　） A.sin α B.cos α C.－sin α D.－cos α 解析：C　原式＝（cos 30°cos α－sin 30°sin α）－（cos 30°cos α＋sin 30°sin α）＝－2sin 30°sin α＝－sin α.故选C. 2.cos（α－β）cos（α＋β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝（　　） A.cos 2α B.－cos 2α C.cos 2β D.－cos 2β 解析：C　原式＝cos[（α－β）－（α＋β）]＝cos（α－β－α－β）＝cos（－2β）＝cos 2β.故选C. 题型二 给角求值 【例2】　（链接教科书第55页例2）计算： （1）cos（－75°）； （2）cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°； （3）sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°； （4）cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°. 解：（1）原式＝cos（45°－120°）＝cos 45°cos 120°＋sin 45°sin 120°＝×＋×＝. （2）原式＝cos（15°－105°）＝cos（－90°）＝cos 90°＝0. （3）原式＝－（cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°）＝－cos（34°＋26°）＝－cos 60°＝－ . （4）原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝. 通性通法 利用公式C（α±β）求值的方法技巧 　　在利用两角差（和）的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（和）（或同一个非特殊角与特殊角的差（和）），运用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差（和）的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值. 【跟踪训练】 1.cos（－15°）＝（　　） A. B. C. D.－ 解析：C　cos（－15°）＝cos 15°＝cos（60°－45°）＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝，故选C. 2.（2024·徐州月考）cos 105°＋sin 105°＝　　. 解析：cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos（60°－105°）＝cos（－45°）＝. 题型三 给值求值 【例3】　（1）（链接教科书第55页例3）已知sin α＝，α∈（0， ），cos β＝－，β∈（π，），求cos（α－β）的值； （2）已知α，β∈（0，），且cos α＝，cos（α＋β）＝－，求cos β的值. 解：（1）由sin α＝，α∈（0，），得cos α＝＝＝. 又由cos β＝－，β∈（π，），得sin β＝－＝－＝－. ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×（－）＋×（－）＝－. （2）∵α，β∈（0，），∴0＜α＋β＜π. 由cos（α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝＝＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝. ∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋×＝. 通性通法 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角； （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）. 【跟踪训练】 　（2024·泰州月考）已知cos α＝，sin（α－β）＝，且α，β∈（0，），则cos（2α－β）＝　　. 解析：因为α，β∈（0，），所以α－β∈（－，）.又因为sin（α－β）＝＞0，所以0＜α－β＜.又cos α＝，所以sin α＝＝，cos（α－β）＝＝.所以cos（2α－β）＝cos[α＋（α－β）]＝cos αcos（α－β）－sin αsin（α－β）＝×－×＝. 题型四 给值求角 【例4】　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝　　. 解析：∵α，β均为锐角，∴cos α＝，cos β＝.∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜.故α－β＝. 【母题探究】 （变条件）若本例中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝　－　. 解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0，故α－β＝－. 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 【跟踪训练】 （2024·无锡月考）若cos（α＋β）＝，sin（α－β）＝，且＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，则2β＝　π　. 解析：因为cos（α＋β）＝，且＜α＋β＜2π，所以sin（α＋β）＝－.因为sin（α－β）＝，且＜α－β＜π，所以cos（α－β）＝－.所以cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝－1.又易得＜2β＜，所以2β＝π. 1.cos 105°＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　原式＝－cos 75°＝－cos（45°＋30°）＝－（cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°）＝－×＋×＝. 2.（多选）若cos 5xcos（－2x）－sin（－5x）sin 2x＝0，则x的值可能是（　　） A.　 　B. C.　　　D. 解析：BD　由题意知cos 5xcos 2x＋sin 5xsin 2x＝0，即cos（5x－2x）＝0，cos 3x＝0，∴3x＝＋kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z，经检验B、D成立，A、C不成立.故选B、D. 3.化简：cos（60°－θ）－cos（60°＋θ）＝　　. 解析：原式＝cos 60°cos θ＋sin 60°sin θ－（cos 60°·cos θ－sin 60°sin θ）＝2sin 60°sin θ＝sin θ. 4.（2024·苏州月考）若x∈，且sin x＝，则2cos＋2cos x＝　　. 解析：因为x∈，sin x＝，所以cos x＝－.所以2cos＋2cos x＝2（cos x·cos＋sin xsin）＋2cos x＝2（－cos x＋sin x）＋2cos x＝sin x＋cos x＝－＝. 1.cos 15°cos 105°－sin 15° sin 105°＝（　　） A.　　　　　　　 　B. C.－ D.－ 解析：C　原式＝cos（15°＋105°）＝cos 120°＝－cos 60°＝－.故选C. 2.已知点P（1，）是角α终边上一点，则cos＝（　　） A. B. C.－ D. 解析：A　由题意知cos α＝＝，sin α＝＝，∴cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.故选A. 3.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos（β－α）＝（　　） A.－　 　B. C.　　　D.－ 解析：A　因为α∈，所以sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos（β－α）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.故选A. 4.（2024·苏州月考）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x，y的大小关系为（　　） A.y＜x B.y＜－x C.x＜y D.x≤y 解析：A　因为x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，所以y－x＝cos Acos B－sin Asin B＝cos（A＋B），因为△ABC为锐角三角形，所以＜A＋B＜π，所以cos（A＋B）＜0，即y－x＜0，所以y＜x.故选A. 5.（多选）下面各式中正确的是（　　） A.cos＝coscos－sin B.cos＝sin－coscos C.cos＝coscos＋ D.cos＝cos－cos 解析：ABC　∵cos＝coscos－sinsin＝coscos－sin，∴A正确；∵cos＝－cos＝－cos＝sin－coscos，∴B正确；∵cos＝cos（－）＝coscos＋，∴C正确；∵cos＝cos≠cos－cos，∴D错误.∴故选A、B、C. 6.（多选）（2024·宿迁如东中学期中）下面各式化简正确的是（　　） A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B.cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝cos 15° C.sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45° D.cos（α－）＝cos α＋sin α 解析：AC　对于A，cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos（80°－20°）＝cos 60°，故A正确；对于B，cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝cos（45°＋30°）＝cos 75°≠cos 15°，故B错误；对于C，sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos（α＋45°）cos α＋sin（α＋45°）sin α＝cos[（α＋45°）－α]＝cos 45°，故C正确；对于D，cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α，故D错误.故选A、C. 7.化简：cos（20°＋x）cos（25°－x）－cos（70°－x）·sin（25°－x）＝　　. 解析：原式＝cos[（20°＋x）＋（25°－x）]＝cos 45°＝. 8.已知cos α＝，且α为第一象限角，则cos（＋α）＝　　. 解析：∵cos α＝，α为第一象限角，∴sin α＝＝，∴cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝. 9.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝，则cos αcos β＝　　，sin αsin β＝　－　. 解析：因为 所以两式相加得cos αcos β＝，两式相减得sin αsin β＝－. 10.（2024·南京六校联合体期中）已知cos α＝，α∈（－，0）. （1）求cos（α－）的值； （2）若sin（α＋β）＝－，β∈（0，），求β的值. 解：（1）由sin2α＋cos2α＝1， cos α＝，α∈（－，0），可得sin α＝－， ∴cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝×＋（－）×＝. （2）由α∈（－，0），β∈（0，），可得α＋β∈（－，）， 又sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，sin（α＋β）＝－，∴cos（α＋β）＝， 则cos β＝cos（α＋β－α）＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋（－）×（－）＝， 由β∈（0，），可得β＝. 11.（2024·泗阳实验高中月考）已知角α，β满足tan αtan β＝－3，cos（α＋β）＝，则cos（α－β）＝（　　） A.－　 　B.－1 C.－　 　D. 解析：A　∵tan αtan β＝＝－3，∴sin αsin β＝－3cos αcos β，∵cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝4cos αcos β＝，∴cos αcos β＝，∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－2cos αcos β＝－.故选A. 12.（多选）满足cos αcos β＝＋sin αsin β的一组α，β的值是（　　） A.α＝，β＝ B.α＝，β＝ C.α＝，β＝ D.α＝，β＝－ 解析：AD　由cos αcos β＝＋sin αsin β，得cos α cos β－sin αsin β＝cos（α＋β）＝.选项A中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝cos＝，所以A正确；选项B中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝－，所以B不正确；选项C中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝－，所以C不正确；选项D中，α＝，β＝－，cos（α＋β）＝cos＝，所以D正确.故选A、D. 13.已知α∈，且cos＝－，则sin＝　　，cos α＝　　. 解析：∵α∈，∴α＋∈，∴sin＝＝，∴cos α＝cos＝coscos＋sin（α＋）sin＝×＋×＝. 14.若sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜β＜，求角α＋β的值. 解：因为＜α＜，所以－＜－α＜0， 因为＜β＜，所以＜＋β＜， 由已知可得cos＝，cos＝－， 则cos（α＋β）＝cos＝coscos＋sin（＋β）sin＝×＋× ＝－. 因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 15.如图，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. （1）求cos（α＋π）的值； （2）将点P与原点距离保持不变，逆时针旋转β（0＜β＜π）角到点Q（－3，4），求cos β的值. 解：（1）因为α的终边过点P，所以OP＝＝5，由三角函数的定义得cos α＝＝，所以cos（α＋π）＝－cos α＝－. （2）由题意知cos（α＋β）＝－，sin（α＋β）＝， 由（1）知sin α＝＝， 所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋×＝－. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $