9.4 向量应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦向量在平面几何与物理中的应用，通过生活中“共提水桶”“引体向上”等实例导入，衔接向量运算知识，构建从向量表示到问题解决的学习支架，梳理应用脉络。 以生活情境培养数学眼光，结合引体向上拉力计算、正方形中垂直证明等例题，发展逻辑推理与数学建模素养，通性通法总结助力解题策略形成。帮助学生提升应用能力，为教师提供系统案例与分层练习，提升教学效率。

9.4　向量应用 新课程标准解读 核心素养 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 逻辑推理、直观想象 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学建模 　　在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力. 【问题】　你能从数学的角度解释上述现象吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量的应用 1.用向量运算解决平面几何问题的“三步法” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将　平面几何问题　转化为向量问题； （2）通过　向量运算　，研究几何元素之间的关系； （3）把　运算结果　“翻译”成几何关系. 2.平面向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等； （2）向量的加减运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中； （3）动量mv是向量的数乘运算； （4）功是力F与所产生的位移s的数量积. 1.（多选）下列说法中，正确的是（　　） A.若点B是线段AC的中点，则有＋＝2 B.若∥，则直线AB与CD平行 C.若∥，则A，B，C三点共线 D.物理学中的功是一个向量 答案：AC 2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（　　） A.v1－v2 B.v1＋v2 C.｜v1｜－｜v2｜ D.｜｜ 解析：B　由向量的加法法则可知逆风行驶的速度为v1＋v2.故选B. 3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边的中线AD的长为　　. 解析：BC的中点为D（，6），＝（－，5），∴｜｜＝＝. 题型一 向量在物理中的应用 【例1】　（链接教科书第41页例1）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某体重为m（单位：kg）的学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，求该学生的体重.（参考数据：重力加速度g＝10 m/s2，≈1.732.结果保留一位小数） 解：如图所示，该学生所受到的重力为G＝mg. 由题意得，｜G｜＝｜F'｜，F'＝F1＋F2. 所以｜F'｜2＝｜F1＋F2｜2＝＋＋2F1·F2＝4002＋4002＋2×400×400×cos 60°＝3×4002， 所以｜F'｜＝400.所以｜G｜＝400， 即该学生的体重为m＝≈69.3（kg）. 故该学生的体重约为69.3 kg. 通性通法 用向量方法解决物理问题的四个步骤 【跟踪训练】 　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°；｜F2｜＝4 N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功. 解：如图，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1＝（1，），F2＝（2，2），F3＝（－3，3）， ∴F＝F1＋F2＋F3＝（2－2，2＋4）. 又位移s＝（4，4）， ∴合力F所做的功W＝F·s＝（2－2）×4＋（2＋4）×4＝4×6＝24（J）. ∴合力F所做的功为24 J. 题型二 向量在平面几何问题中的应用 角度1　利用向量证明平面几何问题 【例2】　（链接教科书第41页例2）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一　设＝a，＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二　建立如图 所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），＝（2，1），＝（1，－2）. 因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE. 通性通法 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）利用向量基底法求解：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）利用向量坐标法求解：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 角度2　利用向量求线段的长度问题 【例3】　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而｜｜＝｜a－b｜＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴｜｜＝，即AC＝. 通性通法 利用向量法求长度的策略 （1）根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解； （2）建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式，若a＝（x，y），则｜a｜＝. 【跟踪训练】 1.（2024·宿迁质检）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则｜｜＝（　　） A.　　　B.2　　C.3　　　D.2 解析：B　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.设｜｜＝a（a＞0），则A（0，0），C（4，a），D（0，a），E（2，0），所以＝（2，－a），＝（4，a）.因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8.所以a＝2，所以＝（2，－2），所以｜｜＝ ＝2. 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 证明：以直角顶点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设CA＝1，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），D. ∴＝. 又AE＝2EB，∴E， ∴＝， ∴·＝（－1）×＋×＝0， ∴⊥，∴AD⊥CE. 1.当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为｜F｜，若｜F｜＝｜G｜，则θ＝（　　） A.30°　　　　 　　　　B.60° C.90° D.120° 解析：D　作＝F1，＝F2，＝－G（图略），则＝＋，当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC，△OBC均为正三角形，所以∠AOC＝∠BOC＝60°. 从而∠AOB＝120°.故选D. 2.河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为　2　m/s. 解析：由题意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，作出示意图如图.∴｜v｜＝＝＝2（m/s）. 3.（2024·南通月考）在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋（＋），则｜｜＝　1　. 解析：∵＝＋（＋），∴－＝（＋），＝（＋），∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴｜｜＝1. 4.已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°. 解：如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D（2，3）， 设P（0，b）（0≤b≤3）， 则＝（1，3），＝（－1，b）， ∴cos∠PED＝ ＝＝. 整理得2b2－3b－2＝0， 解得b＝2，b＝－（舍去）， ∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°. 1.已知两个力F1＝（1，2），F2＝（－2，3）作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝（　　） A.（1，－5）　　　 　　　B.（－1，5） C.（5，－1） D.（－5，1） 解析：A　根据力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝（－1，5），因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，则F3＝（1，－5）.故选A. 2.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为（　　） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析：D　由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.由·＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形. 3.（2024·徐州月考）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎物的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为（　　） A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 解析：C　如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知｜｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜｜＝｜v2｜＝＝.故选C. 4.（2024·淮安月考）正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，＝（1，），＝（，1），故cos∠DOE＝＝＝. 5.（多选）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是（　　） A.｜｜2＝· B.｜｜2＝· C.｜｜2＝· D.｜｜2＝ 解析：ABD　由·＝｜｜｜｜cos A＝｜｜·｜｜，由射影定理可知A正确；由·＝｜｜｜｜·cos B＝｜｜｜｜，由射影定理可知B正确；由·＝｜｜｜｜cos（π－∠ACD）＜0，又｜｜2＞0，即C错误；由题意可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以｜｜｜｜＝｜｜·｜｜，又由A、B可得｜｜2＝，即D正确.故选A、B、D. 6.（多选）在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题中是真命题的有（　　） A.若a·b＜0且b·c＜0，则△ABC为锐角三角形 B.若a·b＞0，则△ABC为钝角三角形 C.若a·b＝c·b，则△ABC为等边三角形 D.若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形 解析：BD　对于A，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＜0，则cos C＞0，则角C为锐角，同理，由b·c＜0可知角A为锐角，但角B不一定是锐角，故A错误；对于B，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＞0，则cos C＜0，则角C为钝角，故B正确；对于C，由a·b＝c·b，得（a－c）·b＝0，即（－）·＝（＋）·＝0，即（＋）·（－）＝－＝0，故｜｜＝｜｜，故△ABC为等腰三角形，故C错误；对于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2＝（b－c）2，即｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，化简得·＝0，故A＝，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、D. 7.如图所示，在倾斜角为37°，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为　0　J，重力对物体m所做的功为　98　J（g＝9.8 m/s2，sin 37°＝0.6）. 解析：物体m的位移大小为｜s｜＝＝（m），则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 90°＝0（J）；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝｜G｜｜s｜cos 53°＝5×9.8××0.6＝98（J）. 8.（2024·苏州月考）已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为　1　. 解析：由题意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，｜｜＝｜｜.由⊥得（a－b）·（a＋b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，由｜｜＝｜｜得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜｜＝｜｜＝，所以S△OAB＝××＝1. 9.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·（＋）的最小值为　－2　. 解析：因为M为BC的中点，所以＋＝2，则·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos 180°＝－2｜｜｜｜.设OA＝x（0≤x≤2），则OM＝2－x.令y＝x（2－x）（0≤x≤2），则ymax＝1，所以·（＋）的最小值为－2. 10.如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段AC的中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM.求证：NT∥BM. 证明：记＝a，＝b， 则＝＋＝－a＋b， ＝＋＝－＋. 而＝a＋b，＝＋＝a＋b， 所以＝－（a＋b）＋（a＋b）＝－a＋b， 所以＝4，所以NT∥BM. 11.某江南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小｜v1｜＝8 km/h，水流的速度的大小｜v2｜＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，cos θ＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：D　如图，设船的实际速度为v.由题知北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴cos θ＝－cos（π－θ）＝－＝－＝－.故选D. 12.（多选）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　） A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N B.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0 C.当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N D.当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N 解析：ACD　对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，G与F2的合力为0，所以｜F2｜＝4N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确. 13.如图，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，点A，B分别在直线m，n上，且｜＋｜＝5，则·的最大值为　4　. 解析：由题意，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，可得平行线m，n间的距离为3，以直线m为x轴，以过点P且与直线m垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示，则由题意可得点P（0，1），直线n的方程为y＝3.设点A（a，0），点B（b，3），则＝（a，－1），＝（b，2），所以＋＝（a＋b，1）.因为｜＋｜＝5，所以（a＋b）2＋1＝25，所以a＋b＝2或a＋b＝－2（舍去）.当a＋b＝2时，·＝ab－2＝a（2－a）－2＝－a2＋2a－2＝－（a－）2＋4.所以当a＝时，·取得最大值，最大值为4. 14.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（注：cos（θ－45°）＝） 解：设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭， ∠OPQ＝θ－45°. ∵＝＋， ∴＝（＋）2＝＋＋2·. ∴＝＋－2｜｜｜｜cos（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）. 依题意得≤（60＋10t）2， 解得12≤t≤24. 从而12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 15.（2024·常州月考）我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设e＝（A，B）是直线l的一个方向向量，那么n＝（－B，A）就是直线l的一个法向量（如图①）.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离. 已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量n上的投影向量为（｜｜cos θ）（θ为向量n与 的夹角），其模就是点P到直线l的距离d，即d＝（如图②）.据此，请解决下面的问题：已知点A（－4，0），B（2，－1），C（－1，3），求点A到直线BC的距离. 解：由题意，得直线BC的一个方向向量e＝＝（－3，4），则n＝（－4，－3）为BC的一个法向量， 又＝（6，－1）， ∴点A到直线BC的距离d＝＝＝. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $