9.3.3 向量平行的坐标表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦“向量平行的坐标表示”核心知识点，通过对比向量垂直坐标条件（x₁x₂+y₁y₂=0），提出“坐标如何反映平行”等问题，引导学生从垂直迁移到平行，构建知识脉络。 资料以问题驱动教学，通过“坐标是否成比例”等问题链培养数学眼光，例题涵盖判定、参数求解、三点共线等题型，用坐标法解决几何问题，体现逻辑推理与数学运算素养。分层训练帮助学生夯实基础，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

9.3.3　向量平行的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量共线的条件 数学运算 2.会用坐标表示平面向量共线的条件解决问题 逻辑推理 　　在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示.设向量a＝（x1，y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2满足关系x1x2＋y1y2＝0. 【问题】　（1）怎样用坐标反映两向量平行呢？ （2）当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量平行的坐标表示 　设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），则a∥b⇔　x1y2－x2y1＝0　. 提醒　（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b⇔＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 【想一想】 两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成＝吗？ 提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义. 1.（多选）下列说法中，正确的是（　　） A.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则＝ B.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则x1y2＝x2y1 C.向量a＝（2，3）与向量b＝（－4，－6）同向 D.若a＝（－3，2），b＝（6，－4），则a∥b 解析：BD　对于A，当y1y2＝0时不成立，故A错误；对于C中，向量（2，3）与向量（－4，－6）反向，故C错误；B、D正确.故选B、D. 2.若向量a＝（1，2），b＝（2，3），则与a＋b共线的向量可以是（　　） A.（2，1） 　B.（－1，2） 　C.（6，10）　 D.（－6，10） 解析：C　a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝（6，10）.故选C. 3.（2024·无锡月考）已知A（1，1），B（2，－4），C（x，－9），且∥，则x＝　3　. 解析：＝（1，－5），＝（x－1，－10），根据∥，得－5（x－1）＝1×（－10），解得x＝3. 题型一 向量共线的判定与证明 【例1】　（1）下列各组向量是平行向量的有（　　） A.a＝，b＝（－2，－3） B.a＝（0.5，4），b＝（－8，64） C.a＝（2，3），b＝（3，4） D.a＝（2，3），b＝ （2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ （1）解析：A　A：×（－3）－×（－2）＝－＋＝0，∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行.C：2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D：2×2－3×＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行. （2）解：＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）. 法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和 方向相反. 法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反. 通性通法 向量共线的判定与证明的方法 （1）利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b； （2）利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0. 【跟踪训练】 　已知A，B，C三点的坐标分别为A（－1，0），B（3，－1），C（1，2），且＝，＝，求证：∥. 证明：由题意知＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1）， ∴＝＝，＝＝， 设点E（x1，y1），F（x2，y2）. ∴＝（x1，y1）－（－1，0）＝，＝（x2，y2）－（3，－1）＝. ∴（x1，y1）＝，（x2，y2）＝， ∴＝（x2，y2）－（x1，y1）＝. ∵4×－（－1）×＝0， ∴∥. 题型二 利用向量共线求参数 【例2】　（链接教科书第39页例1）（1）已知向量a＝（1，2），b＝（λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值； （2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a与b共线且方向相同，求x. 解：（1）a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4）， 2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2）， 由（a＋2b）∥（2a－2b）， 可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0， 解得λ＝. （2）∵a＝（x，1），b＝（4，x），a∥b， ∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2. 当x＝2时，a＝（2，1），b＝（4，2），a与b共线且方向相同； 当x＝－2时，a＝（－2，1），b＝（4，－2）， a与b共线且方向相反.∴x＝2. 通性通法 利用向量共线的坐标表示求参数的思路 （1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数； （2）利用向量共线的坐标表示直接求参数. 提醒　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解. 【跟踪训练】 　已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），点P坐标满足＝＋t（t∈R）. （1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？ （2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由. 解：（1）＝＋t＝（1， 2）＋t（3， 3）＝（1＋3t， 2＋3t）. 如果点P在x轴上，有2＋3t＝0，解得t＝－； 如果点P在y轴上，有1＋3t＝0，解得t＝－. （2）假设四边形OABP为平行四边形，则有＝. 又因为＝（1＋3t， 2＋3t）， ＝（3， 3）， 所以此方程组无解， 故四边形OABP不能构成平行四边形. 题型三 坐标法判断三点共线问题 【例3】　如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： （1）DE∥BC； （2）D，M，B三点共线. 证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令｜｜＝1，则｜｜＝1，｜｜＝2. ∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形. ∴E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）. （1）∵＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1），＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1），∴＝，∴∥，即DE∥BC. （2）连接MB，MD.∵M为CE的中点，∴M， ∴＝（－1，1）－＝，＝（1，0）－＝. ∴＝－，∴∥. 又与有公共点M，∴D，M，B三点共线. 通性通法 1.三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：（1）证明向量平行；（2）证明两个向量有公共点. 2.若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线. 【跟踪训练】 　已知向量＝（7，6），＝（－3，m），＝（－1，2m），若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A.　　　　　　　　　 B. C.－ D.－ 解析：D　＝＋＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－.故选D. 1.已知向量a＝（cos α，－2），b＝（sin α，1）且a∥b，则tan α＝（　　） A.－1 B.－ C. D.1 解析：B　因为a∥b，所以cos α＋2sin α＝0，所以tan α＝－.故选B. 2.设向量a＝（－3，4），向量b与向量a方向相反，且＝10，则向量b的坐标为（　　） A. B.（－6，8） C. D.（6，－8） 解析：D　由题意不妨设b＝（－3m，4m）（m＜0），则＝＝10，解得m＝－2或m＝2（舍去），所以b＝（6，－8）.故选D. 3.（2024·常州月考）已知A（1，－3），B（8，），C（9，λ），且A，B，C三点共线，则λ＝　1　. 解析：由A（1，－3），B（8，），C（9，λ），可得＝（7，），＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得∥，则7（λ＋3）－8×＝0，解得λ＝1. 4.已知向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，求： （1）实数x，y的值； （2）｜a＋b｜的值. 解：（1）由a⊥c得2x－4＝0，则x＝2. 由b∥c得－4＝2y，则y＝－2. （2）｜a＋b｜＝＝. 1.下列各组向量中，共线的是（　　） A.a＝（－1，2），b＝（，1） B.a＝（3，），b＝（2，） C.a＝（2，3），b＝（2，－3） D.a＝（－3，2），b＝（3，－2） 解析：D　选项A中，2×－（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有a∥b. 2.已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若（ma＋nb）∥（a－2b），则＝（　　） A.－2 B.2 C.－ D. 解析：C　由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝（4，－1），因为（ma＋nb）∥（a－2b），所以－（2m－n）－4（3m＋2n）＝0.所以＝－.故选C. 3.已知向量a＝（－1，m），b＝（2，－4），c＝（m，6），若a∥b，则b＋c与a的夹角为（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为a∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝（2，6），b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，则（b＋c）⊥a，故b＋c与a的夹角为. 4.（2024·常州月考）已知＝（k，2），＝（1，2k），＝（1－k，－1），且相异三点A，B，C共线，则实数k＝（　　） A.－ B.1 C.－或1 D.－1或 解析：A　＝－＝（1－k，2k－2），＝－＝（1－2k，－3），由题意可知∥，所以（－3）×（1－k）－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－（k＝1不合题意舍去）. 5.（多选）已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），则下列叙述中正确的是（　　） A.不存在实数x，使a∥b B.存在实数x，使（a＋b）∥a C.存在实数x，m，使（ma＋b）∥a D.存在实数x，m，使（ma＋b）∥b 解析：AD　由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A正确；a＋b＝（x－3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x）＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误；ma＋b＝（mx－3，3m＋x），由（ma＋b）∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0，即x2＝－9，无实数解，故C错误；由（ma＋b）∥b，得－3（3m＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2＋9）＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确.故选A、D. 6.（多选）已知向量a＝（1，－2），b＝（t，1），若a＋b与3a－2b共线，则下列结论正确的是（　　） A.t＝ B.＝ C.a·b＝－ D.a∥b 解析：BCD　由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋1，－1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－8），因为a＋b与3a－2b共线，所以－8×（t＋1）＋1×（3－2t）＝0，得到t＝－，则＝＝，a·b＝－－2＝－，a＝－2b，即a∥b.故选B、C、D. 7.（2024·徐州月考）已知向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）方向相同，则实数m＝　　. 解析：由向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）共线，得m（2m＋1）－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝.当m＝－2时，a＝（－2，2），b＝（3，－3）＝－a，a与b方向相反，不符合题意；当m＝时，a＝（，2），b＝（3，4）＝2a，a与b方向相同，符合题意.故实数m的值为. 8.已知a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y）.若a∥b，（a＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），则向量｜｜＝　8　. 解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝（6，－3），b－c＝（1，－2－y）.因为（a＋b）⊥（b－c），所以（a＋b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所以y＝－4.所以向量＝（y－x，x－y）＝（－8，8），＝8. 9.（2024·南通质检）已知向量＝（3，－4），＝（0，－3），＝（5－m，－3－m），若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为　　. 解析：∵A，B，C不能构成三角形，∴A，B，C三点共线，∴与共线.又＝（－3，1），＝（5－m，－m），∴（－3）·（－m）－（5－m）＝0，即m＝. 10.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－2），C（4，1）. （1）若＝，求D点的坐标； （2）设向量a＝，b＝，若向量ka－b与a＋3b平行，求实数k的值. 解：（1）设D（x，y）.因为＝，所以（2，－2）－（1，3）＝（x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝（x－4，y－1）， 所以解得所以D（5，－4）. （2）因为a＝＝（1，－5），b＝＝（4，1）－（2，－2）＝（2，3）， 所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－3）， a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）. 因为向量ka－b与a＋3b平行， 所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－. 11.（2024·盐城月考）已知a＝（－2，1－cos θ），b＝，且a∥b，则锐角θ＝（　　） A.45° B.30° C.60° D.15° 解析：A　由a∥b，得－2×－（1－cos θ）（1＋cos θ）＝0，即＝1－cos2θ＝sin2θ，得sin θ＝±，又θ为锐角，∴sin θ＝，θ＝45°，故选A. 12.（多选）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－2，－n），其中m，n均为正数，且（a－b）∥c，下列说法正确的是（　　） A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b方向上的投影向量为b C.2m＋n＝4 D.mn的最大值为2 解析：CD　对于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝2－1＝1＞0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误；对于B，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝，｜b｜＝，∴向量a在b方向上的投影向量为｜a｜··＝b，故B错误；对于C，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a－b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝（m－2，－n），∴－n＝2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正确；对于D，∵2m＋n＝4，而m，n均为正数，∴mn＝（2m·n）≤＝2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立，∴mn的最大值为2，故D正确.故选C、D. 13.设＝（－2，4），＝（－a，2），＝（b，0），a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是　　. 解析：由题意，得＝－＝（－a＋2，－2），＝－＝（b＋2，－4）.又∥，所以－4（－a＋2）＝－2（b＋2），整理得2a＋b＝2，所以＋＝（2a＋b）·＝≥·＝，当且仅当b＝a时等号成立，即＋的最小值为. 14.（2024·镇江月考）已知向量a＝（2＋sin x，1），b＝（2，－2），c＝（sin x－3，1），d＝（1，k），x∈R，k∈R. （1）若x∈，a∥（b＋c），求x的值； （2）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：（1）因为b＋c＝（sin x－1，－1），且a∥（b＋c）， 所以－（2＋sin x）＝sin x－1，即sin x＝－. 又x∈，所以x＝－. （2）a＋d＝（3＋sin x，1＋k），b＋c＝（sin x－1，－1）， 若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0， 即（3＋sin x）（sin x－1）－（1＋k）＝0， 所以k＝sin2x＋2sin x－4＝（sin x＋1）2－5. 由sin x∈，可得k∈， 所以存在k∈，使得（a＋d）⊥（b＋c）. 15.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝（4，0），＝（2，2），＝（1－λ）＋λ（λ2≠λ）. （1）求·及在上的投影向量； （2）证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值； （3）求｜｜的最小值. 解：（1）·＝4×2＋0×2＝8， 设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴在上的投影向量为｜｜cos θ＝4××＝（1，）. （2）∵＝－＝（－2，2）， ＝－＝（1－λ）－（1－λ） ＝（λ－1），且λ2≠λ，∴A，B，C三点共线. 当＝时，λ－1＝1，∴λ＝2. （3）｜｜2＝（1－λ）2＋2λ（1－λ）·＋λ2 ＝16λ2－16λ＋16＝16＋12，∴当λ＝时，｜｜取得最小值2. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $