培优课 几何法求空间角-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦几何法求空间角，系统覆盖异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角三大核心题型，通过典型例题导入，衔接立体几何线面关系等基础，搭建从具体几何体到抽象方法的学习支架。 其亮点在于精选正六棱柱、正方体等典型模型，以通性通法（平移法、定义法等）培养空间观念与推理能力，结合跟踪训练强化应用意识。学生能系统掌握解题策略，教师可依托清晰题型框架提升教学效率。

培优课　 几何法求空间角 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 异面直线所成的角 【例1】　正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长 为 ，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　连接FE1，FD，则FE1∥BC1，故∠FE1D为E1D与BC1所 成的角或其补角.在△EFD中，EF＝ED＝1，∠FED＝120°， ∴FD2＝EF2＋ED2－2EF·ED· cos 120°＝3，∴FD＝ ，在 △EFE1和△EE1D中，得E1F＝E1D＝ ＝ ， ∴△FE1D是等边三角形，∠FE1D＝60°.故选B. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 求异面直线所成的角的方法 　　求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有 三种方法：①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平 移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便 找到平行线）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，AB＝ ，M是侧棱PC的中 点，且BM＝ ，则异面直线PA与BM所成角为 ⁠. 解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则 ∠OMB为异面直线PA与BM所成的角.由O，M分别 为AC，PC中点，得OM＝ PA＝1.在Rt△AOB中， 易得OB＝AB· sin 45°＝1.又BM＝ ，即OB2＋OM2＝BM2，所以△OMB为等腰直角三角形，∠OMB＝45°. 45°　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 直线与平面所成的角 【例2】　（2024·连云港月考）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角 的正弦值为（　　） A. B. C. D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　取A1C1，AC的中点E，F，连接B1E， BF，EF，如图所示.由正三棱柱性质易知B1E⊥平面 AA1C1C，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面AA1C1C， 则∠DAH即为AD与平面AA1C1C所成的角，易得DH ＝B1E＝ ，DA＝ ，所以 sin ∠DAH＝ ＝ ， 故选A. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 直线与平面所成的角的求法 　　求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜 足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再过垂足和 斜足作直线，即得直线在平面内的射影，最后根据垂线、斜线、射影 所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角. 提醒　（1）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是 线段；（2）一条斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内所有直线 所成角中最小的，称之为最小角定理. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BC，A1B1的中点分别为E，F， 则直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 连接FB，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面 ABB1A1，棱BC的中点为E，则BE⊥平面ABB1A1，而BF⊂平面 ABB1A1，故BE⊥BF，则∠EFB即为直线EF与平面ABB1A1所成角， 设正方体棱长为2，则BE＝1，BF＝ ＝ ＝ ， 则EF＝ ＝ ，故 sin ∠EFB＝ ＝ ＝ ，故选C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 二面角 角度1　定义法求二面角 【例3】　如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩 形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE. 求 平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：在平面BCEF中，过点E作BC的平行线与BF 的延长线交于点G，连接AG，如图，则EG∥BC. 因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以 EG∥AD. 则平面ADEG与平面BCEG所成的角即 是我们要求的二面角，EG即为该二面角的棱. 由BC⊥CD，BC⊥CE可知，BC⊥平面CDE. 又EG∥BC，所以EG⊥平面CDE. 因为在平面BCEG中有CE⊥EG，在平面ADEG 中，有DE⊥EG，所以∠DEC即为平面ADE与平面BCEF所成二面角 的平面角. 因为DC＝CE，所以△DCE是等腰直角三角形，所以∠DEC＝45°， 即平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小为45°. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作 棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面 角，再证明，最后在三角形中求平面角. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 角度2　垂面法求二面角 【例4】　（2024·泰州月考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点. （1）求证：平面MNF⊥平面NEF； 解： 证明：∵N，F均为所在棱的中 点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN⊂平面 A1B1C1D1，∴NF⊥MN. 又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN 和△B1NE均为等腰直角三角形， ∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°， 目录 数学·必修第二册 (SJ) ∴MN⊥NE. 又NF∩NE＝N，NF，NE⊂ 平面NEF，∴MN⊥平面NEF. 而MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面 NEF. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值. 解： 在平面NEF中，过点N作 NG⊥EF于点G，连接MG. 如图所示. 由（1）得MN⊥平面NEF， 又EF⊂平面NEF， ∴MN⊥EF. 又MN∩NG＝N，MN，NG⊂平面MNG， ∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG. ∴∠MGN为二面角M-EF-N的平面角. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 设该正方体的棱长为2， 在Rt△NEF中，NG＝ ＝ ＝ ， ∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝ ＝ ＝ . ∴二面角M-EF-N的平面角的正切值为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面 都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 角度3　垂线法求二面角 【例5】　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为 30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：如图，过A作AF⊥BD，F为垂足， 作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE， ∴由三垂线定理知BD⊥EF， ∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角. 依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2， ∴AF＝CF＝ ，AE＝1， ∴ sin ∠AFE＝ ＝ ＝ ， ∴∠AFE＝45°. ∴二面角α-BD-β的大小为45°. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的 垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证 明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 角度4　射影面积法求二面角 【例6】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. 解：如图，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD， 又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB， 同理BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB， 设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ， ∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，∴θ＝45°. 故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'， 且多边形与该平面所成的二面角为θ，则 cos θ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1- BC-A的平面角的正切值为（　　） A. B. C. 1 D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，设棱长为 a，BC的中点为E，连接A1E，AE（图略），可得A1E⊥BC， AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在Rt△A1AE 中，AE＝ a，所以tan∠A1EA＝ ＝ ＝ ，即二面角A1- BC-A的平面角的正切值为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形 的棱锥称为“鳖臑”.如图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝ ，则二面角A-PC-B 的正弦值为 ⁠. 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：因为PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面 ABC. 过点B作BD⊥AC于点D，过点D作DE⊥PC于点E，连接 BE. 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC， BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面PAC. 因为PC⊂平面PAC，所以 BD⊥PC. 因为DE⊥PC，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面 BDE，所以PC⊥平面BDE. 因为BE⊂平面BDE，所以 PC⊥BE，所以二面角A-PC-B的平面角为∠BED. 因为 AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABC，所以PB ＝ ，AC＝ ，PC＝2，PB⊥BC. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 又因为BE⊥PC，所以E为PC的中点，所以BE＝1.由等面积法得 BD＝ .因为BD⊥平面PAC，所以 sin ∠BED＝ ＝ .所以二面 角A-PC-B的正弦值为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面 所成的角的大小为（　　） A. B. C. D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　设圆锥的底面半径为R，母线长为l，因为圆锥的侧面 积是底面积的2倍，所以πRl＝2πR2，解得l＝2R，设该圆锥的母 线与底面所成角为α，则 cos α＝ ＝ ，所以α＝ .故选C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC ＝1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（　　） A. 45° B. 60° C. 30° D. 90° 解析： 　因为BC∥B1C1，所以∠ACB（或它的补角）为异面直 线B1C1与AC所成的角，因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，所以 ∠ACB＝45°，所以异面直线B1C1与AC所成角为45°.故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且 BC＝CD＝1，AD＝ ，则二面角B-CD-A的正切值为 ⁠. 1　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又 BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面 ABC，∴CD⊥AC，∴∠ACB为二面角B-CD-A的平面 角.∵BC⊥CD，∴BD＝ ＝ .∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB＝ ＝1，在Rt△ABC 中，tan∠ACB＝ ＝1. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线D'A与BB'所成的角可以表 示为（　　） A. ∠DD'A B. ∠AD'C' C. ∠ADB' D. ∠DAD' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值 是（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由于AA1∥DD1，所以∠DD1B（或其补角）即为直线 BD1与直线AA1所成的角，不妨设正方体的棱长为a，则BD＝ a，BD1＝ ＝ a，所以 cos ∠DD1B＝ ＝ ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·东莞月考）已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，平面 α上有一点C到β的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么tan θ＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图，作CE⊥AB于点E，CD⊥平面 β于点D，连接ED，因为AB⊂平面β，所以 CD⊥AB，又CE∩CD＝C，且CE⊂平面 CDE，CD⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE， 因为ED⊂平面CDE，所以AB⊥ED，因此∠CED＝θ，CD＝3，CE＝4，所以ED＝ ＝ ，所以tan θ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知正三棱锥S-ABC的棱长为2，则侧面和底面所成二面角的余弦 值为（　　） A. B. － C. D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　法一　如图所示，过点S作SO⊥底 面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC， 则Rt△OAS≌Rt△OBS≌Rt△OCS，∴OA＝ OB＝OC，∴点O为等边三角形ABC的中心. 延长AO交BC于点D，连接SD，则 AD⊥BC，BC⊥SD，∴∠ODS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.∵OD＝ AD＝ SD， ∴在Rt△SOD中， cos ∠ODS＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　∵三个侧面在底面上的射影完全相同，都是底面正三角形面积 的 ，且正三棱锥S-ABC的四个面面积相同，∴由 cos θ＝ 知， 侧面和底面所成二面角（显然为锐角）的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) A. cos θ3＝ cos θ1· cos θ2 B. cos θ3＝ sin θ1· cos θ2 C. sin θ3＝ sin θ1· sin θ2 D. sin θ3＝ cos θ1· sin θ2 5. 二面角α-MN-β的平面角为θ1，AB⊂α，B∈MN，∠ABM＝ θ2（θ2为锐角），AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是 （　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：C　如图，过点A作AH⊥β于点H，作 HO⊥MN于点O，连接AO，BH，则 AO⊥MN，所以∠AOH为α-MN-β的平面角， ∠ABH为AB与β所成的角，因为 sin θ1＝ ，sin θ2＝ ，所以 sin θ1· sin θ2＝ · ＝ ＝ sin θ3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（　　） A. 直线AB1与A1C1所成的角为60° B. 直线AC与B1D1所成的角为60° C. 二面角B-AD-B1的大小为45° D. 二面角A-BD-A1的大小为45° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，连接AC，CB1，由正方体的性质知： AB1＝B1C＝AC，所以△AB1C为等边三角形，故 ∠B1AC＝60°，由于A1A∥C1C，A1A＝C1C，所以 四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故 ∠B1AC即为直线AB1与A1C1所成的角，故A正确；对 于B，由于B1D1∥BD，而BD⊥AC，所以直线AC与 B1D1所成的角为90°，故B错误；对于C，因为DA⊥平面B1BAA1，AB1⊂平面B1BAA1，所以AD⊥AB1，又因为AB⊥DA，故∠BAB1即为二面角B-AD-B1的平面角，由于∠BAB1＝45°，故C正确；对于D，连接A1D，A1B，设正方体的棱长为2，所以A1D＝BD＝A1B＝2 ，AO＝ ，A1O＝ ，又A1O⊥BD，AO⊥BD，所以∠A1OA即为二面角A-BD-A1的平面角，所以 sin ∠A1OA＝ ＝ ＝ ，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. （多选）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面 为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.如图，在直角梯形ABCS中， ∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC 交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S-ABCD为阳 马时，下列四个命题正确的是（　　） A. AC⊥SB B. AB∥平面SCD C. SA与平面SBD所成角的大小等于45° D. AB与SC所成角的大小等于30° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图，当几何体S-ABCD为阳马 时，SD⊥平面ABCD，对于A，SD⊥平面 ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD ＝D，SD，BD⊂平面SBD，故AC⊥平面 SBD，所以AC⊥SB，故A正确；对于B，因为 AB∥CD，且AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正确；对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，因为SA＝ ，OA＝ ，所 以∠ASO＝30°，故C不正确；对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 设P为圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足 ∠ABC＝90°，M为线段AP的中点.若AB＝1，AC＝2，AP＝ ，则二面角M-BC-A的正切值为 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：由∠ABC＝90°知，AC为底面圆的直 径.作出示意图如图，设底面圆圆心为O，连 接PO，则PO⊥平面ABC，易知AO＝ AC＝ 1，PO＝ ＝1.设H为点M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面作HK⊥BC，垂足为点K，连接MK，则BC⊥ 平面HMK，MK⊥BC，从而∠MKH为二面角M-BC-A的平面角.因为MH＝ PO＝ ，HK∥AB，所以 ＝ ＝ ，易得HK＝ ，所以tan∠MKH＝ ＝ ，故二面角M-BC-A的正切值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2024·淮安月考）如图所示，某人在垂直于水平地面ABC的墙面 前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点 P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算 由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB＝15 m，AC＝25 m， ∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是 .（仰角θ为直线AP 与平面ABC所成的角） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：由勾股定理得BC＝20 m.如图所示，过P 点作PD⊥BC于D，连接AD，则点A观察点P 的仰角θ＝∠PAD，tan θ＝ .设PD＝x，则 DC＝ x，BD＝20－ x.在Rt△ABD中， AD＝ ＝ ＝ ，所以tan θ＝ ＝ ＝ ≤ ，故tan θ的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且 ∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ ，M，N分别是AB和SC的中点.求 异面直线SM与BN所成角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：如图所示，连接CM， 设Q为CM的中点，连接QN，则QN∥SM. ∴∠QNB或其补角是异面直线SM与BN所成的角. 连接BQ，设SC＝a，在△BQN中， BN＝ a，NQ＝ SM＝ a，BQ＝ a， ∴ cos ∠QNB＝ ＝ ＝ ，即异面直线SM与BN所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的余弦值. 解：设PA＝AB＝2，过点A在平面ABCD内作 AE⊥BC交BC于点E，连接PE，如图所示， ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥PA， ∵AE⊥BC，PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE，∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥BC， ∴二面角P-BC-A的平面角为∠PEA， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) AB＝2， 则AE＝ AB＝1， ∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， ∴PA⊥AE， ∴PE＝ ＝ ， ∴ cos ∠PEA＝ ＝ ＝ . ∴二面角P-BC-A的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （2024·常州质检）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. （1）求点C到平面A1ABB1的距离； 解： 由AC＝BC，D为AB的中点， 得CD⊥AB， 又CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，AB， AA1⊂平面A1ABB1， 所以CD⊥平面A1ABB1， 所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值. 解： 如图，取D1为A1B1的中点，连 接DD1，则DD1∥AA1∥CC1，DD1⊂平 面CDC1. 又由（1）知CD⊥平面A1ABB1，A1D， DD1⊂平面A1ABB1， 故CD⊥A1D，CD⊥DD1， 所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1 的平面角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 因为CD⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面 A1ABB1， 所以AB1⊥CD， 又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C， A1C，CD⊂平面A1CD， 所以AB1⊥平面A1CD，又A1D⊂平面 A1CD，故AB1⊥A1D，从而∠A1AB1， ∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1 ＝∠A1DA， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A. 因此 ＝ ，即A ＝AD·A1B1＝8， 得AA1＝2 . 从而A1D＝ ＝2 . 所以，在Rt△A1DD1中， cos ∠A1DD1＝ ＝ ＝ . 故二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) $