13.3.2 空间图形的体积-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦柱体、锥体、台体、球的体积公式及简单组合体体积计算，以小学初中长方体体积公式为基础，通过问题引导推导其他空间图形体积公式，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于通过情境导入、公式关联（如台体公式退化为柱体、锥体公式）及通性通法（补体法、分割法等），培养学生直观想象与数学运算核心素养。典型例题结合正方体、圆柱等实例，助力学生形成空间观念与推理能力，既利于学生夯实基础提升解题能力，也为教师提供系统教学资源与分层训练素材。

13.3.2　 空间图形的体积 新课程标准解读 核心素养 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它 们求有关空间图形的体积 直观想象、 数学运算 2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求 球的表面积及体积 直观想象、 数学运算 3.会求简单组合体的体积 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在小学和初中，我们已经知道长方体的体积V长方体＝abc＝Sh， 这里a，b，c表示长方体的长、宽和高，S，h分别表示长方体的底 面积和高.长方体体积公式是计算其他空间图形体积的基础，我们将 上述结论作为已知事实来运用，那么，如何推出其他简单空间图形的 体积公式呢？ 【问题】　柱体、锥体、台体的体积公式是什么？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积公式 柱体 V＝ （S为底面面积，h为柱体的高） 锥体 V＝ （S为底面面积，h为锥体的高） 台体 V＝ （S'，S分别为上、下底面 面积，h为台体的高） Sh　 Sh　 h（S＋ ＋S'）　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 提醒　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　球的体积和表面积 若球的半径为R，则： （1）球的体积V球＝ ⁠； （2）球的表面积S球面＝ ⁠. πR3　 4πR2　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点三　球的截面的特点 1. 球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任何截 面均为圆面. 2. 利用球半径、截面圆半径，球心到截面的距离构建直角三角形是把 空间问题转化为平面问题的主要途径. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　） A. 48 B. 64 C. 16 D. 96 解析： 　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正 方体的体积为a3＝64. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）若一个球的直径为6，则（　　） A. 球的表面积是36π B. 球的表面积是144π C. 球的体积是36π D. 球的体积是144π 解析： 由题意知，球的半径r＝3.则S球＝4πr2＝4π×32＝ 36π，V球＝ πr3＝ π×33＝36π.故选A、C. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ADC 的体积是 ⁠. 解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝ S△ADC×D1D＝ × ×AD×DC×D1D＝ × ×1×1×1＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 柱体、锥体、台体的体积 【例1】　（1）已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则圆柱的体积为 （　D　） A. 4π C. 12π B. 8π D. 16π 解析： 设圆柱的底面半径为r，则2πr＝ 4π，解得r＝2，则该圆柱的体积为π×22×4＝ 16π.故选D. D 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是 （　B　） A. 18＋6 B. 6＋2 C. 24 D. 18 解析： V＝ （S＋ ＋S'）h＝ ×（2＋ ＋4）×3＝6＋2 .故选B. B 目录 数学·必修第二册 (SJ) （3）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B， D，A1截下一个三棱锥. ①求剩余部分的体积； ②求三棱锥A-A1BD的体积及高. 解：① ＝ S△ABD·A1A ＝ × ·AB·AD·A1A＝ a3. 故剩余部分的体积V＝V正方体－ ＝a3 － a3＝ a3. 目录 数学·必修第二册 (SJ) ② ＝ ＝ a3. 设三棱锥A-A1BD的高为h， 则 ＝ · ·h＝ × × （ a）2h＝ a2h，故 a2h＝ a3，解得h＝ a. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 求空间图形体积的常用方法 （1）公式法：直接代入公式求解； （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用 底面积和高都易求的形式即可； （3）补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱 柱，棱台补成棱锥等； （4）分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积. 提醒　求空间图形的体积时，要注意利用好空间图形的轴截面 （尤其为圆柱、圆锥时），准确求出空间图形的高和底面积. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最 短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　） A. 5π B. 6π C. 20π D. 10π 解析： 　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成 一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故 所求几何体的体积为10π. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·苏州月考）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F 分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2 的两部分，那么V1∶V2＝ ⁠. 7∶5　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1 ＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝ S， V1＝ h（S＋ S＋ ）＝ Sh，V2＝Sh－V1＝ Sh，所以 V1∶V2＝7∶5. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 球的表面积与体积 【例2】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个 平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　B　） A. 12π cm3 B. 36π cm3 C. 64 π cm3 D. 108π cm3 B 解析： 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝ ＝3 cm，∴球的体积V＝ π×33＝36π cm3.故选B. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如 果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　D　） A. 100 B. 400 C. 100π D. 400π D 解析：设大金属球的半径为r，则 ×23×125＝ ×r3⇒r＝ 10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问 题时，设法求出球的半径是解题的关键. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之 差的绝对值为 ⁠. 解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得 即整理，得 解得故两球的体积之差的绝对值为 π×43－ π×23＝ π（43－23）＝ π. π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·徐州月考）长、宽、高分别为2， ， 的长方体的外接 球的表面积为 ⁠. 解析：该长方体的体对角线长为 ＝ 2 ，设外接球的半径为R，∴2R＝2 ，∴R＝ ，∴S球＝ 4πR2＝12π. 12π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 简单组合体的体积 【例3】　如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm， 高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中 间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此空间图形的体积. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：依题意，该空间图形是由一个正六棱柱和一个圆柱组合后再挖去 一个小圆柱而成的. 正六棱柱底面边长为4 cm，即由6个边长为4 cm的等边三角形组成， 故底面积为6× ×42＝24 （cm2）， 又高为2 cm，故正六棱柱的体积V1＝24 ×2＝48 （cm3）， 大圆柱底面直径为6 cm，高为3 cm，故体积V2＝π× ×3＝27π （cm3）， 小圆柱直径为2 cm，高为2＋3＝5（cm），故体积为V3＝π× ×5 ＝5π（cm3）， 故该空间图形的体积为V＝V1＋V2－V3＝48 ＋27π－5π＝（48 ＋22π）（cm3）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 求空间组合体体积的思路与方法 　　针对此类问题的关键是将该组合体分解为若干个柱、锥、台、球 的基本空间图形，然后借助柱、锥、台、球的体积公式分别求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝ 5，CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所 得的空间图形的体积. 解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个 圆锥所得的组合体，故该空间图形的体积V＝V圆台－V圆锥＝ π（ ＋r1r2＋ ）·h－ π h'＝ π（25＋10＋4）×4－ π×4×2＝ π. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 解析： 　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为 ×4×3＝4. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的 （　　） A. 2倍 B. 倍 C. 2 倍 D. 倍 解析： 　设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可 知 ＝2，所以R＝ r.所以 ＝ ＝ ＝2 .即球 的体积扩大到原来的2 倍，故C正确.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·温州质检）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为 2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（　　） A. B. 2 C. D. 3 解析： 　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积 为 S，故二者的体积之比为 ＝ ＝ ＝2. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·江苏海安中学期中）已知圆台下底面的半径为4 cm，高为4 cm，母线长为2 cm，则圆台的体积为 　 π　cm3. 解析：设圆台上底面半径为r（r＜4），轴截面如 图所示，过B作BE⊥DC，垂足为E，则有AB＝ r，DC＝4，AD＝BE＝4，BC＝2 ，因为BC2 ＝BE2＋CE2，所以有（2 ）2＝42＋（4－r）2⇒r＝2或r＝6（舍去），所以圆台的体积为 ·（π·22＋π·2·4＋π·42）·4＝ π （cm3）. π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 （　　） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 解析： 　设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2. 又∵S侧＝4π，∴πa2＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π（ ）2×a＝π×2＝ 2π.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·无锡锡南实验中学期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC＝2，那么三棱 锥A1-ABC的体积是（　　） A. B. C. 4 D. 8 √ 解析： 　∵A1A⊥底面ABC，∴A1A为三棱锥A1-ABC的高，故h ＝2，∵△ABC为底面，AB⊥AC，∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×2×2 ＝2，∴ ＝ S△ABC·h＝ ×2×2＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球 （球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球 （水面恰为圆柱的上底面），则球的半径为（　　） A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 解析： 　设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之 和等于高度为6r cm的圆柱体的体积，∴3× πr3＋πr2×6＝ πr2×6r，解得r＝3.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该 正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的空间图形的 体积是（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 由题意易知正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点 的平面截该正方体，截去的三棱锥的体积是 × × ＝ ，于是8个三棱锥的体积是 ，故剩下的空间图形的体积是1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. 如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个 侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为（　　） A. m3 B. m3 C. 1 m3 D. m3 解析： 　设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1， a＝1，解得a＝ ，h＝ .所以六棱柱的体积V＝ ×（ ） 2×6× ＝ （m3）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这 个圆台的圆锥的体积是（　　） A. 54 B. 54π C. 58 D. 58π 解析： 　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设 圆台高为h1，则52＝ πh1（r2＋9r2＋3r·r），∴πr2h1＝12.令原 圆锥的高为h，由相似知识得 ＝ ，∴h＝ h1，∴V原圆锥＝ π（3r）2×h＝3πr2× h1＝ ×12＝54. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段 AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 ⁠. 解析： ＝ DD1×1＝ ，又点F到平面DD1E的距离为1， 所以 ＝ ＝ ×1＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图 中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积 为 ⁠. 110　 解析：设正四棱柱的底面边长为m，则4（42－m2）＝60，解得m ＝1，则该几何体的表面积为42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝ 110. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆 锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动 了2.5周，则圆锥的母线长为 ，表面积等于 ⁠ ⁠. 解析：设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心， SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧 ＝πrl＝8πl，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆 锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20 （cm）.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋ π×82＝224π（cm2）. 20 cm　 224π cm2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 若E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝ CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A-BEFC 的体积. 解：如图所示，连接 AB1，AC1， 因为B1E＝CF， 所以梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面 积. 又四棱锥 A-BEFC 的高与四棱锥 A-B1EFC1 的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 高相等，所以VA-BEFC＝ ＝ .又 ＝ ·h， ＝ ·h＝m，所以 ＝ ，所以 ＝ － ＝ m.所以 VA-BEFC＝ × m＝ ，即四棱锥A-BEFC 的体积是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·无锡辅仁高中期中）如图，实心正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为Q，R. 若从该正方体 中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R为顶点，以正方形 A1B1C1D1的内切圆为底面，另一个圆锥以Q为顶点，以正方形 ABCD的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（　　） A. 8－ B. 8－ C. 8－ D. 8－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 两圆锥的体积都为V1＝ πr2h＝ ×π×12×2＝ π，则 其公共部分为V2＝2× ×π×（ ）2×1＝ ，故该正方体剩余部 分的体积为V＝23－2×V1＋V2＝8－ ＋ ＝8－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5， 下列说法正确的是（　　） A. 以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B. 以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C. 以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D. 以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由已知得AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，△ABC 是以角C为直角的直角三角形，以BC所在直线为轴旋转时，所得 旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，∴侧面积为 π×3×5＝15π，体积为 ×π×32×4＝12π，A正确，B错误；以 AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为 5，高为3的圆锥，∴侧面积为π×4×5＝20π，体积为 ×π×42×3 ＝16π，C错误，D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱 （如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则 截得棱柱的体积的最大值为 ⁠. 2　 解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为 ，则截得的棱柱的体积V＝x ×1＝ ＝ （0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝ 时，Vmax ＝2，即截得棱柱体积的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油， 由于不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗 漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m 的地方（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝 上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多还能剩多少. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：如图所示，设直三棱柱的底面面积为S， 则V＝aS， 当平面A1DE与水平面平行时，容器内的油是 最理想的剩余量，连接A1B，A1C，则 ＝ aS＝ V， ∵ ＝ ＝ ，且 ＋ ＝ V，∴ ＝ V， ∴ ＋ ＝ V＋ V＝ V， ∴罐内液体车油最多还能剩 V L. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建 一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是 新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m （底面直径不变）. （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； 解： 方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体 积V1＝ Sh＝ ×π×（ ）2×4＝ π（m3）. 方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝ Sh＝ ×π×（ ）2×8＝ π＝96π（m3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； 解： 方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8m， 则圆锥的母线长l1＝ ＝4 （m）， 则仓库的表面积S1＝π×8×4 ＋π×82＝（32 π＋ 64π）m2. 方案二：仓库的高变成8 m， 则圆锥的母线长l2＝ ＝10（m）， 则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π （m2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （3）选用哪个方案建造仓库更经济些？ 解： 由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种 方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库 的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造 仓库更经济些. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $