13.3.1 空间图形的表面积-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦空间图形的表面积，系统讲解柱体、锥体、台体的表面积求法，通过正八面体钻石情境导入，从实际问题出发，结合定义、公式推导及例题应用，构建衔接空间几何体结构的学习支架。 其亮点在于以情境化问题激发直观想象，通过“想一想”环节引导逻辑推理（如公式间关系），典型例题（正四棱台容器、旋转体表面积）强化数学运算。分层练习满足不同需求，助力学生深化理解，教师可高效实施教学。

13.3.1　 空间图形的表面积 新课程标准解读 核心素养 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、 锥体、台体的表面积的求法 直观想象 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能 运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和 解决有关实际问题 逻辑推理， 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　 　　金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状 除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的 晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成璀璨夺目的钻石.如图 就是一块正八面体的钻石. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【问题】　已知该正八面体钻石的棱长为a，你能求出它的表面积 吗？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1. 定义：多面体的表面积就是 ⁠的面积 的 ⁠. 围成多面体各个面　 和　 目录 数学·必修第二册 (SJ) （1）直棱柱：侧棱和底面 的棱柱； （2）正棱柱：底面为 的直棱柱； （3）正棱锥：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影 是 ⁠； （4）正棱台：正棱锥 的平面所截，截面和底面 之间的部分. 垂直　 正多边形　 底面中心　 被平行于底面　 2. 几个特殊多面体 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积及表面积 名称 展开图 公式 备注 直棱 柱 S直棱柱侧＝ ⁠， S表＝S侧＋2S底 c为底面多边形的周长，h为棱柱的高 正棱 锥 S正棱锥侧＝ 　 nah'＝ 　 ⁠，S表＝S侧＋S底 a为底面边长，c为底面周长，h'为斜高 ch　 nah'　 ch'　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 名称 展开图 公式 备注 正棱 台 S正棱台侧＝ ⁠ ⁠ ＝ ⁠ ⁠， S表＝S侧＋ S上底＋S下底 a为下底面边长，a'为上底 面边长，c为下底面周长， c'为上底面周长，h'为斜高 n （a＋a'）h'　 （c＋c'） h'　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【想一想】 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有怎样的关系？ 提示：正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系可表示为： 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　圆柱、圆锥和圆台的侧面积及表面积 名称 展开图 公式 备注 圆柱 S上底＝S下底＝2πr2， S圆柱侧＝cl ＝ ⁠， S圆柱表＝ ⁠ ⁠ r为底面圆半径，l为 圆柱的母线 2πrl　 2πr（r＋ l）　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 名称 展开图 公式 备注 圆锥 S底＝ ⁠， S圆锥侧＝ cl ＝ ⁠， S圆锥表＝ ⁠ ⁠ c为底面周长，l为母 线长，r为底面圆半 径 πr2　 πrl　 πr（r＋ l）　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 名称 展开图 公式 备注 圆台 S上底＝ ⁠， S下底＝ ⁠， S圆台侧＝ （c＋c'）l ＝π（r＋r'）l， S圆台表＝π（r'2＋ r2＋r'l＋rl） r'，r分别为上、下底 面圆半径，c'，c分 别为上、下底面圆周 长，l为圆台的母线 长 πr'2　 πr2　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【想一想】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有怎样的关系？ 提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系可表示为： 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　S表＝4S正三角形＝4× ＝ . √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 ，体对 角线长为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 棱柱的侧面积是8 B. 棱柱的侧面积是2 C. 棱柱的表面积是9 D. 棱柱的侧面积是10 解析： 　由题意知，底面正方形的边长为1，直棱柱的高为 2，所以S侧＝4×1×2＝8，S表＝S侧＋S底＝8＋2×1×1＝10.故 选A、D. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等 于 ⁠. 解析：S表＝π（32＋42＋3×6＋4×6）＝67π. 67π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 如图所示，圆锥的底面半径为1，高为 ，则圆锥的表面积 为 ⁠. 解析：设圆锥的母线长为l，则l＝ ＝2，所以圆锥的表面积 S＝π×1×（1＋2）＝3π. 3π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 多面体的侧面积与表面积 【例1】　（链接教科书第200页例1）用铁皮制造一个上大下小的正 四棱台形无盖的容器（上面开口），正四棱台容器的上底面是边长为 40 cm的正方形，下底面是边长为20 cm的正方形，侧面是全等的等腰 梯形. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （1）若正四棱台的侧棱长为20 cm，则制造这种容器需要多少平方厘 米铁皮？ 解： 如图，将该正四棱台容器倒置后得 正四棱台ABCD-A1B1C1D1， 它的上底面是边长为20 cm的正方形，下底面 是边长为40 cm的正方形， 所以上底面小正方形的面积为400 cm2， 因为侧棱长为20 cm，侧面是全等的等腰梯 形，作A1E垂直于AB，垂足为E， 目录 数学·必修第二册 (SJ) 所以侧面等腰梯形的高为A1E＝ ＝ ＝10 ， 所以侧面等腰梯形的面积为S梯形＝ ×（20＋ 40）×10 ＝300 ， 所以该容器的表面积为S表＝400＋300 ×4 ＝400＋1 200 （cm2）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若正四棱台的高为10 cm，则制造这种容器需要多少平方厘 米铁皮？ 解： 如图，将该正四棱台容器倒置后得 正四棱台ABCD-A1B1C1D1，设O1，O分别为 上、下底面的中心，过O作OE⊥BC于E， 过O1作O1E1⊥B1C1于E1，过E1作E1F⊥OE于F，连接E1E，则E1E为正四棱台的斜高. 所以侧面等腰梯形的高为E1E＝ ＝ ＝10 ，所以侧面等腰梯形的面积为S梯形＝ ×（20＋40）×10 ＝300 ， 所以该容器的表面积为S表＝400＋300 ×4 ＝400＋1 200 （cm2）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积和表面积的求解方法 （1）直棱柱的侧面展开图是一个矩形，因此求侧面积只需求出相应 底面周长及高即可； （2）求解正棱锥的表面积需注意棱锥的四个基本量，即底面的边 长，高，斜高，侧棱，并注意两个特殊的直角三角形的应用； （3）求解正棱台的表面积需注意棱台的五个基本量，即上下底面边 长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为 45°，求该正三棱锥的表面积. 解：如图所示，设O为正三角形ABC的中心， 连接PO，连接AO并延长交BC于D，连接PD， 则PO是正三棱锥P-ABC的高. 由正三角形ABC的性质知，D是BC的中点， 又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱锥的斜高. 由已知∠APO＝45°，AO＝ × ×4＝ （cm）， 目录 数学·必修第二册 (SJ) 所以PA＝ AO＝ × ＝ （cm）， 所以PB＝ （cm）.所以PD＝ ＝ ＝ （cm）. 所以正三棱锥P-ABC的侧面积S侧＝3S△PBC＝3× ×4× ＝4 （cm2）， 底面积S底＝ ×42× ＝4 （cm2）. 故S表面积＝S侧＋S底＝4 ＋4 ＝4（ ＋ ）（cm2）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 旋转体的侧面积与表面积 【例2】　（链接教科书第200页例2）如图所示，已知直角梯形 ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD ＝4 cm，求以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形的表面积. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形是圆台， 其上底面半径是4 cm， 下底面半径是16 cm， 母线DC＝ ＝13（cm）， 所以该空间图形的表面积为π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π （cm2）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积，因此 弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系， 是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键. 2. 解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化 为平面问题. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径 也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 解：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r，R，则 有 ＝ ，即 ＝ ， 所以R＝2r， 圆锥的母线长l＝ R， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ －1. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 组合体的表面积 【例3】　如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？ 解：几何体的表面积为S＝6×22－π×（0.5）2×2＋2π×0.5×2＝24 －0.5π＋2π＝24＋1.5π. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 求组合体表面积时应注意的问题 （1）首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎 样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减； （2）在求组合体的表面积时要注意“表面（和外界直接接触的 面）”的定义，以确保不重复、不遗漏. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示 （单位：m），请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少 篷布？（精确到0.01 m2，π取3.14） 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：上部分圆锥体的母线长为 m，其侧面积为S1＝ π×2.5× （m2）. 下部分圆柱体的侧面积为S2＝π×5×1.8＝9π（m2）. ∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S＝S1＋S2＝ π×2.5× ＋9π≈50.03（m2）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高 为（　　） A. B. 1 C. D. 解析： 　依题意，正三棱台的高h＝ ＝1. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为 10，则（　　） A. 圆台的侧面积为68π B. 圆台的侧面积为100π C. 圆台的表面积为100π D. 圆台的表面积为168π 解析： 圆台的轴截面如图所示，设上底面半 径为r，下底面半径为R，高为h，则它的母线长 为l＝ ＝ ＝ 5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π（R＋r）l＝π（8＋2）×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选B、D. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面 截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积 为 ⁠. 解析：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正 方形，所以圆柱的高为2 ，底面圆的直径为2 ，所以该圆柱的 表面积为2×π×（ ）2＋2π× ×2 ＝12π. 12π　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·无锡月考）已知正三棱锥的底面边长为3，高为 ，则该正 三棱锥的侧面积为 ⁠. 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：如图，设正三棱锥S-ABC的顶点S在底面 的正投影为点O，作OD⊥AB于点D，连接 SD，SO. 因为正三棱锥的底面边长为3，高为 ，所以OD＝ ，OS＝ ，则SD＝ ＝1.因为SO⊥AB， OD⊥AB，SO∩OD＝O，SO，OD⊂平面SOD，所以AB⊥平面SOD，则AB⊥SD. 因为正三棱锥的侧面是全等的三角形，所以正三棱锥的侧面积为3× ×3×1＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 （　　） A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶ D. ∶2 解析： 　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝ r.所以S侧＝πrl＝ πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4， 则这个棱柱的表面积是（　　） A. 8 B. 16 C. 8＋12 D. 8＋16 解析： 　设直棱柱的高为h，则 ＝4，解得h＝ 2 ，故直棱柱的表面积为2×22＋4×2×2 ＝8＋16 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥 的表面积是（　　） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 解析： ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于 a，∴S表 ＝ a2＋3× × ＝ a2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC， AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三 棱柱的侧面积为（　　） A. 4＋4 B. 4＋4 C. 12 D. 8＋4 √ 解析： 　连接A1B（图略）.因为AA1⊥底面ABC，则 AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面 AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°. 又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2 ，BC＝ .又AB⊥BC，则AB ＝ ，则该三棱柱的侧面积为2 ×2＋2×2＝4＋4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）（2024·南京月考）等腰直角三角形的直角边长为1，现将 该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为 （　　） A. π B. （1＋ ）π C. 2 π D. （2＋ ）π √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如果绕直角边所在直线旋转，那么形成圆锥，圆锥 底面半径为1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长 ，所 以所形成的几何体的表面积S＝πrl＋πr2＝π×1× ＋π×12＝ （ ＋1）π；如果绕斜边所在直线旋转，那么形成的是同底的 两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边的高 ，两个圆 锥的母线长都是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝ 2×π× ×1＝ π.综上可知，形成几何体的表面积是（ ＋ 1）π或 π.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）已知正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为θ，若θ＝ 30°，侧棱长为 ，则（　　） A. 正四棱锥的底面边长为6 B. 正四棱锥的底面边长为3 C. 正四棱锥的侧面积为24 D. 正四棱锥的侧面积为12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 如图，在正四棱锥S-ABCD中，O 为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长 为2a（a＞0），因为∠SHO＝30°，所以OH ＝a，OS＝ a，SH＝ a.在Rt△SAH中，a2＋ ＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝ ×6×2 ×4＝24 .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 圆柱OO'的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积 为 ，表面积为 ⁠. 解析：由题意知圆柱的底面半径r＝2，母线长l＝6，则该圆柱的 侧面积为S侧＝2πrl＝24π，表面积为S表＝2πrl＋2πr2＝2πr（r＋ l）＝32π. 24π　 32π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 如图所示，正方形ABCD的边长为6 cm，BC，CD的中点分别为 E，F，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合，构成一 个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为 cm2. 36　 解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围 成，且没有重叠，因此这个三棱锥的表面积就是正方形的面积，为 6×6＝36（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2024·常州月考）已知一个正四棱台的两个底面的边长分别为5和 17，侧棱长为10，则这个棱台的侧面积为 ⁠. 解析：在棱台侧面的等腰梯形上作高，即棱台的斜高，则由等腰梯 形的性质，可得斜高h'＝ ＝8.由正棱台的侧面 积公式，可得该棱台的侧面积为S侧＝ ×（4×5＋4×17）×8＝ 352. 352　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 如图所示，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积. 解：如图所示，设正三棱锥的底面边长为a， 斜高为h'，过点O作OE⊥AB，与AB交于点 E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h'. 因为S侧＝2S底， 所以3× ·a·h'＝ a2×2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 所以a＝ h'. 因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2. 所以32＋（ × h'）2＝h'2. 所以h'＝2 ，所以a＝ h'＝6. 所以S底＝ a2＝ ×62＝9 ，S侧＝2S底＝ 18 . 所以S表＝S侧＋S底＝18 ＋9 ＝27 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·徐州月考）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山 西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构 图.已知底面圆的直径AB＝12 cm，圆柱体部分的高BC＝6 cm， 圆锥体部分的高CD＝4 cm，则这个陀螺的表面积（单位：cm2） 是（　　） A. （144＋12 ）π B. （144＋24 ）π C. （108＋12 ）π D. （108＋24 ）π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由题意可得圆锥体的母线长为l＝ ＝2 ， 所以圆锥体的侧面积为 ·12π·2 ＝12 π，圆柱体的侧面积 为12π×6＝72π，圆柱的底面面积为π×62＝36π.所以此陀螺的表 面积为12 π＋72π＋36π＝（108＋12 ）π（cm2）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的 圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝ 2AB，下列说法正确的有（　　） A. ∠ADC＝30° B. 该圆台轴截面ABCD面积为3 cm2 C. 该圆台的侧面积为6π cm2 D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为 5 cm √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，由已知及题图知： cos ∠ADC＝ 且0°＜∠ADC＜90°，故∠ADC ＝60°，故A错误；对于B，由A易知：圆台高 为h＝2× sin 60°＝ ，所以圆台轴截面ABCD面积S＝ ×（2＋4）× ＝3 cm2，故B正确；对于C，圆台的侧面积S侧＝π×（1＋2）×2＝6π cm2，故C正确；对于D，将圆台一半侧面展开，如图中ABCD且E为AD中点，而圆台对应的圆锥体一半侧面展开为COD且OC＝4，又∠COD＝ ＝ ，所以在Rt△COE中 CE＝ ＝5 cm，即点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状 多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印 信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以 上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 ②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方 体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 ⁠ 个面，其棱长为 ⁠. 26　 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：由题图②可知第一层与第三层各有9个 面，共18个面，第二层有8个面，所以该半正多 面体共有18＋8＝26（个）面.如图所示，设该 半正多面体的棱长为x，则AB＝BE＝x，延长 CB与FE的延长线交于点G，延长BC交棱长为 1的正方体棱于点H，由半正多面体的对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，所以BG＝GE＝CH＝ x，所以GH＝2× x＋x＝（ ＋1）x＝1，解得x＝ ＝ －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一 个高为x的圆柱. （1）用x表示此圆柱的侧面积表达式； 解： 设圆柱的半径为r，圆柱的高为 x，则 ＝ ， 解得r＝2－x，且0＜x＜2， ∴圆柱的侧面积为S圆柱侧＝2πrx＝2π（2－ x）x＝－2πx2＋4πx（0＜x＜2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）当x为何值时，此圆柱的侧面积最大，最大值为多少？ 解： S圆柱侧＝－2πx2＋4πx＝2π[－（x －1）2＋1]，0＜x＜2，当x＝1时， S圆柱侧取得最大值为2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著， 是《算经十书》中最重要的一部.《九章算术》中将有三条棱互相 平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，现有一个羡除 如图所示，已知上底面ABCD是高为2的等腰梯形，右侧面BCEF 是高为1的等腰梯形，下底面是梯形，前、后侧面均为三角 形.AD＝8，BC＝10，EF＝6，AD∥BC∥EF，且平面ABCD⊥ 平面BCEF，求该“羡除”的表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：S梯形ABCD＝ ×（8＋10）×2＝18， S梯形BCEF＝ ×（10＋6）×1＝8. 在等腰梯形ABCD中， ∵AD＝8，BC＝10， 梯形的高为2， ∴AB＝ ＝ . 同理可得，BF＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 过F作FM⊥BC于M，过M作MN⊥AD于N，连接FN（图 略）， 则有FM＝1，MN＝2，BM＝2，AN＝1. ∵BC⊥FM，BC⊥MN，FM∩MN＝M，FM，MN⊂平面 FMN， ∴BC⊥平面FMN. ∴BC⊥FN. 又BC∥AD，∴AD⊥FN. ∵平面ABCD⊥平面BCEF， ∴∠NMF＝90°.∴FN＝ ，AF＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) ∴S梯形ADEF＝ ×（8＋6）× ＝7 . 在等腰△ABF中，点B到AF的距离为 ＝ ， ∴S△ABF＝ × × ＝ . 由对称性可知S△DCE＝S△ABF＝ . ∴该“羡除”的表面积为18＋8＋7 ＋ ＋ ＝26＋7 ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $