章末检测（12） 复数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦复数章末检测，涵盖复数概念、运算、几何意义及应用，从基础代数形式到复平面向量、模长计算，构建从概念理解到综合应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于通过复平面点的位置判断、模长范围求解等题目，培养数学眼光中的几何直观与空间观念，解析过程逻辑严密，强化数学思维的推理能力，同时规范数学语言表达，助力学生提升运算与问题解决能力，为教师提供分层教学资源。

章末检测（十二）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若（2＋i）z＝5，则z的虚部为（　　） A. －1 B. 1 C. －i D. i 解析： 　z＝ ＝ ＝2－i，所以z的虚部是－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知i是虚数单位，若z＝ 是纯虚数，则实数a＝（　　） A. －2 B. 2 C. － D. 解析： 　z＝ ＝ ＝ ，又z＝ 是 纯虚数，所以所以a＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 3. 复平面内对应复数z＝i（－2＋i）的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　z＝i（－2＋i）＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内对应复 数z＝i（－2＋i）的点位于第三象限.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 4. 在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是 ， ，其 中O是坐标原点，则向量 对应的复数为（　　） A. 1＋i B. 5－i C. 5－3i D. －5＋i 解析： 　由题设 ＝（3，2）， ＝（－2，3），则 ＝ － ＝（－5，1），所以向量 对应的复数为－5＋i.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 5. 若z＝1＋i，则｜iz＋3 ｜＝（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 解析： 　因为z＝1＋i，所以iz＋3 ＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－ 1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3 ｜＝｜2－2i｜＝ ＝2 .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 6. 已知i为虚数单位，若 ＝a＋bi（a，b∈R），则ab＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析： 　i为虚数单位， ＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝ ＝a＋bi，根据复数相等得到所以ab＝ ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 7. 已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足 ·z2是纯虚数，则复数z2＝（　　） A. 1－2i B. 1＋2i C. 2－i D. 2＋i 解析： 　由z1＝2＋i，得 ＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直 线x＝1上，可设z2＝1＋bi（b∈R），则 ·z2＝（2－i）（1＋ bi）＝2＋b＋（2b－1）i.由 ·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－ 1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 8. 已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a ＋bi，则复数z＝（　　） A. 2－2i B. 2＋2i C. －2＋2i D. －2－2i 解析： 　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可 得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋ 4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故 选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数z满足（1＋i）·z＝1＋5i（i是虚数单位），则下列说法正确 的是（　　） A. z的虚部为2i B. z的模为 C. z的共轭复数为3－2i D. z在复平面内对应的点位于第一象限 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由（1＋i）·z＝1＋5i，所以z＝ ＝ ＝ ＝ ＝3＋2i，所以z的虚部为2，故A错误；｜z｜＝ ＝ ，故B正确；z的共轭复数为3－2i，故C正确；z在 复平面内对应的点为（3，2），位于第一象限，故D正确.故选B、 C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 10. 已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（　　） A. ＝ ＋ B. 若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0 C. ｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜ D. 若 ＋ ＝0，则z1＝z2＝0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，因为复数z1，z2∈C，所以设z1＝a＋bi， z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋ d）i⇒ ＝（a＋c）－（b＋d）i， ＋ ＝a－bi＋c－ di＝（a＋c）－（b＋d）i，故A正确；对于B，因为z1z2＝0， 所以z1，z2中至少有一个为0，故B正确；对于C，因为复数z1， z2∈C，所以设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）， z1·z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，｜z1·z2｜＝ ＝ ＝｜ z1｜·｜z2｜，故C正确；对于D，令z1＝1，z2＝i，显然 ＋ ＝ 0成立，但是z1＝z2＝0不成立，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 11. 任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以 表示成z＝r（ cos θ＋i sin θ）的形式，通常称之为复数z的三 角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝ rn（ cos nθ＋i sin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定 理.根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A. ｜z2｜＝｜z｜2 B. 当r＝1，θ＝ 时，z3＝1 C. 当r＝1，θ＝ 时， ＝ － i D. 当r＝1，θ＝ 时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，z＝r（ cos θ＋i sin θ），则z2＝r2（ cos 2θ＋i sin 2θ），可得｜z2｜＝｜r2（ cos 2θ＋i sin 2θ）｜＝ r2，｜z｜2＝｜r（ cos θ＋i sin θ）｜2＝r2，故A正确；对于 B，当r＝1，θ＝ 时，z3＝（ cos θ＋i sin θ）3＝ cos 3θ＋i sin 3θ＝ cos π＋i sin π＝－1，故B错误；对于C，当r＝1，θ＝ 时，z＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，则 ＝ － i，故C正确； 对于D，当r＝1，θ＝ 时，zn＝（ cos θ＋i sin θ）n＝ cos nθ＋i sin nθ＝ cos ＋i sin ，取n＝4，则n为偶数，则z4＝ cos π＋i sin π ＝－1不是纯虚数，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点 分别为Z1和Z2，且 ⊥ （O为坐标平面），则a＝ 　 　. 解析：依题意可知 ＝（－3，4）， ＝（2a，1）.因为 ⊥ ，所以 · ＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 13. 已知复数z1＝ cos θ－i，z2＝ sin θ＋i，θ∈R，则z1·z2的实部的 最大值为 ⁠. 解析：z1z2＝（ cos θ－i）（ sin θ＋i）＝（ cos θ sin θ＋1） ＋（ cos θ－ sin θ）i，而 sin θ cos θ＋1＝ sin 2θ＋1，故z1z2 的实部的最大值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 14. 已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的 取值范围为 ⁠. 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可 知，1≤｜z｜≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋ 1｜表示复数z的对应点A（a，b）与复数z1＝－ 1的对应点B（－1，0）之间的距离，即圆环内的 点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3.∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3]. [0，3]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝ .求： （1）z1z2； 解：z2＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－3i. （1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i. 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. （2） . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 16. （本小题满分15分）复数z＝（1＋i）2＋ ，其中i为虚数单位. （1）求复数z及｜z｜； 解： z＝（1＋i）2＋ ＝2i＋i（1＋i）＝－1＋3i， ｜z｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）若z2＋a ＋b＝2＋3i，求实数a，b的值. 解： 由z2＋a ＋b＝2＋3i得， （－1＋3i）2＋a（－1－3i）＋b＝2＋3i， 即（－8－a＋b）＋（－6－3a）i＝2＋3i， 所以解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 17. （本小题满分15分）（1）在复平面内画出与以下复数z1，z2， z3，z4分别对应的向量 ， ， ， ，z1＝1，z2＝i，z3 ＝4＋3i，z4＝4－3i； 解： 由题意可得如图所示图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）求向量 ， ， ， 的模； 解： 由于 ， ， ， 的坐标分别为（1， 0），（0，1），（4，3），（4，－3）， 则向量 ， ， ， 的模分别为 ｜ ｜＝1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （3）点P1，P2，P3，P4中是否存在两个点关于实轴对称？若存 在，则它们所对应的复数有什么关系？ 解： 点P3（4，3），P4（4，－3）关于实轴对称，它 们所对应的复数4＋3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反 数，互为共轭复数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 18. （本小题满分17分）已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋ i）＝0. （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； 解： 原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0， 设方程的实数根为x0，则 即又θ是锐角，故θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）证明：对任意θ≠kπ＋ （k∈Z），方程无纯虚数根. 解： 证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0， b∈R，则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，即－b2－ ibtan θ＋b－2－i＝0，可得－b2＋b－2＝0，解得b＝ ，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 19. （本小题满分17分）设z是虚数，ω＝z＋ 是实数，且－1＜ω ＜2. （1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围； 解： ∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且 y≠0， ∴ω＝z＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋ ＋（y－ ）i， 可得⇒x2＋y2＝1⇒｜z｜＝1， 此时，ω＝2x⇒－ ＜x＜1，即z的实部的取值范围为（－ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）设μ＝ ，求证：μ为纯虚数； 解： 证明：μ＝ ＝ ＝ ＝ ，∵y≠0，∴μ为纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （3）求ω－μ2的最小值. 解： ω－μ2＝2x－（－ i）2， 化简得ω－μ2＝2（x＋1）＋ －3≥ 2 －3＝1. 当且仅当x＋1＝ ，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) $