第12章 复数 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件以复数的概念、四则运算及几何意义为核心，通过知识体系梳理（含一元二次方程、不等式、函数、数列等），以箭头连接各知识点逻辑关系，构建学习支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于结合高考真题设计例题与跟踪训练，通过反思感悟总结解题策略，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。学生能提升知识应用能力，教师可高效开展复习教学。

章末复习与总结 数学·必修第二册 (SJ) 一、复数的有关概念 　　复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复 数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念 解答. 【例1】　已知z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数 m的取值，使： 数学·必修第二册 (SJ) （1）z是纯虚数； 解： 由得m＝3. ∴当m＝3时，z是纯虚数. （2）z是实数； 解： 由 得m＝－1或m＝－2. ∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数. 数学·必修第二册 (SJ) （3）z在复平面内对应的点位于第二象限. 解： 由 得－1＜m＜1－ 或1＋ ＜m＜3. ∴当－1＜m＜1－ 或1＋ ＜m＜3时，复数z在复平面内对 应的点位于第二象限. 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 处理复数概念问题的两个注意点 （1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a ＋bi的形式，以便确定其实部和虚部； （2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生 增根. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 若复数z＝1＋i（i为虚数单位）， 是z的共轭复数，则z2＋ 的 虚部为（　　） A. 0 B. －1 C. 1 D. －2 解析： 　因为z＝1＋i，所以 ＝1－i，所以z2＋ ＝（1＋i）2＋ （1－i）2＝2i＋（－2i）＝0. √ 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R）和z2＝2 cos θ＋（λ＋3 sin θ）i（θ∈R），若z1＝z2，则实数λ的取值范围为 ⁠ ⁠. ［－ ，7］　 数学·必修第二册 (SJ) 解析：由题设及复数相等的定义，知m＝2 cos θ，且4－m2＝λ＋ 3 sin θ，消去参数m，得λ＝4－4 cos 2θ－3 sin θ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝4 － .∵－1≤ sin θ ≤1，∴当 sin θ＝ 时， λmin＝－ ；当 sin θ＝－1时，λmax＝7.故－ ≤λ≤7，即 λ∈ . 数学·必修第二册 (SJ) 二、复数的四则运算 　　复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除 法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比. 【例2】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝ ，则z－ ＝ （　　） A. －i B. i C. 0 D. 1 √ 解析： 　由题意，得z＝ ＝ ＝－ i，所 以 ＝ i，所以z－ ＝－ i－ i＝－i.故选A. 数学·必修第二册 (SJ) 解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i. 所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i， z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i， ＝ ＝ ＝ ＝ － i. （2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2， 的值. 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 进行复数代数运算的策略 （1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算； （2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看 作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单 的形式. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2023·全国甲卷2题） ＝（　　） A. －1 B. 1 C. 1－i D. 1＋i 解析： 　由题意得 ＝ ＝ ＝1－i. 故选C. √ 数学·必修第二册 (SJ) 2. （1＋i）20－（1－i）20＝（　　） A. －1 024 B. 1 024 C. 0 D. 512 解析： 　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－ 2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－ （－4）5＝0. √ 数学·必修第二册 (SJ) 三、复数的几何意义 　　复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用 复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平 面内的点、向量之间的关系解题. 【例3】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－ i）对应的点位于（　A　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 数学·必修第二册 (SJ) 解析： ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i， ∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8）， 即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A. 数学·必修第二册 (SJ) （2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它 们在复平面内所对应的点分别为A，B，C. 若O为原点，且 ＝2 ＋ ，则a＝ ，b＝ ⁠. 解析： ∵ ＝2 ＋ ，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋ bi），即∴ －3　 －10　 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 在复平面内确定复数对应的点的步骤 （1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序 实数对（a，b）； （2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）； （3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量 ＝（a，b）（O为坐 标原点），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1， ），则z的共轭 复数 ＝（　　） A. 1＋ i B. 1－ i C. －1＋ i D. －1－ i 解析： 　∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1， ），∴z＝－1＋ i，则z的共轭复数 ＝－1－ i，故选D. √ 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·湖州质检）已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最 大值为（　　） A. B. 2 C. ＋1 D. 3 解析： 　设z＝a＋bi，a，b∈R. 因为｜z＋i｜ ＝｜a＋（b＋1）i｜＝1，所以a2＋（b＋1）2＝ 1，因为｜z＋1｜＝｜a＋1＋bi｜＝ ，所以｜z＋1｜相当于圆a2＋ （b＋1）2＝1上的点到点（－1，0）的距离，所 以｜z＋1｜的最大值为圆心（0，－1）到点（－1， 0）的距离与圆的半径1的和，即 ＋1， 故选C. √ 数学·必修第二册 (SJ) $