12.3 复数的几何意义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、复数与点/向量的对应关系、模及加减法的几何意义。课堂通过高斯引入复数的历史情境，类比实数与数轴的对应，以问题“复数怎样表示”搭建从实数到复数的认知支架。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，通过复平面内点、向量的对应及模的几何意义（如圆、圆环）培养直观想象，通性通法总结解题步骤发展数学思维。分层训练从基础到拓展，助力学生逐步提升，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

12.3　复数的几何意义 新课程标准解读 核心素养 1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模的概念 数学抽象 2.理解复数的代数表示及其几何意义 直观想象 3.了解复数加、减运算的几何意义 直观想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础. 　　复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在 性”，为进一步研究复数奠定了基础. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【问题】　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来 表示呢？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　复平面及复数的几何意义 1. 复平面：把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 ⁠ ， 轴叫作实轴， 轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实 数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复平 面　 x　 y　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 复数的几何意义 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 复数的模 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为 ，则向量 的模叫 作复数z＝a＋bi的模（或绝对值），记作 或 ⁠ .由模的定义知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ ⁠. 提醒　复数模的运算性质：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜ ｜＝ ；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z ＝｜z｜2；③｜z1｜ －｜z2｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜. ｜z｜　 ｜a＋ bi｜　 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　复数加、减法的几何意义 1. 复数加、减法的几何意义 设向量 ， 分别与复数a＋bi，c＋di（a，b，c， d∈R）对应，且 ， 不共线. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 复数加法的 几何意义 以 ， 为两条邻边画 ▱OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的 向量 就是与复数（a＋c）＋ （b＋d）i对应的向量 复数减法的 几何意义 从向量 的终点指向向量 的 终点的向量 就是复数z1－z2对 应的向量 提醒　（1）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法 则；（2）复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 复数的差的模 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则｜z1－z2｜＝ ，即两个复数的差的模就是复平面内与 这两个复数对应的两点间的 ⁠. 距离　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数 B. 若一个数是实数，则其存在虚部 C. 复数z＝－i在复平面内对应点Z的坐标为（0，－1） D. 复数的模一定是正实数 √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数，故 A错误；对于B，若一个数是实数，则其虚部存在且为0，故B正确；对于C，复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1），故C正确；对于D，复数的模可以为0，故D错误.故选B、C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·扬州中学期中）复数z＝ ，其中i为虚数单位，则z在复 平面对应的点的坐标为（　　） A. （0，－1） B. （0，1） C. （－1，0） D. （1，0） 解析： 　z＝ ＝ ＝i，z在复平面对应的点的坐标为 （0，1）.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知向量 对应的复数为2－3i，向量 对应的复数为3－4i， 则向量 对应的复数的模为 　 　. 解析： ＝ － ＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.则｜ ｜＝｜1－i｜＝ ＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 复数与复平面内的点、向量的关系 【例1】　（1）（链接教科书第130页例1）在复平面内，复数5＋6i， 3－2i对应的点分别为A，B. 若C为线段AB的中点，则向量 对应 的复数是（　　） A. 8＋4i B. 2＋8i √ 解析： 　复数5＋6i表示的点为A（5，6），复数3－2i表示的 点为B（3，－2），因为C为线段AB的中点，所以C（4， 2），故向量 对应的复数为4＋2i.故选C. C. 4＋2i D. 1＋4i 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）（链接教科书第131页练习3题）在复平面内，实数x分别取 什么值时，复数z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应的点 Z在： ①第三象限； ②直线x－y－3＝0上. 解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数. ①当实数x满足 即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限. 目录 数学·必修第二册 (SJ) ②z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应点的坐标为Z（x2 ＋x－6，x2－2x－15）， 当实数x满足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0， 即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a， b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决 此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条 件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在 原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数；反 之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线 段，即为复数对应的向量； （2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平 面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量 之间的转化. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，则向量 表示的复 数是 ⁠. 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，所以 ＝（4，3）， ＝（－2，－5）.又 ＝ － ＝（－2，－ 5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量 表示的复数是－6－ 8i. －6－8i　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 求当实数m为何值时，复数z＝（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－ 28）i在复平面内的对应点分别满足下列条件： （1）位于第四象限； 解： 由题意，知 解得 即－7＜m＜3. 故当－7＜m＜3时，复数z的对应点位于第四象限. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）位于x轴的负半轴上. 解： 由题意，知 由②得m＝－7或m＝4. 因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①， 所以m＝4. 故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 复数的模及其几何意义的应用 【例2】　（链接教科书第130页例2、例3）已知复数z1＝ ＋i，z2 ＝－ ＋ i. （1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小； 解： 因为｜z1｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2， ｜z2｜＝ － ＋ i ＝ ＝1， 所以｜z1｜＞｜z2｜. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是 什么图形？ 解： 法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），则点Z的坐标为 （x，y）. 由｜z｜＝｜z1｜＝2，得 ＝2，即x2＋y2＝4. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜ ｜＝2（O为坐标原点）， 所以Z到原点的距离为2. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【母题探究】 　（变条件，变设问）若本例（2）改为：设z∈C，满足｜z2｜≤｜ z｜≤｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：因为｜z1｜＝2，｜z2｜＝1，所以1≤｜z｜ ≤2，可化为不等式组 设z＝x＋yi（x，y∈R）， 因为不等式｜z｜≥1的解集是圆x2＋y2＝1上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式｜z｜≤2的解集是圆x2＋y2＝4上和该圆内部所有点组成的集合， 这两个集合的交集，就是满足条件1≤｜z｜≤2的点的集合. 所以满足条件1≤｜z｜≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 在计算复数的模时，应先把复数表示成标准的代数形式，找出复数 的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较 大小，但它们的模可以比较大小. 2. 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：（1）复数 z的模｜z｜表示复数在复平面内对应的点Z到原点的距离，可依 据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数的 模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z在复平面内对应 点的集合是（　　） A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆 解析： 　由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3 或｜z｜＝－1，因为｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以复数z在复平 面内对应点的集合是1个圆.故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知复数z1＝m＋（m2－2m）i，z2＝1＋（－m2＋3m－1）i，其 中m∈R. （1）若复数z1为实数，求实数m的值； 解： 由复数z1为实数，则m2－2m＝0，解得m＝2或m ＝0， 即若复数z1为实数，则实数m的值为2或0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求｜z1＋z2｜的最小值. 解： 因为z1＋z2＝（m＋1）＋（m－1）i， 所以｜z1＋z2｜＝ ＝ ， 故｜z1＋z2｜的最小值为 ，此时m＝0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 复数加、减法的几何意义 【例3】　如图所示，平行四边形OABC的顶点O， A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i. 求：（1） 及 对应的复数； 解：因为点A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义知 与 对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i. （1）因为 ＝－ ＝－（3＋2i）＝－3－2i， ＝ ＋ ＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i， 所以 及 对应的复数分别为－3－2i，1＋6i. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2） 对应的复数及｜ ｜. 解：因为 ＝ － ＝（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i， 所以｜ ｜＝｜5－2i｜＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 　　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加 法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减 数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向 量 对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知平行四边形ABCD中， 与 对应的复数分别是3＋2i与1＋ 4i，两对角线AC与BD相交于O点. （1）求 对应的复数； 解： 由于四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ＋ ， 于是 ＝ － ，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即 对应的复数是－2＋2i. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求 对应的复数. 解： 由于 ＝ － ，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝ 5，所以 对应的复数是5. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型四 复数差的模的几何意义 【例4】　复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，则｜z｜的最大值是（　　） A. 7 B. 9 C. 3 D. 5 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，即 复数z在复平面内对应的点与复数－3－4i在复平面 内对应的点的距离为2，复数z在复平面内对应的点 在复平面内的轨迹为如图所示的圆Q，数形结合可 知｜z｜的最大值在点P处取得，则其最大值为 ＋2＝7.故选A. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要 把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离 公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进 行求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 若z1＝－1－2i，复数z满足方程｜z－z1｜＝4，那么复数z在复平 面内对应的点P组成的图形为（　　） A. 以（－1，－2）为圆心，4为半径的圆 B. 以（－1，－2）为圆心，2为半径的圆 C. 以（1，2）为圆心，4为半径的圆 D. 以（1，2）为圆心，2为半径的圆 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　设z＝x＋yi，x，y∈R，由｜z－z1｜＝4，得｜（x＋ 1）＋（y＋2）i｜＝4，即（x＋1）2＋（y＋2）2＝42＝16，故复 数z在复平面内对应的点P组成的图形是以（－1，－2）为圆心，4 为半径的圆.故选A. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知｜z｜＝1且z∈C，求｜z－2－2i｜（i为虚数单位）的最小 值. 解：因为｜z｜＝1且z∈C，作图如图， 所以｜z－2－2i｜的几何意义为单位圆上的点M 到复平面内的点P（2，2）的距离， 所以｜z－2－2i｜的最小值为｜OP｜－1＝2 －1. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （2024·苏州期中）i是虚数单位，则复数（3－i）（4－i）在复平 面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　z＝（3－i）（4－i）＝12－7i＋i2＝11－7i，z＝11－7i 在复平面内对应的点为（11，－7），它位于第四象限.故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 若O为复平面的原点，向量 对应的复数是5－4i，向量 对 应的复数是－5＋4i，则 ＋ 对应的复数是（　　） A. －10＋8i B. 10－8i C. 0 D. 10＋8i 解析： 　由复数的几何意义，可得 ＝（5，－4）， ＝ （－5，4），所以 ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0， 0），所以 ＋ 对应的复数为0. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝ 时， 点Z与点（1，2）的距离为 ⁠. 解析：∵｜z｜＝ ＝ ，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1 ＋i.当z＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为 ＝1；当z＝－1＋i时，Z为（－1，1）， 两点间的距离为 ＝ . 1或 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·盐城南阳中学期中）已知方程z2－2z＋4＝0的两根为z1， z2，对应点为Z1，Z2，求△OZ1Z2的面积. 解：因为z2－2z＋4＝（z－1）2＋3＝0，所以（z－1）2＝－3，即 （ ）2＝－1， 又因为i2＝－1，所以（ ）2＝i2，所以 ＝±i，即z＝1± i. 即方程z2－2z＋4＝0的两根为z1＝1＋ i，z2＝1－ i，对应点 为Z1（1， ），Z2（1，－ ）， 所以△OZ1Z2的面积为 ×1×2 ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i（a∈R）对应的点在虚轴 上，则（　　） A. a≠2或a≠1 B. a≠2或a≠－1 C. a＝2或a＝0 D. a＝0 解析： 　由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·常州月考）在复平面内，复数z1，z2对应的两个点关于虚轴 对称，已知z1＝1＋i，则z1z2＝（　　） A. －2 B. 2 C. －2－i D. －2＋i 解析： 　因为复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，z1＝1＋i， 所以z2＝－1＋i，所以z1z2＝（1＋i）（－1＋i）＝－2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 若z＝1＋i，则｜z2－2z｜＝（　　） A. 0 B. 1 C. D. 2 解析： 　法一　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜（1＋i）2－2（1 ＋i）｜＝｜2i－2i－2｜＝｜－2｜＝2.故选D. √ 法二　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜z｜｜z－2｜＝ ×｜－1＋ i｜＝ × ＝2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 设复数z满足｜z－i｜＝1，z在复平面内对应的点为（x，y）， 则（　　） A. （x＋1）2＋y2＝1 B. （x－1）2＋y2＝1 C. x2＋（y－1）2＝1 D. x2＋（y＋1）2＝1 解析： 　依题意z＝x＋yi，代入｜z－i｜＝1，得｜x＋（y－ 1）i｜＝1，∴ ＝1，即x2＋（y－1）2＝1.故 选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）（2024·连云港月考）设复数z满足z（1－i）＝2（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（　　） A. ｜z｜＝ B. 复数z的虚部是i C. ＝－1＋i D. 复数z在复平面内所对应的点在第一象限 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　因为z（1－i）＝2，所以z＝ ＝ ＝1＋ i，所以｜z｜＝ ＝ ，所以A正确；z＝1＋i的虚部为1， 所以B错误；z＝1＋i的共轭复数为 ＝1－i，所以C错误；z＝1＋i 在复平面内所对应的点为（1，1），在第一象限，所以D正确.故 选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）已知复数z＝ ，则（　　） A. z2 024是纯虚数 B. ｜z＋i｜＝2 C. z的共轭复数为－i D. 若复数ω满足｜ω－z｜＝ ，则｜ω｜max＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　z＝ ＝ ＝ ＝i.对于A，z2 024＝i2 024＝ 1，故A错误；对于B，｜z＋i｜＝｜i＋i｜＝2，故B正确；对于 C，z的共轭复数为－i，故C正确；对于D，｜ω－z｜＝｜ω－i｜ ＝ 的几何意义为ω在复平面内对应的点A到点（0，1）的距离为 ，故｜ω｜max＝1＋ ＝ ，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. i是虚数单位，设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy ＝ ，｜x＋yi｜＝ ⁠. 解析：由（1＋i）x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1， ∴xy＝1，｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝ . 1　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 已知i为虚数单位，复数z＝ ，则｜z｜＝ 　 　，复数z的共轭 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ⁠. 解析：由题意得，z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以｜ z｜＝ ＝ ， ＝ － i，所以复数z的共轭复数 在 复平面内对应的点的坐标为 . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 若复数z＝（a－2）＋（a＋1）i，a∈R对应的点位于第二象限， 则｜z｜的取值范围是 ⁠. 解析：复数z＝（a－2）＋（a＋1）i对应的点的坐标为（a－2， a＋1），因为该点位于第二象限，所以解得－1＜a ＜2.由条件得｜z｜＝ ＝ ＝ ＝ .因为－1＜a＜2，所 以｜z｜∈［ ，3）. ［ ，3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. （2024·苏州期中）已知复数z在复平面上对应的点在第一象限， 且｜z｜＝ ，z2的虚部为2. （1）求复数z； 解： 设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z｜＝ ，z2＝（a＋bi）2＝（a2－b2）＋2abi， 因为｜z｜＝ ，z2的虚部为2，所以 解得或 又复数z在复平面上对应的点在第一象限，所以故 z＝1＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）设复数z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C， 求 · 的值. 解： 因为z＝1＋i，所以z2＝（1＋i）2＝2i，z－z2＝1 ＋i－2i＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， · ＝（－1，1）·（0，－2）＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜ z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的 （　　） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解析： 　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知 复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为 △ABC的外心.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）已知复数z0＝2＋i（i为虚数单位）在复平面内对应的点 为P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的是 （　　） A. P0点的坐标为（2，1） B. 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称 C. 复数z对应的点P在一条直线上 D. P0与z对应的点P间的距离的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　复数z0＝2＋i（i为虚数单位）在复平面内对应的点 为P0（2，1），因此A正确；复数z0的共轭复数2－i对应的点 （2，－1）与点P0（2，1）关于虚轴不对称，因此B不正确；设 点A（1，0），B（0，1），由复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜， 结合复数的几何意义，可知复数z对应的点P到点（1，0）与点 （0，1）的距离相等，则复数z对应的点P在线段AB的垂直平分 线y＝x上，因此C正确；P0（2，1）与z对应的点P间的距离的 最小值为点P0到直线x－y＝0的距离d＝ ＝ ，因此D正 确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. （2024·镇江月考）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2 ＝ ＋i，则｜z1－z2｜＝ 　2 　. 解析：法一　设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2， y2∈R），则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得 ＋ ＝ ＋ ＝4.因 为z1＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝ ＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1 ＋x2）2＋（y1＋y2）2＝ ＋ ＋ ＋ ＋2x1x2＋2y1y2＝8＋ 2x1x2＋2y1y2＝（ ）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所 以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝ ＝ ＝ ＝2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝ －a＋（1－b）i，则 即所以｜ z1－z2｜2＝（2a－ ）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（ a＋ b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以｜z1－z2｜＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法三　设z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，z1 ＋z2＝z＝ ＋i，则z在复平面内对应的点为P（ ，1），所以｜ z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知四边形OAPB是边长为2， 一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝2× ×2＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位，m∈R），且 ·（3＋i）为纯 虚数（ 是z的共轭复数）. （1）设复数z1＝ ，求｜z1｜； 解：∵z＝1＋mi，∴ ＝1－mi. ∴ ·（3＋i）＝（1－mi）（3＋i）＝（3＋m）＋（1－ 3m）i. 又∵ ·（3＋i）为纯虚数， ∴解得m＝－3.∴z＝1－3i. （1）z1＝ ＝－ － i，∴｜z1｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）设复数z2＝ ，且复数z2在复平面内所对应的点在第一 象限，求实数a的取值范围. 解： ∵z＝1－3i，i2 025＝i2024·i＝i， ∴z2＝ ＝ . 又∵复数z2在复平面内所对应的点在第一象限， ∴解得a＞ . 即实数a的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向 量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，求： （1）点C，D对应的复数； 解： ∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i， ∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i. 又∵ ＝ ＋ ，∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i. ∵ ＝ ，∴向量 对应的复数为3－i， 即 ＝（3，－1）.设D（x，y）， 则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1）， ∴解得∴点D对应的复数为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）平行四边形ABCD的面积. 解： ∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B， ∴ cos B＝ ＝ ＝ . ∵0＜B＜π，∴ sin B＝ ， ∴S四边形ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝ 7， ∴平行四边形ABCD的面积为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $