12.1 复数的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件围绕复数的概念、分类及相等条件展开，通过数集扩充历史（从自然数到实数的方程无解问题）导入，构建从实数到复数的知识脉络，为学生提供自然的学习支架。 其亮点在于采用“问题驱动-概念建构-分层训练”模式，结合数学抽象（引入虚数单位i）和逻辑推理（复数分类、相等条件的充要性），通过“通性通法”总结（如复数分类三步骤）和典型例题链接教材，帮助学生系统掌握知识，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

12.1　复数的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过方程的解，了解引进复数的必要性 数学抽象 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　 　　随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充，它的每一次扩充，解 决了某些运算在原有数集中不能实施的矛盾，数集的扩充过程，也可 以从方程是否有解的角度来理解： 　　在自然数集中，方程x＋4＝3无解，为此引入负数，数集扩充到 整数集； 目录 数学·必修第二册 (SJ) 　　在整数集中，方程2x＝5无解，为此引入分数，数集扩充到有理 数集； 　　在有理数集中，方程x2＝7无解，为此引入无理数，数集扩充到 实数集. 【问题】　在实数集中，类似x2＝－1的方程无解，能否引入一种新 数，使得方程有解并将实数集进行扩充呢？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　复数的概念及分类 1. 虚数单位：引入一个新数i，叫作 ，并规定： （1）i2＝ ⁠； （2） 可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加 法、乘法运算律仍然成立. 2. 复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数. ⁠ 所组成的集合叫作复数集，记作C. 虚数单位　 －1　 实数　 全体复 数　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a， b∈R），其中a与b分别叫作复数z的 与 ⁠. 4. 复数的分类 实部　 虚部　 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R） （2）集合表示 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　复数相等 　如果两个复数的 与 分别相等，那么我们就说这两 个复数相等，即a＋bi＝c＋di⇔这就是说，两个复数相等的 充要条件是它们的 和 分别相等. 提醒　在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c， d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若 忽略前提条件，则结论不能成立. 实部　 虚部　 实部　 虚部　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解 B. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）中，实部为a，虚部为b C. 任意两个复数不能比较大小 D. 若a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi为纯虚数 解析： 　对于A，i2＝－1，则i2＋1＝0，故A正确；由复数的代 数形式知B正确；对于C，若两个复数是实数，则两个实数能比较 大小，故C错误；对于D，当a＝0，b＝0时，复数a＋bi＝0，故D 错误.故选A、B. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·淮安马坝高中期中）已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为 虚数单位）是实数，则a＝（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析： 　依题意得a－2＝0，∴a＝2.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知x－3i＝（8x－y）i（x，y∈R），则x＝ ，y＝ ⁠. 解析：依题意得即 0　 3　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 复数的概念 【例1】　（1）（链接教科书第120页例1）写出下列复数的实部和虚 部：－2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0； 解： －2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0的实部分别为－ 2， ， ，0，0，0；虚部分别为 ，1，0，－ ，1，0. （2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系. 解： 根据各数集的含义可知，N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 复数概念的几个关注点 （1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z 的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b； （2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是 复数的两大构成部分； （3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间 的关系为（　　） A. A⫋B⫋C B. B⫋A⫋C C. B⫋C⫋A D. A⫋C⫋B 解析： 　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚 数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等， 则a＝ ⁠. 解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4. 4　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 复数的分类 【例2】　（链接教科书第120页例2）当m取何值时，复数z＝ ＋（m2－2m－15）i是： （1）虚数； 解：当即m≠5且m≠－3时，z是 虚数. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 解：当即m＝5时，z是实数. （2）纯虚数； （3）实数. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【母题探究】 1. （变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 解：因为z＞0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （变条件，变设问）已知z＝log2（1＋m）＋[lo （3－m）]i （m∈R），若z是虚数，求m的取值范围. 解：∵z是虚数，∴lo （3－m）≠0，且1＋m＞0， 即∴－1＜m＜2或2＜m＜3. ∴m的取值范围为（－1，2）∪（2，3）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 复数分类问题的求解方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R） 的形式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满 足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满 足的方程（不等式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·江苏新海高中月考）若复数z＝（a2＋2a－3）＋（a＋3） i是纯虚数，则实数a的值是（　　） A. 1 B. 3 C. －3 D. －1 解析： 　根据纯虚数的概念知，解得a＝1， 所以实数a的值是1.故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 若复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则 （　　） A. a＝－1 B. a≠－1且a≠2 C. a≠－1 D. a≠2 解析： 　复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚 数，则有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 复数相等 【例3】　（1）（链接教科书第121页例3）若（x＋y）＋yi＝（x＋ 1）i，求实数x，y的值； 解： 由复数相等的充要条件， 得解得 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）关于x的方程3x2－ x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a 的值. 解： 设方程的实根为x＝m， 则原方程可变为3m2－ m－1＝（10－m－2m2）i， 所以 由②解得m＝2或m＝－ ， 分别代入①式，得a＝11或a＝－ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚 部相等列方程组求解； （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方 程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 已知x，y∈R，若（x－3y）＋（2x＋y）i＝－i＋1，则x＝ ⁠ 　，y＝ 　－ 　. 解析：由题意得解得 － 　 － 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知（a2＋am）＋2ai＝－2－mi（a，m∈R），求实数a的值. 解：因为a，m∈R，所以由复数相等的充要条件， 可得 解得或 所以a＝± . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知复数z＝1＋i，则下列结论正确的是（　　） A. z的实部为1 B. z的虚部为i C. z＞0 D. z是纯虚数 解析： 　复数z＝1＋i的实部为1，虚部为1，复数z＝1＋i不能与0 比较大小，且不是纯虚数.故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是 （　　） A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B. 若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1 C. 若b＝0，则a＋bi为实数 D. i的平方等于1 √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A错 误；对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正 确；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；对于D，i 的平方为－1，故D错误.故选B、C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值 为 ⁠. 解析：由题意得即m＝1. 4. 已知复数z＝k2－3k＋（k2－5k＋6）i（k∈R），且z＜0，求实 数k的值. 解：因为z＜0， 所以z∈R，所以所以k＝2. 1　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. （2024·扬州新华中学期中）复数z＝ cos ＋i sin ，则复数z的虚 部是（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　因为z＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，所以虚部为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数 a＝（　　） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 解析： 　易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－ 1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如果z＝m（m＋1）＋（m2－1）i为纯虚数，则实数m的值为 （　　） A. 1 B. 0 C. －1 D. －1或1 解析： 　由题意知∴m＝0.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，则a ＝（　　） A. 2 B. 3 C. －3 D. 9 解析： 　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有 解得a＝3.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）下列命题正确的是（　　） A. （a2＋1）i（a∈R）是纯虚数 B. －i2＝1 C. 1＋4i＞3i D. 若z∈C，则z2≥0 解析： 　对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是 纯虚数，故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正确；对于 C：复数不能比较大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1 ＜0，故错误.故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）下列命题为真命题的是（　　） A. 复数集是实数集与纯虚数集的并集 B. x＝ i是方程x2＋2＝0的解 C. 已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0 D. i是－1的一个平方根 解析： 　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x ＝ i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说 明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i 的定义，D为真命题.故选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. （2024·徐州月考）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi ＝ ⁠. 解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则所以x＋yi ＝2＋i. 2＋i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 已知z1＝－4a＋1＋（2a2＋3a）i，z2＝2a＋（a2＋a）i，其中 a∈R，若z1为纯虚数，则a＝ .若z1＞z2，则a＝ ⁠. 解析：由z1为纯虚数，则∴a＝ .由z1＞z2，得 解得a＝0. 　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 定义：复数b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的转置复数，已知 a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转 置复数是 ⁠. 解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2.所以复数z＝a＋bi＝1 －2i，故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i. －2＋i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－ 8）i是下列数？ （1）实数； 解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m －8＝0，得m＝4或m＝－2. （1）当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，∴m＝4或m＝ －2. 解：当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，∴m≠4且m≠ －2. （2）虚数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：当时，复数z是纯虚数，∴m＝ －3. 解：当时，复数z＝0，∴m＝－2. （3）纯虚数； （4）0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根 n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　） A. 3＋i B. 3－i C. －3－i D. －3＋i 解析： 　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即 解得∴z＝3－i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （2024·泰州月考）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋ 3）i＋10成立的实数m的取值集合是 ⁠. 解析：由已知，得解得m＝3，所以所求实 数m的取值集合是{3}. {3}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. （2024·镇江月考）定义运算 ＝ad－bc，若（x＋y）＋ （x＋3）i＝ （i为虚数单位），则实数x＝ ⁠ ，实数y＝ ⁠. － 1　 2　 解析：由题意 ＝3x＋2y＋yi，则 ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 分别求满足下列条件的实数x，y的值. （1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i； 解： 因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2） ＋（x2－2x－3）i＝0. 解： 因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得 即所以x ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2 sin θ＋（ cos θ－ 2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1为纯虚数，求实数m的值； 解： ∵z1为纯虚数， ∴ ∴m＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解： 由z1＝z2，得 ∴λ＝4－ cos 2θ－2 sin θ＝ sin 2θ－2 sin θ＋3＝（ sin θ－1）2＋2. 又∵－1≤ sin θ≤1， ∴当 sin θ＝1时，λmin＝2， 当 sin θ＝－1时，λmax＝6. ∴2≤λ≤6， 即λ的取值范围为[2，6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $