培优课 三角形中的最值（范围）问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦三角形中的最值（范围）问题，涵盖边（周长）、角或三角函数、面积等题型，通过典型例题导入，从基础公式应用到综合变换，搭建“例题精研—母题探究—通性通法总结”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“数学思维”为核心，通过化边为角、化角为边等通法，结合三角恒等变换与基本不等式，培养推理能力。如例2用正弦定理转化条件，用基本不等式求cosC最小值，体现数学眼光与语言表达。助力学生系统掌握解题策略，提升逻辑推理与应用能力，也为教师提供结构化教学资源，便于分层教学实施。

培优课　 三角形中的最值（范围）问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题 【例1】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ＝ . （1）求A的大小； 解： 由 ＝ 及已知，得 cos A＝ sin A， ∴tan A＝ ，又A∈（0，π），∴A＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若a＝6，求b＋c的取值范围. 解： 由a＝6及（1）知 ＝ ＝ ＝4 ， ∴b＝4 sin B，c＝4 sin C. ∵A＝ ，∴B＋C＝ π，∴C＝ π－B， ∴b＋c＝4 sin B＋4 sin ＝4 ［ sin B＋ sin （ π－B）］＝12 sin . ∵0＜B＜ π，∴ ＜B＋ ＜ π.∴ ＜ sin ≤1（当且仅 当B＝ 时，等号成立）， ∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范围为（6，12]. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【母题探究】 　（变条件，变设问）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知C＝ ，c＝ ，求△ABC周长的取值范围. 解：由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2， ∴a＝2 sin A，b＝2 sin B， 则△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝2（ sin A＋ sin B）＋ ＝ 2 ＋ ＝2 ＋ ＝ 2（ sin A＋ cos A）＋ ＝2 sin ＋ . ∵0＜A＜ ，∴ ＜A＋ ＜ ，∴ ＜ sin （A＋ ）≤1， ∴2 ＜2 sin ＋ ≤2＋ ， ∴△ABC周长的取值范围是（2 ，2＋ ]. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　解决与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题的方法 （1）化边为角：利用三角函数的单调性与有界性求最值（范围）； （2）化角为边：利用基本不等式或二次函数性质求最值（范围）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 cos C ＋ cos A cos B＝2 sin A cos B. （1）求 cos B的值； 解： 因为 cos C＋ cos A cos B＝2 sin A cos B， 所以－ cos （A＋B）＋ cos A cos B＝2 sin A cos B， 即 sin A sin B＝2 sin A cos B， 因为 sin A≠0，所以 sin B＝2 cos B＞0， 又因为 sin 2B＋ cos 2B＝1，解得 cos B＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若a＋c＝2，求b的取值范围. 解： 由a＋c＝2，可得c＝2－a， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ ac＝a2＋（2 －a）2－ a（2－a）＝ （a－1）2＋ ， 因为0＜a＜2，所以 ≤b2＜4，所以 ≤b＜2， 所以b的取值范围为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题 【例2】　若△ABC的内角A，B，C满足： sin A＋ sin B＝2 sin C，则 cos C的最小值是 ⁠. 　 解析：由 sin A＋ sin B＝2 sin C，得a＋ b＝2c，∴c＝ ，∴ cos C＝ ＝ ＝ ＝ ＋ － ≥2 － ＝ ，当且仅当 ＝ 即 a＝ b 时等号成立.∴ cos C的最小值为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　解决与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题 的方法 　　求角或角的三角函数有关的最值（范围）一般是用边表示角（三 角函数式），利用基本不等式求最值（范围）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　（2024·徐州月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a， b，c，已知 ＋ ＝ ，则A的取值范围是 　（0， ］　. （0， ］　 解析：由正弦定理知 ＋ ＝ ＝ ＝ ，∵ sin A＝ sin [π－（B＋C）]＝ sin （B＋C），∴ sin 2A＝ sin C sin B，即a2＝bc，又由余弦定理知 cos A＝ ≥ ＝ ，当且仅当b＝c时等号成立，∵A∈（0，π），∴ cos A∈ ，则A∈（0， ］. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 与三角形的面积有关的最值（范围）问题 【例3】　（2024·南通质检）在△ABC中，a，b，c分别为内角A， B，C所对的边，b＝c，且满足 ＝ .若点O是△ABC外一 点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是（　　） A. B. C. 3 D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　如图，在△ABC中，∵b＝c， ＝ ， ∴ sin B cos A＋ cos B sin A＝ sin A，即 sin （A＋B）＝ sin （π－C）＝ sin C＝ sin A，∴A＝C，又b＝c， 故△ABC为等边三角形.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC ＝ ·OA·OB· sin θ＋ ·AB2· sin ＝ ×2×1× sin θ＋ （OA2＋OB2－2OA·OB· cos θ）＝ sin θ－ cos θ＋ ＝2 sin ＋ .∵0＜θ＜π，∴－ ＜θ－ ＜ ，故当θ－ ＝ ，即θ＝ 时， sin 取得最大值1，故S四边形OACB的最大值为2＋ ＝ .故选A. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　求解与平面图形有关的面积最值（范围）问题可以先转化为三角 形的面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、 基本不等式、函数单调性求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ＝ . （1）求角A； 解： 由 ＝ ，结合正弦定理 ＝ ，得 ＝ ＝ ， 所以tan A＝ ，又因为A∈（0，π），所以A＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若a＝2，求△ABC面积的最大值. 解： 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc. 即bc≤4（当且仅当b＝c＝2时，等号成立）， 所以S△ABC＝ bc sin A≤ ×4× ＝ ， 即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B＝ 60°，b＝2.若这个三角形有两解，则a的取值范围是（　　） A. （2， ） B. （2， ］ C. （2，＋∞） D. （－∞，2） 解析： 　由题意得a sin B＜b＜a，即a sin 60°＜2＜a，解得2＜ a＜ ，故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A， B，C的对边，若 sin 2A＋ sin 2B＝2 sin 2C，则 cos C的最小值等 于（　　） A. B. C. D. － √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以 cos C＝ ＝ ，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所 以 ≥ ，故 cos C的最小值等于 .故选C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2 ＝c2＋ ab，若△ABC的外接圆半径为 ，则△ABC面积的最大 值为 ⁠. 4 　 解析：由a2＋b2＝c2＋ ab及余弦定理，得 cos C＝ ＝ ＝ ，∴ sin C＝ .由△ABC的外接圆半径为 ，得c＝2R sin C ＝4，∴a2＋b2＝16＋ ab≥2ab，∴ab≤12，当且仅当a＝b时等 号成立.∴S△ABC＝ ab sin C≤ ×12× ＝4 .即△ABC面积的 最大值为4 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，则边AB的取值范围是 （　　） A. （2，8） B. （1，4） C. （4，＋∞） D. （2，4） 解析： 　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依 题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以 cos B＝ ＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜ 4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a ＝6，1≤b≤4，则 sin A的最大值为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋ b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋ 27∈[27，31]，∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝ ，可得 sin A＝ ＝ ＝ ∈［ ，1］，故 sin A的 最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c cos A ＋a cos C＝2，AC边上的高为 ，则角B的最大值为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由c cos A＋a cos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为 ， 所以 ×2× ＝ ac sin B，即ac＝ ，又 cos B＝ ≥ ＝1－ ，当且仅当a＝c时取等号，所以 cos B≥1－ sin B，即 sin B＋3 cos B≥3，即 sin ≥ .因为B∈（0， π），所以B＋ ∈ ，则B＋ ∈（ ， ］，所以B∈ （0， ］，故角B的最大值为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 在△ABC中， sin 2A－ sin 2B－ sin 2C＝ sin B sin C. 若BC＝3，求 △ABC周长的最大值为（　　） A. 2 B. 3 C. 3＋2 D. 3＋3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB　 ①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A　②.由①②得 cos A＝－ .因为0＜A＜π，所以A＝ .由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 ，从而AC＝2 sin B，AB＝2 sin （π－A－B） ＝3 cos B－ sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋ sin B＋3 cos B＝3 ＋2 sin .又0＜B＜ ，所以当B＝ 时，△ABC周长取得 最大值3＋2 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝ ，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最 大值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中， 由余弦定理得b2＝9＋x2＋6x cos θ　①，在△ABD中，由余弦定 理得c2＝9＋9x2－18x cos θ　②，联立①②，消去 cos θ得3b2＋ c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　 ④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc （当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝ bc sin ≤ ×16× ＝4 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）（2024·江阴长泾中学期中）△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2， · ＝ 2 S，下列选项正确的是（　　） A. A＝ B. 若b＝3，则△ABC只有一解 C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是（2 ，4） D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2＋ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，根据平面向量数量积公式及三角形面积公式 由 · ＝2 S⇒bc cos A＝2 × bc sin A⇒tan A＝ ，因为 A∈（0，π），所以A＝ ，故A错误；对于B，b＝3＞a＝2＞b sin A＝ ，故△ABC有两解，故B错误；对于C，若△ABC为锐角 三角形，则B∈（0， ），且A＋B＝π－C＞ ⇒ ＋B＞ ⇒B∈ （ ， ），即 sin B∈（ ，1），由正弦定理可知：b＝ ＝4 sin B∈（2 ，4），故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 对于D，若D为BC边上的中点，则 ＝ （ ＋ ）⇒ ＝ （ ＋2 · ＋ ）＝ （b2＋c2＋ bc），由余弦定理知a2 ＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－ bc＝4⇒b2＋c2＝ bc＋4，根据 基本不等式有b2＋c2＝ bc＋4≥2bc⇒bc≤ ，当且仅当b＝c ＝ 时取得等号，所以 （b2＋c2＋ bc）＝ （4＋2 bc） ≤1＋ × ＝7＋4 ，即AD≤ ＝2＋ ，故D正确. 故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. （2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，则 ＝ ，角C 的最大值为 ⁠. 解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2⇒a2＋b2－c2 ＝c2⇒ ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，当且仅当a ＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值为 . 2　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝ tan Atan B，且 tan Atan B≠0，得tan C＝ ，∵0＜C＜π，∴C＝ .∵c2＝a2＋b2 －2ab cos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ ab≥a2＋b2－ ，∴a2＋b2≤16＋8 ，当且仅当a＝ b时取等号.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范围是（4，16＋8 ]. 8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 tan A＋tan B＋tan C＝ tan Atan B，若c＝2，则a2＋b2的取值范围 是 ⁠. （4，16＋8 ]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2024·无锡市北高中期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边 分别为a，b，c，且4 cos A＝ sin B＋ sin C. 若△ABC的面积 S＝ ，则边a的最小值为 ⁠. 解析：由正弦定理 ＝ ＝ 可得，b sin C＝c sin B，a sin B ＝b sin A. 由已知可得，4 bc· cos A＝ac sin B＋ab sin C＝2ac sin B＝2bc sin A，所以 sin A＝2 cos A. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 又0＜A＜π，所以0＜A＜ ，所以 cos A＞0，因为 sin 2A＋ cos 2A＝ 25 cos 2A＝1，所以 cos A＝ ， sin A＝ .因为△ABC的面积S＝ bc sin A＝ bc＝ ，所以bc＝ .由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2× × ≥2bc－1＝4，当且仅当b＝c＝ 时，等 号成立.所以a2≥4，a的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 如图所示，有两条经过村庄A且夹角为60°的公路，根据规划， 拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建 两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单 位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小 （即工厂与村庄的距离最远）？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：设∠AMN＝θ，在△AMN中， ＝ ， 又MN＝2，所以AM＝ sin （120°－θ）， 在△APM中， cos ∠AMP＝ cos （60°＋θ）， AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP· cos ∠AMP ＝ sin 2（120°－θ）＋4－2× sin （120°－θ）×2× cos （60°＋θ） ＝ sin 2θ＋ sin θ cos θ＋4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) ＝ sin 2θ－ cos 2θ＋ ＝ sin （2θ－30°）＋ . 因为0°＜θ＜120°，则－30°＜2θ－30°＜210°， 当且仅当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12， 即AP取得最大值2 . 所以∠AMN＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x） ＝a·b. （1）求函数f（x）图象的对称轴方程； 解： 因为a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x，cos x）， 所以f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝ sin （2x－ ）－ ， 由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z）， 即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f （B）＝ 且b＝ ，求a＋c的取值范围. 解： 由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－ ∈（－ ， ），即2B－ ＝ . 所以B＝ ，又b＝ ， 由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2 cos （A－ ）， 又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ， 所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ]. 即a＋c的取值范围为（ ，2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （2024·盐城响水中学期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知b cos ＝a sin B. （1）求角A的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解： 因为b cos ＝a sin B，由正弦定理可得 sin B cos ＝ sin A sin B， 又 sin B≠0，所以 cos ＝ sin A，因为A＋B＋C＝π， 所以 cos ＝ cos ＝ sin ，则 sin ＝ sin A＝2 sin cos ， 又 sin ≠0，所以 cos ＝ ， 因为 ∈（0， ），所以 ＝ ⇒A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）D是边BC上一点，且BD＝2DC，AD＝2，求△ABC面积 的最大值. 解： 根据题意可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ， 所以 ＝（ ＋ ）2＝ ＋ · ＋ ， 即36＝c2＋4bc（－ ）＋4b2≥2 －2bc＝2bc，所 以bc≤18， 当且仅当b＝3，c＝6时等号成立， 所以S△ABC＝ bc sin ≤ ×18× ＝ ，故△ABC面积的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) $