第11章 解三角形 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦正弦定理、余弦定理的应用，涵盖解三角形、判断形状、实际应用及综合问题，通过知识体系梳理搭建学习支架，从基础题型（如已知边角解三角形）逐步过渡到综合应用，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合实例（如徐州月考、新高考Ⅰ卷题）和实际问题（气球测河流宽度、救援船问题），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过例题解析和反思感悟发展数学思维（推理、运算能力），用数学语言（公式、定理）表达解题过程。学生能提升解题与应用能力，教师可借助系统复习资源提高教学效率。

章末复习与总结 数学·必修第二册 (SJ) 一、应用正弦、余弦定理解三角形 1. 这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应 用哪个定理解决.常见题型有：（1）一边和两角（如a，B， C）；（2）两边和夹角（如a，b，C）；（3）三边（a，b， c）；（4）两边和其中一边的对角（如a，b，A）. 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦 定理解此三角形.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角 形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正 弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助 已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解. 【例1】　（2024·徐州月考）在△ABC中，B＝45°，AC＝ ， cos C＝ . （1）求BC边的长； 数学·必修第二册 (SJ) 解： 由 cos C＝ ，得 sin C＝ ， sin A＝ sin （180°－45°－C）＝ sin （45°＋C）＝ （ cos C＋ sin C）＝ . 由正弦定理，得BC＝ · sin A＝ × ＝3 . 数学·必修第二册 (SJ) （2）求AB边上的中线CD的长. 解：由正弦定理，得AB＝ · sin ∠ACB＝ × ＝ 2.BD＝ AB＝1.在△BCD中， 由余弦定理，得CD＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 应用正弦、余弦定理需注意的三个方面 （1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要 根据题目条件恰当地实现边角的统一； （2）统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进 行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等 代数变换方法进行变形； （3）求值时注意方程思想的运用. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝ a cos B. （1）求B的大小； 解： ∵b sin A＝ a cos B， ∴由正弦定理，得 sin B sin A＝ sin A cos B. 在△ABC中， sin A≠0， 即得tan B＝ ，∴B＝ . 数学·必修第二册 (SJ) （2）若b＝3， sin C＝2 sin A，求a，c的值. 解： ∵ sin C＝2 sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ， 解得a＝ ，∴c＝2a＝2 . 数学·必修第二册 (SJ) 二、判断三角形的形状 1. 根据已知条件判断三角形的形状时，主要的方法是边角互化，一般 有两种途径：（1）将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求 解；（2）将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解. 2. 边角互化的常见方法有：（1）通过正弦定理进行边角转换；（2） 通过余弦定理进行边角转换；（3）通过三角变换找出角之间的关 系；（4）b2＋c2－a2＞0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直 角，b2＋c2－a2＜0⇔A为钝角. 数学·必修第二册 (SJ) 【例2】　（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（　B　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 B 解析： 法一　由正弦定理，得 sin B cos C＋ cos B sin C＝ sin 2A，即 sin （B＋C）＝ sin 2A，从而 sin （B＋ C）＝ sin A＝ sin 2A，∵ sin A≠0，解得 sin A＝1，∴A＝ .故选B. 法二　由余弦定理得b cos C＋c cos B＝a，从而a＝a sin A， ∵a≠0，∴ sin A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝ .故选B. 数学·必修第二册 (SJ) （2）（2024·无锡堰桥中学期中）在△ABC中，角A，B，C所对 的边分别为a，b，c，已知a cos A＝b cos B，且c2＝a2＋b2 －ab，则△ABC的形状为（　D　） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 D 数学·必修第二册 (SJ) 解析： ∵a cos A＝b cos B，由正弦定理得 sin A cos A＝ sin B cos B，即 sin 2A＝ sin 2B，又A，B∈（0，π），故可得A＝B或A＋B＝ ； 又c2＝a2＋b2－ab，即 cos C＝ ，又C∈（0，π），故可得C＝ . 综上所述，A＝B＝C＝ .故△ABC是等边三角形.故选D. 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 （1）通过边之间的关系判断形状； （2）通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件 统一为边的关系或角的关系. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　在△ABC中，若 ＝ ，试判断△ABC的形状. 解：由已知得 ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， 由正弦定理得 ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ sin C cos C＝ sin B cos B， 即 sin 2C＝ sin 2B， ∵B，C均为△ABC的内角， ∴2C＝2B或2C＋2B＝180°， 即B＝C或B＋C＝90°， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 数学·必修第二册 (SJ) 三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 1. 正弦定理和余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的 问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面. 2. 在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时，关键是根据题意画出 示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐 含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 数学·必修第二册 (SJ) 【例3】　如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的 俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是 60 m，则河流的宽 度BC是（　　） A. 240（ －1）m B. 180（ －1）m C. 120（ －1）m D. 30（ ＋1）m √ 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 （m），∴AC＝120（m）.在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝ 45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝ ＝ ＝120（ －1）（m）.故选C. 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 （1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； （2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向 角、方位角等； （3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知 识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中， 然后解此三角形； （4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原 有数据，尽量减少计算中误差的积累. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋ ）n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有 一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援 船到达D点需要多长时间？ 数学·必修第二册 (SJ) 解：由题意知AB＝5（3＋ ）n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°， 在△DAB中，由正弦定理得 ＝ ， ∴DB＝ ＝ ＝ 数学·必修第二册 (SJ) ＝ ＝10 n mile， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝ 20 n mile， ∴在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC· cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×10 ×20 × ＝900， ∴CD＝30 n mile. ∴t＝ ＝1 h. ∴救援船到达D点需要1 h. 数学·必修第二册 (SJ) 四、与三角形有关的综合问题 　　该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边 角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等 式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三 角函数中两角和与差的公式及倍角公式等. 【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边 分别为a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. 数学·必修第二册 (SJ) （1）求B； 解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab， 可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 数学·必修第二册 (SJ) （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解： 由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ， 由正弦定理有 ＝ ， 从而a＝ · c＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 数学·必修第二册 (SJ) 反思感悟 解三角形综合问题的方法 （1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形 面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适 的方法进行求解； （2）解三角形常与平面向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考 查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条 件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解. 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知向量a＝（ sin x， cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x） ＝a·b. （1）求函数f（x）＝a·b的最小正周期； 解： f（x）＝ sin x cos x＋ cos 2x ＝ sin 2x＋ cos 2x＋ ＝ sin （2x＋ ）＋ ， 所以f（x）的最小正周期T＝ ＝π. 数学·必修第二册 (SJ) （2）在△ABC中，BC＝ ， sin B＝3 sin C，若f（A）＝1，求 △ABC的周长. 解： 由f（A）＝1，可得 sin （2A＋ ）＝ ， 又0＜A＜π，所以 ＜2A＋ ＜ ， 所以2A＋ ＝ ，故A＝ . 设角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以a2＝b2＋c2－bc＝7. 又 sin B＝3 sin C，所以b＝3c. 故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1. 所以b＝3，△ABC的周长为4＋ . 数学·必修第二册 (SJ) $