章末检测（10） 三角恒等变换-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦三角恒等变换，涵盖和差角、二倍角公式及应用。通过典型例题导入，从单一公式应用到综合问题，构建从基础到复杂的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动数学思维，如结合角的范围分析与公式变形培养推理能力，通过实际情境题（如正方形空地规划）强化数学语言表达。例题解析步骤详尽，助力学生提升运算与应用能力，也为教师提供系统教学资源。

章末检测（十）　三角恒等变换 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. cos （45°－α） cos （α－15°）－ sin （45°－α） sin （α－ 15°）＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　原式＝ cos [（45°－α）＋（α－15°）]＝ cos 30° ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册 (SJ) 2. 下列各式中，值为 的是（　　） A. cos 2 － sin 2 B. C. sin 15° cos 15° D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A， cos 2 － sin 2 ＝ cos （2× ）＝ cos ＝ ，故A错误；对于B， ＝ · ＝ tan 45° ＝ ，故B正确；对于C ， sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ，故C 错误；对于D， ＝ ＝ ，故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知tan（α－β）＝3，tan β＝2，则tan α＝（　　） A. －1 B. 1 C. － D. 解析： 　因为tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ， 又tan（α－β）＝3，tan β＝2，故tan α＝ ＝－1.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 4. cos 20°· cos 40°· cos 60°· cos 80°＝（　　） A. B. C. D. 解析： 由20°，40°，80°成倍角关系，且 sin 2α＝2 sin α cos α，则 cos α＝ ，则 cos 20° cos 40°· cos 60° cos 80° ＝ × × × ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 5. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 sin ＝（　　） A. B. － C. D. 解析： 　∵α∈ ，∴ ∈ ，∴ sin ＝ ＝ ＝ ＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 6. 若2α∈（－ ， ），tan α＝ ，则 sin （2α－ ）＝ （　　） A. － B. C. － D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　因为tan α＝ ，所以 ＝ .整理得3 sin α ＝ sin 2α＋ cos 2α＝1，则 sin α＝ ，又2α∈（－ ， ），则 2α∈（0， ），所以 cos α＝ ＝ ，所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ ， cos 2α＝1－2 sin 2α＝ ，所以 sin （2α－ ）＝ sin 2α cos － cos 2α sin ＝ × － × ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 7. 已知 sin （α－β）＝ ， cos （α＋β）＝－ 且α－ β∈ ，α＋β∈ ，则 cos 2β＝（　　） A. 1 B. －1 C. D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵α－β∈ ， sin （α－β）＝ ，∴ cos （α －β）＝－ .∵α＋β∈ ， cos （α＋β）＝－ ，∴ sin （α＋β）＝ .∴ cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝ cos （α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝ × ＋ × ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 8. 在△ABC中，若tan B＝ ，则这个三角形是 （　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ，∴ cos （B＋ C）＝0，∴ cos （π－A）＝0，∴ cos A＝0，∵0＜A＜π，∴A＝ ，∴这个三角形为直角三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知0＜θ＜ ，若 sin 2θ＝m， cos 2θ＝n且m≠n，则下列选 项中与tan 的值恒相等的有（　　） A. B. C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵ sin 2θ＝m， cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴ ＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 10. 已知α，β是锐角， cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，则 cos β＝（　　） A. B. C. D. － √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由α是锐角， cos α＝ ，则 sin α＝ ＝ ，又α，β是锐角，则－β∈ ，得α－β∈ ，又 cos （α－β）＝ ，则 sin （α－β）＝± ，则 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ × ± × ＝ ，得 cos β＝ 或 cos β＝ .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 11. 下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C. · （α∈（0，π）） D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　A项， ＝ ＝ ＝｜tan α｜ ≠tan α；B项， ＝ ＝tan ≠tan α；C项，因为 α∈（0，π），所以原式＝ · ＝ ＝tan α，符 合；D项， ＝ ＝tan α，符合.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 已知 sin （α＋30°）＝ ，则 sin （2α＋150°）＝ 　 　. 解析： sin （2α＋150°）＝ sin [2（α＋30°）＋90°]＝ cos [2（α＋30°）]＝1－2 sin 2（α＋30°）＝1－2×（ ）2＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 13. △ABC的三个内角分别为A，B，C，当A＝ 时， cos A ＋2 cos 取得最大值，这个最大值为 　 　. 解析： cos A＋2 cos ＝ cos A＋2 sin ＝1－2 sin 2 ＋2 sin ＝ －2 sin 2 ＋2 sin ＋1＝－2· ＋ ，当 sin ＝ ，即A ＝60°时， ＝ . 60°　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 14. 计算： cos 40°（1＋ ）＝ ⁠. 解析：原式＝ cos 40°（1＋ ）＝ cos 40°· ＝ cos 40° ＝ cos 40° ＝ cos 40° ＝ cos 40° ＝ ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为 始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B 两点，已知A，B的横坐标分别为 ， . （1）求tan（α－β）的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解： 由题可知， cos α＝ ， cos β＝ . 由于α，β为锐角，则 sin α＝ ， sin β＝ ， 故tan α＝ ，tan β＝ ， 则tan（α－β）＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）求α＋β的值. 解： 因为tan（α＋β）＝ ＝1， sin α＝ ＜ ， sin β＝ ＜ ，即0 ＜α＋β＜ ，故α＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 16. （本小题满分15分）已知 cos ＝ ， ＜x＜ ，求 的值. 解： ＝ ＝ ＝ ＝ sin 2x·tan . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) ∵ ＜x＜ ，∴ ＜x＋ ＜2π， 又∵ cos ＝ ， ∴ sin ＝－ . ∴tan ＝－ . sin 2x＝ sin ＝－ cos ［2（ ＋x）］＝1－2 cos 2 ＝1－2× ＝ . ∴ ＝ sin 2x·tan ＝ × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 17. （本小题满分15分）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下 三个式子的值都等于同一个常数. cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°； cos 280°＋ cos 2（－50°）－ sin 80° sin （－50°）； cos 2170°＋ cos 2（－140°）－ sin 170° sin （－140°）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （1）求出这个常数； 解： cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15° ＝2 cos 215°－ sin 215° ＝1＋ cos 30°－ （1－ cos 30°） ＝1＋ － × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等 式，并证明你的结论. 解： 推广：当α＋β＝30°时， cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β＝ . 证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α， cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β ＝ cos 2α＋ cos 2（30°－α）－ sin α sin （30°－α） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) ＝ cos 2α＋ － sin α·（ cos α－ sin α） ＝ cos 2α＋ cos 2α＋ cos α sin α＋ sin 2α－ cos α sin α＋ sin 2α＝ cos 2α＋ sin 2α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 18. （本小题满分17分）如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空 地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花 草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝ ，其他 区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度. （1）求△PAQ的面积S关于θ的函数解析式S（θ）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 解： 因为∠BAP＝θ，正方形边长为 1百米， 所以AP＝ ，AQ＝ . 如图，过点P作AQ的垂线，垂足为E，则PE＝ · ， 所以S（θ）＝ · · ＝ ，θ∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）求面积S的最小值. 解： 因为S（θ）＝ ， 所以当 sin ＝1，即θ＝ 时，S（θ）取最小值为 －1， 故当θ＝ 时，面积S的最小值为 －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx＋1 （其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； 解： ∵f（x）＝2 ＋1 ＝2 ＋1 ＝2 sin ＋1， ∵T＝ ＝6π，∴ω＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) （2）设α，β∈ ，f ＝ ，f（3β＋π）＝ ， 求 cos （α＋β）的值. 解： 由（1）得f（x）＝2 sin ＋1， ∵f ＝2 sin ＋1＝2 sin ＋1＝ －2 cos α＋1＝ ， ∴ cos α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) 又f（3β＋π）＝2 sin ＋1＝2 sin β＋1＝ ，∴ sin β＝ . ∵α，β∈ ， ∴ sin α＝ ＝ ， cos β＝ ＝ . ∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 (SJ) $