10.1.2 第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦两角和与差的正余弦公式应用，通过典型例题链接教科书内容，构建从公式直接应用到拆角、综合化简的学习支架，帮助学生衔接公式推导与灵活解题。 其亮点在于结合通性通法总结（如证明问题从结构特征分析），培养数学思维与推理能力，通过拆角求值（如将60°拆分为60°-10°+10°）发展数学眼光中的抽象能力，跟踪训练与检测助力学生用数学语言表达解题过程。对学生提升运算与逻辑推理能力，对教师便于实施素养导向教学。

第2课时　 两角和与差的正、余弦公式的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 证明恒等式 【例1】　（链接教科书第60页例4）证明： ＝ tan（α＋β）. 证明： ＝ ＝ ＝ ＝tan（α＋β），所以原式得证. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 解决有关的证明问题的策略 　　对于三角函数中的证明问题，首先需要看等号两边式子的结构特 征（等式两边的角和三角函数名称之间的关系），确定证明的方向， 遵循从繁到简原则，然后利用公式证明. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知3 sin β＝ sin （2α＋β），求证tan（α＋β）＝2tan α. 证明：由已知得3 sin [（α＋β）－α]＝ sin [（α＋β）＋α]， 即3[ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α]＝ sin （α＋β） cos α＋ cos （α＋β） sin α， 即2 sin （α＋β） cos α＝4 cos （α＋β） sin α， 所以tan（α＋β）＝2tan α. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 灵活拆角求值 【例2】　（链接教科书第60页例5）求 的值. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 拆角求值问题的思路 （1）在利用两角和与差的余弦、正弦公式时，不能机械地去套公 式，而要变通地从本质上使用公式.要注意观察式中出现的多个 角之间是否存在一定的关系，在解题过程中可以利用角之间的 关系进行拆角来减少角的个数； （2）要把非特殊角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知 的角简单变形就能得到的两个角）的和或差，并且这两个角的 正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　求值： . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ sin 30°＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用 【例3】　（1）（链接教科书第60页例6）若 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，求tan αtan β的值； 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解： 由已知条件得 所以 所以tan αtan β＝ ＝（－ ）÷ ＝－ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）化简： sin （α＋β） cos α－ [ sin （2α＋β）－ sin β]. 解： 原式＝ sin （α＋β） cos α－ { sin [（α＋β）＋ α]－ sin [（α＋β）－α]} ＝ sin （α＋β） cos α－ ·2 cos （α＋β） sin α ＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α ＝ sin [（α＋β）－α] ＝ sin β. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 化简三角函数式的方法技巧 （1）正确逆用两角和与差的正、余弦公式，是化简三角函数式的基 本途径； （2）化简三角函数式要从分析角之间的关系入手，这是化简三角函 数式的一个切入点. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　（2024·苏州月考）已知 sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0， 则 sin （α＋β）＝ ⁠. 解析：∵ sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0，∴ sin 2α＋ cos 2β ＋2 sin α cos β＝1①， cos 2α＋ sin 2β＋2 cos α sin β＝0②，①② 两式相加可得 sin 2α＋ cos 2α＋ sin 2β＋ cos 2β＋2（ sin α cos β ＋ cos α sin β）＝1，∴ sin （α＋β）＝－ . － 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. ＝（　　） A. －1 B. － C. 1 D. 解析： 　因为2 cos 10°＝2 sin 80°＝2 sin （60°＋20°）＝2 （ sin 60° cos 20°＋ cos 60° sin 20°）＝ cos 20°＋ sin 20°，所以 ＝ ＝－ . 故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）（2024·镇江月考）已知角α的顶点与原点O重合，始边 与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P ，将角α的终边 逆时针旋转 得到角β，则下列结论中正确的是（　　） A. tan α＝ B. cos β＝－ C. sin （α－β）＝－1 D. sin ＝－ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，由题意，得tan α＝ ＝ ，故A正确；对于 B，由题意，得β＝α＋ ，所以 cos β＝ cos ＝－ sin α＝ － ＝ ，故B错误；对于C， sin β＝ sin ＝ cos α＝－ ，所以 sin （α－β）＝－ × － × ＝－1，故C正 确；对于D， sin ＝－ × ＋ × ＝ ，故D错误.故选 A、C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知2 sin ＝ cos α，则tan α＝ 　 ＋1　. 解析：因为2 sin ＝ cos α，所以2 sin α cos －2 cos α sin ＝ cos α，整理得 sin α＝（ ＋1） cos α，即tan α＝ ＋1. ＋1　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知0＜α＜ ，0＜β＜ ，且 sin （α－β）＝－ ， sin β＝ ，则 sin α＝（　　） A. B. C. D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 由0＜α＜ ，0＜β＜ ，得－ ＜α－β＜ ，所以 cos （α－β）＝ ＝ ， cos β＝ ＝ ，所以 sin α＝ sin [（α－β）＋β]＝ sin （α－β） cos β ＋ cos （α－β） sin β＝－ × ＋ × ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，则 cos α cos β ＝（　　） A. 0 B. C. 0或 D. 0或± 解析： 　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式相加可得2 cos α cos β＝0，即 cos α cos β＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知 ＜β＜α＜ ， cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，则 sin 2α＝（　　） A. － B. C. － D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： ∵ ＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，π＜α＋β＜ . 又∵ cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，∴ sin （α－ β）＝ ， cos （α＋β）＝－ .∴ sin 2α＝ sin [（α＋β）＋ （α－β）]＝ sin （α＋β） cos （α－β）＋ cos （α＋β） sin （α－β）＝－ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·泰州月考）已知 cos （α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin （α ＋ ）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　∵ cos （α＋ ）－ sin α＝ ，∴ cos α－ sin α ＝ ，∴ cos α－ sin α＝ ，∴ sin （α＋ ）＝ sin α cos ＋ cos α sin ＝ sin α－ cos α＝－ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （2024·盐城质检）设α∈（0， ），β∈（0， ），且tan α＝ ，则（　　） A. 2α－β＝0 B. 2α＋β＝ C. 2α＋β＝0 D. 2α－β＝ 解析： 　∵ ＝ ⇒ sin α· cos β＝ cos α＋ cos α sin β，∴ sin （α－β）＝ cos α＝ sin （ －α），∵－ ＜α－β ＜ ，0＜ －α＜ ，∴α－β＝ －α，∴2α－β＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β∈ （0， ），则（　　） A. cos β＝ B. sin β＝ C. cos （α－β）＝ D. sin （α－β）＝－ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，因为α∈（0， ）， cos α＝ ，所以 sin α ＝ ＝ ＝ .又α，β∈（0， ），所以 α＋β∈（0，π），所以 sin （α＋β）＝ ＝ ＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝－ ＋ ＝ ，故A正 确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 对于B，因为β∈（0， ），所以 sin β＝ ＝ ＝ ，故B错误；对于C， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ ，故C正确；对于D， sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × － × ＝ ， 故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. ＝ 　 　. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝tan 60°＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 已知 sin ＝－ ，则 cos x＋ cos ＝ ⁠. 解析：因为 sin ＝－ ，所以 cos x＋ cos （x－ ）＝ cos x＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ sin ＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：因为 sin α＋ cos β＝－ ， cos α－ sin β＝ ，所以（ sin α＋ cos β）2＝ ，（ cos α－ sin β）2＝ .所以 sin 2α＋2 sin α cos β＋ cos 2β＝ ， cos 2α－2 cos α sin β＋ sin 2β＝ ，两式 相加可得 sin 2α＋2 sin α cos β＋ cos 2β＋ cos 2α－2 cos α sin β＋ sin 2β＝ ，所以2＋2 sin α cos β－2 cos α sin β＝ ，即2 ＋2（ sin α cos β－ cos α sin β）＝ ，所以2＋2 sin （α－β） ＝ ，解得 sin （α－β）＝－ . 9. （2024·南京月考）已知 sin α＋ cos β＝－ ， cos α－ sin β＝ ，则 sin （α－β）＝ 　－ 　. － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 求证： ＝tan（α＋β）. 证明：因为左边＝ ＝ ＝tan（α＋β）＝右边，所以等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 已知0＜α＜ ， sin ＝ ，则 ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 因为 sin ＝ ，所以 （ cos α－ sin α）＝ ，所以 cos α－ sin α＝ ，所以1－2 sin α cos α＝ ，得 sin α cos α＝ .因为0＜α＜ ，所以 cos α＋ sin α＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）（2024·苏州质检）已知在△ABC中， sin A＋ cos A＝ m，则下列说法中正确的是（　　） A. m的取值范围是[－ ， ] B. 若0＜m＜1，则△ABC为钝角三角形 C. 若m＝ ，则tan A＝－ D. 若m＝1，则△ABC为直角三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： m＝ sin A＋ cos A＝ sin .对于A，因为A 为三角形的内角，所以A∈（0，π），所以A＋ ∈ ，所 以 sin ∈（－ ，1］，则m∈（－1， ]，故A不正 确；对于B，若0＜m＜1，则0＜ sin ＜1，0＜ sin ＜ .由A可知， ＜A＋ ＜π，所以 ＜A＜ ，故A为钝 角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 对于C，若m＝ ，则 sin A＋ cos A＝ ①，（ sin A＋ cos A）2＝ ， 所以2 sin A cos A＝－ ，所以A为钝角，且 sin A－ cos A＞0，（ sin A－ cos A）2＝1－2 sin A cos A＝ ，所以 sin A－ cos A＝ ②.由①② 解得 sin A＝ ， cos A＝－ ，所以tan A＝ ＝－ ，故C正确；对 于D，当m＝1时， sin A＋ cos A＝1，所以（ sin A＋ cos A）2＝1＋2 sin A cos A＝1，所以 sin A cos A＝0.在△ABC中， sin A≠0，所以 cos A＝0，A＝90°，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. （2024·连云港月考）若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是 α，β，则 cos α cos β－ sin α cos β－ cos α sin β－ sin α sin β＝ ⁠. 解析：由题意知α＋β＝－ ，所以 cos α cos β－ sin α cos β－ cos α sin β－ sin α sin β＝ cos （α＋β）－ sin （α＋β）＝2［ cos （α＋β）－ sin （α＋β）］＝2 sin ＝2 sin ＝2 sin ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 若 sin （ ＋α）＝ ， cos （ －β）＝ ，且0＜α＜ ＜β＜ ，求 cos （α＋β）的值. 解：∵0＜α＜ ＜β＜ ，∴ ＜ ＋α＜π，－ ＜ －β ＜0. 又 sin （ ＋α）＝ ， cos （ －β）＝ ，∴ cos （ ＋ α）＝－ ， sin （ －β）＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) ∴ cos （α＋β）＝ sin ［ ＋（α＋β）］＝ sin ［（ ＋α） －（ －β）］＝ sin （ ＋α） cos （ －β）－ cos （ ＋ α）· sin （ －β）＝ × －（－ ）×（－ ）＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 已知 ＜β＜α＜ ，且 sin 2α sin － cos 2α sin ＝ ， sin 2β cos ＋ cos 2β sin ＝ ，求 sin （2α－2β）的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：由题意，得 sin 2α sin － cos 2α sin ＝ sin 2α cos ＋ cos 2α sin ＝ sin ＝ ， sin 2β cos ＋ cos 2β sin ＝ sin ＝ . 因为 ＜β＜α＜ ， 所以 ＜2β＋ ＜2α＋ ＜ ， 则 cos ＝－ ， cos ＝－ ， 所以 sin （2α－2β）＝ sin ［ － ］＝ sin cos － cos sin （2β＋ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $