10.1.2 第1课时 两角和与差的正弦公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦“两角和与差的正弦”，通过情境导入关联诱导公式与两角和差余弦公式，引导学生推导正弦公式，构建“旧知—新知”学习支架，系统呈现公式推导、辅助角公式及应用。 其亮点在于以逻辑推理为主线，通过给角求值、给值求角等分层题型，结合通性通法总结，培养数学运算能力。如例1逆用公式凑特殊角求值，例4用辅助角公式转化函数，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

10.1.2　 两角和与差的正弦 新课程标准解读 核心素养 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余 弦间的关系 逻辑推理 2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式 的特征 逻辑推理 3.能够运用两角和与差的正弦公式解决有关 求值、化简等问题 数学运算 第1课时　 两角和与差的正弦公式 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　观察下面两组公式： 　　（1） cos （－α＋ ）＝ sin α， sin （－α＋ ）＝ cos α； 　　（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β（C（α＋ β））， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β（C（α－β））. 　　前面一节课我们学习了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱 导公式可以实现正弦与余弦的互化. 【问题】　你能根据两角和与差的余弦公式及诱导公式，推导出用任 意角α，β的正弦、余弦表示 sin （α＋β）， sin （α－β）的公 式吗？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的 正弦公式 sin （α＋β）＝ ⁠ ⁠ S（α＋β） α， β∈R 两角差的 正弦公式 sin （α－β）＝ ⁠ ⁠ S（α－β） sin α cos β＋ cos α sin β　 sin α cos β－ cos α sin β　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 提醒　两角和与差的正、余弦公式的联系： 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　辅助角公式 1. 构造含特殊角的三角函数式 sin x± cos x＝ 　 　 sin （x± 　 　）； sin x± cos x＝ sin （x± 　 　）； sin x± cos x＝ sin （x± 　 　）. 　 　 2　 　 2　 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 构造含辅助角的三角函数式 f（x）＝a sin x＋b cos x＝ sin （x＋φ）（其中tan φ ＝ 　 　）＝ cos （x－φ）（其中tan φ＝ 　 　）. 提醒　通过特殊角或辅助角三角函数构造和差角正弦、余弦公式形 式，把三角函数的和差化成和差角的一个三角函数，有利于研究三 角函数的图象和性质. 　 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的 B. ∃α，β∈R，使得 sin （α－β）＝ sin α－ sin β成立 C. sin （α－β）＝ sin β cos α－ sin α cos β D. sin （α＋β）＝ sin α＋ sin β 一定不成立 √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β 是任意的，故A正确；对于B，当α＝β＝0时， sin （α－β）＝ sin α－ sin β成立，故B正确；对于C， sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β，故C错误；对于D，当α＝β＝0时， sin （α＋β）＝ sin α＋ sin β成立，故D错误.故选A、B. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. sin 15°＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　 sin 15°＝ sin （45°－30°）＝ sin 45° cos 30°－ cos 45° sin 30°＝ × － × ＝ .故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在△ABC中，A＝ ， cos B＝ ，则 sin C＝ 　 　. 解析： sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A，由A＝ ，得 sin A＝ ， cos A＝ ，由B为△ABC内角， cos B＝ ， 则 sin B＝ .则 sin C＝ × ＋ × ＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 给角求值 【例1】　（1）（链接教科书第59页练习2题） sin 18° cos 12°＋ cos 18° sin 12°＝（　D　） A. － B. － C. D. D 解析： sin 18° cos 12°＋ cos 18° sin 12°＝ sin （18° ＋12°）＝ sin 30°＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2） － ＝（　B　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 解析： － ＝ － ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 解决给角化简与求值问题的策略 （1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充 分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待 求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切 化弦； 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几 种形式：①将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如 sin 15°＝ sin （45°－30°）＝ sin （60°－45°）；②逆用公式凑成特 殊角求值，如 sin 13° cos 17°＋ cos 13° sin 17°＝ sin （13° ＋17°）＝ sin 30°；③进行拆角、拼角，整体代换求值，这一 点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝（α＋ β）－β＝（α－β）＋β. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·泗阳实验高中月考）计算 sin 50° cos 10°＋ sin 40° sin 10°＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　 sin 50° cos 10°＋ sin 40° sin 10°＝ sin 50° cos 10° ＋ cos 50° sin 10°＝ sin （50°＋10°）＝ sin 60°＝ .故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 化简： －2 cos （α＋β）. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 给值求值 【例2】　（链接教科书第57页例1）（1）已知 sin α＝ ，α∈ （ ，π）， cos β＝－ ，β∈（π， ），求 sin （α－β）的 值； 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解： 由 sin α＝ ，α∈（ ，π），得 cos α＝－ ＝－ ＝－ . 又由 cos β＝－ ，β∈（π， ），得 sin β＝－ ＝－ ＝－ . ∴ sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－ ） －（－ ）×（－ ）＝－ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）（2024·镇江中学月考）若 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0， ），求 sin α的值. 解： ∵α∈（0， ），∴ ＜α＋ ＜ ， sin （α＋ ） ＝ ＝ ＝ ，则 sin α＝ sin （α＋ － ）＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin ＝ × －（－ ）× ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 解给值求值问题的思路及常用变换 （1）解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量，确定哪 些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值，注意根据角的终边所在的象限 确定符号； 目录 数学·必修第二册 (SJ) ② ＝ － ， ＝（ α＋ ）－ ； ③ ＋ ＝ ＋（α＋β）， ＋ ＝ ＋（α－β）. 另外，还要特别注意题干中的隐含条件. （2）解决给值求值型问题的关键是找已知式与待求式之间角、运算 及函数名的差异，常见角的变换有： ①2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α； 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知α，β都是锐角，且 sin α＝ ， sin （α－β）＝ ，求 sin β的值. 解：∵α为锐角，且 sin α＝ ，∴ cos α＝ ＝ ， ∵α，β都是锐角，∴－ ＜α－β＜ ， 又 sin （α－β）＝ ，∴ cos （α－β）＝ ＝ ， ∴ sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin （α－β）＝ × － × ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 给值求角 【例3】　已知 sin （α＋β）＝ ， cos α＝ ，α，β均为锐角， 求角β的值. 解：因为α为锐角，则0＜α＜ ，又 cos α＝ ，所以 sin α＝ . 又因为β为锐角，则0＜β＜ ，所以0＜α＋β＜π. 因为 sin （α＋β）＝ ＜ sin α，所以 cos （α＋β）＝－ ， 所以 sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α＝ × －（－ ）× ＝ . 又因为0＜β＜ ，所以β＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 解决给值求角问题的方法 　　解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函 数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是（0， π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是 或 时，选取求正弦值. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，求α－β 的值. 解：因为α，β均为锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ， 所以 cos α＝ ， sin β＝ . 所以 sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × － × ＝－ . 又因为α，β均为锐角，所以－ ＜α－β＜ . 故α－β＝－ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型四 辅助角公式及应用 【例4】　（链接教科书第58页例3）已知f（x）＝ sin x－ cos x. （1）将f（x）化成y＝A sin （x＋φ）的形式； 解： f（x）＝ sin x cos － cos x sin ＝ sin （x－ ）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求f（x）的最小正周期及最大值. 解： 由（1）知T＝ ＝ ＝2π， 当x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f （x）取得最大值1. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【母题探究】 　（变条件）若本例条件改为：已知f（x）＝ sin x－ cos x，如何 求解？ 解：（1）f（x）＝ （ sin x－ cos x）＝ （ cos sin x－ sin cos x）＝ sin （x－ ）. （2）由（1）知T＝ ＝ ＝2π， 当x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f（x） 取得最大值 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 将a sin x＋b cos x化为A sin （ωx＋φ）的方法技巧 （1）对形如 sin x± cos x， sin x± cos x的三角函数式均可利用特 殊角的关系，运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三 角函数式的形式，即y＝A sin （x＋φ）的形式； （2）对于不能构造含特殊角的三角函数式也可通过辅助角公式进行 化简. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　求函数y＝ cos x＋ cos （x＋ ）的最大值. 解：y＝ cos x＋ cos x－ sin x ＝ cos x－ sin x ＝ （ cos x－ sin x） ＝ （ sin cos x－ cos sin x） ＝ sin （ －x）＝－ sin （x－ ）， 故当x－ ＝－ ＋2kπ（k∈Z），即x＝－ ＋2kπ（k∈Z）时，函 数y取得最大值 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （2024·徐州月考） sin 7° cos 37°－ sin 83° sin 37°＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　原式＝ sin 7° cos 37°－ cos 7° sin 37°＝ sin （7°－ 37°）＝ sin （－30°）＝－ .故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 设α∈ ，若 sin α＝ ，则2 sin （α＋ ）＝ 　 　. 解析：∵ sin α＝ ，α∈ ，∴ cos α＝ ，∴原式＝ 2 ＝2×（ × ＋ × ）＝ . 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·常州月考）函数f（x）＝ sin x－ cos （x＋ ）的值域 为 ⁠. 解析：f（x）＝ sin x－ cos x＋ sin x＝ · sin x－ cos x＝ （ sin x－ cos x）＝ sin （x－ ），所以f（x）的值域为[－ ， ]. [－ ， ]　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 化简 sin ＋ sin ＝（　　） A. － sin x B. sin x C. － cos x D. cos x 解析： 　 sin ＋ sin ＝ sin x＋ cos x＋ sin x－ cos x＝ sin x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·南通月考）在△ABC中，已知 sin C＝2 sin （B＋C） cos B，则△ABC一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 解析： 　由 sin C＝2 sin （B＋C） cos B得 sin （A＋B）＝2 sin A cos B，所以 sin A cos B－ cos A sin B＝0，所以 sin （A－B）＝ 0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知 cos （α－β）＝ ， sin β＝－ ，且α∈ ， β∈ ，则 sin α＝（　　） A. B. C. － D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵α∈ ，β∈ ，∴ cos β＝ ，∴0＜ α－β＜π，∴ sin （α－β）＝ ，∴ sin α＝ sin [（α－β）＋ β]＝ × ＋ × ＝ ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，则β ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： ∵0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，由 cos α＝ 得 sin α＝ ，由 cos （α－β）＝ 得 sin （α－β）＝ ，∴ sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin （α－β）＝ × － × ＝ ＝ ，∴β＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）已知θ是锐角，那么下列各值中， sin θ＋ cos θ不能取 得的值是（　　） A. B. C. D. 解析： sin θ＋ cos θ＝ （ sin θ＋ cos θ）＝ sin .∵0＜θ＜ ，∴ ＜θ＋ ＜ ，∴ ＜ sin ≤1，∴1＜ sin ≤ .故选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）下列计算正确的是（　　） A. sin 15°－ cos 15°＝ B. sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ C. sin － cos ＝ D. sin 105°＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A， sin 15°－ cos 15°＝ sin 15° cos 60°－ sin 60° cos 15°＝ sin （15°－60°）＝ sin （－45°）＝－ ， 故A错误；对于B， sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ sin 20° cos 10°＋ cos 20° sin 10°＝ sin （20°＋10°）＝ sin 30° ＝ ，故B正确；对于C， sin － cos ＝2（ sin cos － sin cos ）＝2 sin ＝2 sin ＝－ ，故C错误； 对于D， sin 105°＝ sin （60°＋45°）＝ sin 60° cos 45°＋ cos 60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. （2024·宿迁如东中学期中） ＝ 　 　. 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. （2024·泗阳实验高中月考）化简3 sin x－3 cos x＝ 　6 sin ⁠. 解析：3 sin x－3 cos x＝6 ·（ sin x－ cos x）＝6 sin （x－ ）. 6 sin （x－ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：∵ sin α＝－ ，α∈ ，∴ cos α＝－ ＝－ ，∵ cos β＝－ ，β∈ ，∴ sin β＝ ，∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ × － × ＝ ＋ ＝ ， sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋ × ＝ － ＝ . 9. 已知 sin α＝－ ，α∈ ， cos β＝－ ，β∈ ， 则 cos （α＋β）＝ 　 　， sin （α＋β）＝ 　 　. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 化简下列各式： （1） sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）； 解： sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）＝ sin α cos 30°－ cos α sin 30°＋ sin α cos 30°＋ cos α sin 30°＝2 sin α cos 30°＝ sin α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2） sin ＋2 sin － cos . 解： 法一　原式＝ sin x cos ＋ cos x sin ＋2 sin x cos －2 cos x sin － cos cos x－ sin sin x＝ sin x＋（ sin －2 sin － cos ）· cos x＝（ ＋1－ × ） sin x＋［ －2× － × ］ cos x＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　原式＝ sin ＋ cos ＋2 sin ＝2［ sin · ＋ cos （x＋ ）· ］＋2 sin ＝2 sin ＋2 sin （x－ ）＝2 sin ＋2 sin （x－ ）＝2 sin ＋2 sin ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·淮安月考）已知 sin θ＋ sin ＝1，则 sin ＝ （　　） A. B. 解析： 　∵ sin θ＋ sin ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin ＝1，∴ sin ＝ ，故选B. √ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）已知α，β均为锐角，则下列不等式一定成立的是 （　　） A. sin （α＋β）＞ sin α＋ sin β B. sin （α＋β）＜ sin α＋ sin β C. cos （α＋β）＞ cos α＋ cos β D. cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，当α＝β＝ 时， sin （α＋β）＜ sin α＋ sin β，故A错误；对于B，由于α，β均为锐角，所以 sin α， cos α， sin β， cos β的范围均为（0，1），所以 sin （α＋ β）＝ sin α cos β＋ sin β cos α＜ sin α＋ sin β，故B正确； 对于C，当α＝β＝ 时， cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β，故 C错误；对于D， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＜ cos α cos β＜ cos α＜ cos α＋ cos β，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接 EC，ED，则 sin ∠CED＝ ⁠. 　 解析：由题意知 sin ∠BEC＝ ， cos ∠BEC＝ ，又∠CED＝ －∠BEC，所以 sin ∠CED＝ sin · cos ∠BEC－ cos sin ∠BEC＝ × － × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 已知α，β∈（0， ）， cos α＝ ， cos （α＋β）＝ . （1）求 sin β的值； 解： ∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π）， 又 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ， 则 sin α＝ ＝ ， sin （α＋β）＝ ＝ ， ∴ sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α＝ × － × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求2α＋β的值. 解： cos （2α＋β）＝ cos [（α＋β）＋α]＝ cos （α＋β） cos α－ sin α sin （α＋β）＝ × － × ＝0. 由α，β∈（0， ），得2α＋β∈（0， ）， ∴2α＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. （2024·扬州月考）已知函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ . （1）求函数f（x）的最小正周期； 解： 函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ ＝ 2 ＋ ＝2 sin （2x＋ ）＋ ， 故它的最小正周期为 ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求函数f（x）的对称轴和对称中心. 解： 令2x＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，得x＝ ＋ ， k∈Z， 故函数f（x）的对称轴为x＝ ＋ ，k∈Z. 令2x＋ ＝kπ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z， 故函数f（x）的对称中心为 ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $