培优课 平面向量中的最值（范围）问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦平面向量中的最值（范围）问题，涵盖线性运算、数量积、模、夹角四大题型，通过典型例题导入，衔接向量基本概念与运算，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于以题型为载体，运用坐标法、函数思想转化问题，体现数学思维；结合梯形、三角形等几何情境，培养数学眼光；通性通法总结解题策略，强化数学语言表达。如例2用坐标法将数量积转化为函数求最值，助力学生提升推理与运算能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

培优课　 平面向量中的最值（范围）问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 向量线性运算中的最值（范围）问题 【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得 ＝2 ，D点在线段 BC上运动，点O∉直线AB，满足 ＝λ ＋μ ，则λμ的取 值范围是（　　） A. ［－ ，0］ B. ［－2， ］ C. ［－ ，0］ D. [－1，1] √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由A，B， D三点共线可知， ＝ ＋ ，∴ ＝ － ， ∴λ＝－ ，μ＝ ，x∈[0，1]，则λμ＝－ ＝－ （x2 ＋2x），∴λμ∈［－ ，0］. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式 或不等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 （2024·盐城月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB ＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足 ＝ m ＋n （m，n均为正实数），则 ＋ 的最小值为 　 　. 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝ AB＝4，CD＝1，所以 ＝ ＋ ＝ － ，所以 ＝m ＋n ＝m ＋n（ － ）＝（m－ n） ＋n ，由P， B，C三点共线得，m－ n＋n＝m＋ n＝1（m，n＞0），所以 ＋ ＝（ ＋ ）（m＋ n）＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋ ＝ （当且仅当3n2＝4m2时，取等号），即 ＋ 的最小值为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 向量数量积的最值（范围）问题 【例2】　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边 上任意一点，则 ·（ － ）的最大值为 ⁠. 9　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在 直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， ∴A（0，3），B（4，0），C（0，0），∴ ＝ （4，－3），设 ＝λ （λ∈[0，1]），则 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝（0，3）＋（4λ，－3λ）＝（4λ，3－3λ），λ∈[0，1]，∴ ·（ － ）＝ · ＝（4λ，3－ 3λ）·（0，3）＝9－9λ∈[0，9]，∴ ·（ － ）的最大值为9. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个 变量或两个变量表示，利用数量积的运算法则建立关于变量的关系 式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解.在求最值时我们 也可以利用图形直观求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝ 60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且 ＝λ ， ＝ ，则 · 的最小值为 　 　. 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：根据题意，可知 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ （ ＋λ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋λ · ＋ · ＝1＋ ＋ － ≥1＋2 － ＝ ，当且仅当λ＝ 时，等号成立. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 向量模的最值（范围）问题 【例3】　已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，非零向量b＝xe1＋ ye2，x，y∈R，若x＋2y＝2，则｜b｜的最小值为 ⁠. 解析：e1·e2＝ cos ＝ ，b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∵x＋ 2y＝2，∴x＝2－2y.∴b2＝（2－2y）2＋y2＋（2－2y）y＝3y2－ 6y＋4＝3（y－1）2＋1.∴当y＝1时，b2取得最小值1.∴｜b｜的最 小值为1. 1　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函 数或不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜ a｜＋｜b｜求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为 ，则｜a｜＋｜b｜的最大 值为 ⁠. 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：将｜a＋b｜＝2两边平方并化简得（｜a｜＋｜b｜）2－｜ a｜｜b｜＝4，由基本不等式得｜a｜｜b｜≤（ ）2＝ ，故 （｜a｜＋｜b｜）2≤4，即（｜a｜＋｜ b｜）2≤ ，即｜a｜＋｜b｜≤ ，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝ 时，等号成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型四 向量夹角的最值（范围）问题 【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a 与b的夹角的最小值为 ⁠. 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2｜a｜｜b｜ cos θ ＝a2b2.由基本不等式知， cos θ＝ ｜a｜·｜b｜≤ （ ）2＝ ，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝1时等号成立，即 cos θ≤ ，又θ∈[0，π]，故θ∈［ ，π］.故a与b的夹角的最小 值是 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦 值 cos θ＝ 的最值（范围）问题. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 （2024·徐州月考）已知向量a，b满足a＝（t，2 －t），｜b｜ ＝1，且（a－b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（　　） A. B. C. D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 因为（a－b）⊥b，所以（a－b）·b＝0，a·b＝b2， cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，又因为 2t2－4 t＋8＝2[（t－ ）2＋2]≥2[（ － ）2＋2]＝4，所以 0＜ cos θ≤ ，所以θ的最小值为 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0）， 若m∥n，则m·n的取值范围是（　　） A. [2，＋∞） B. （0，＋∞） C. [2，4） D. （2，4） 解析： 　因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所 以b＝4－2a＞0，所以0＜a＜2，所以m·n＝2a＋b－ab＝4－ab ＝4－a（4－2a）＝2a2－4a＋4＝2（a－1）2＋2∈[2，4）. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知点A（4，3）和B（1，2），O为坐标原点，则｜ ＋ t ｜（t∈R）的最小值为（　　） A. 5 B. 5 C. 3 D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由题意可得 ＝（4，3）， ＝（1，2），则｜ ＋t ｜＝｜（4，3）＋t（1，2）｜＝｜（4＋t，3＋2t）｜＝ ＝ ＝ ，结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，｜ ＋t ｜min＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且 ＝x ＋ y ，则 ＋ 的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 √ 解析： 　由题图可知B，D，C共线，且x，y均为正，所以x＋ y＝1，所以 ＋ ＝（ ＋ ）（x＋y）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝ 时等号成立，则 ＋ 的最 小值为9. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·南通月考）已知向量a＝（5，5），b＝（λ，1），若a ＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：a＋b＝（5＋λ，6），a－b＝（5－λ，4），由题意得， （a＋b）·（a－b）＞0，且a＋b与a－b不共线，所以 解得－7＜λ＜7，且λ≠1，所以 λ的取值范围是（－7，1）∪（1，7）. （－7，1） ∪（1，7）　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3， 则m的取值范围为（　　） A. [－ ， ] B. [－ ， ] C. [－3，3] D. [－5，5] 解析： 　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜ ＝ ≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－ ≤m≤ ， 即实数m的取值范围为[－ ， ]，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a 与b的夹角θ的取值范围是（　　） A. ［0， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ，π］ D. （ ， ） 解析： 　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝ 2×9－3｜a｜｜b｜ cos θ－2×16＝－14－3×3×4 cos θ≥4， 所以 cos θ≤－ ，所以θ∈［ ，π］. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 在矩形ABCD中，AB＝2 ，AD＝2，点E为线段BC的中点，点 F为线段CD上的动点，则 · 的取值范围是（　　） A. [2，14] B. [0，12] C. [0，6] D. [2，8] 解析： 　如图，建立平面直角坐标系，则A （0，0），E（2 ，1），设F（x，2） （0≤x≤2 ），所以 ＝（2 ，1）， ＝（x，2），因此 · ＝2 x＋2，因为0≤x≤2 ，所以2≤2 x＋2≤14，故 · 的取值范围是[2，14]. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·淮安质检）设0≤θ＜2π，已知两个向量 ＝（ cos θ， sin θ）， ＝（2＋ sin θ，2－ cos θ），则向量 的长度的 最大值是（　　） A. B. C. 3 D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵ ＝ － ＝（2＋ sin θ－ cos θ，2－ cos θ － sin θ），∴｜ ｜ ＝ ＝ ，∵0≤θ＜2π，∴－1≤ cos θ≤1，∴ ≤ ≤3 ，当 cos θ＝－1时，｜ ｜有最大值 3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. 设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个 动点， ＝λ ，若 · ≥ · ，则实数λ的取值范围是 （　　） A. ≤λ≤1 B. 1－ ≤λ≤1 C. ≤λ≤1＋ D. 1－ ≤λ≤1＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵ ＝λ ＝（－λ，λ）， ＝（1－λ） ＋ λ ＝（1－λ，λ）， · ≥ · ，∴（1－λ， λ）·（－1，1）≥（λ，－λ）·（λ－1，1－λ），∴2λ2－4λ ＋1≤0，解得1－ ≤λ≤1＋ ，∵点P是线段AB上的一个动 点，∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－ ≤λ≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的 动点， ＝λ ＋μ ，则下列结论正确的是（　　） A. 当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B. λμ的最大值为 C. μ的取值范围为[0，1] D. λ＋μ的取值范围为［ ，2］ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　以B为原点， ， 为x，y轴正方向建立平面直 角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2）， 设M（t，2），则0≤t≤2，因为 ＝λ ＋μ ，所以 （t，2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以 2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝ ，对于选项A，因为M 为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－ ＝ ，A正确；对 于选项B，λμ＝（2－t） ＝t－ t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ 取最大值为 ，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 对于选项C，因为μ＝ ，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为 [0，1]，C正确；对于选项D，λ＋μ＝2－ ，0≤t≤2，所以1≤λ ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 向量a，b满足｜a｜＝1，a与b的夹角为 ，则｜a－b｜的最小 值为 ⁠. 解析：｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×｜ b｜ cos ＋｜b｜2＝｜b｜2－｜b｜＋1＝（｜b｜－ ）2＋ ≥ ，所以｜a－b｜≥ ，当｜b｜＝ 时取得最小值 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. （2024·连云港月考）在△ABC中， ·（ －4 ）＝0，则 cos A的最小值为 ⁠. 　 解析：在△ABC中， ＝ － ，所以 ·（ －4 ）＝ （ － ）·（ －4 ）＝－4｜ ｜2－｜ ｜2＋ 5 · ＝－4｜ ｜2－｜ ｜2＋5｜ ｜·｜ ｜ cos A＝0， 在△ABC中，设｜ ｜＝b，｜ ｜＝c，则有－4b2－c2＋5bc cos A＝0，所以 cos A＝ ≥ ＝ ，当且仅当2b＝c 时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术 之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以 此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥 的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已 知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的 中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直 径，则 · 的取值范围是 ⁠. [2，3]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得｜OQ｜＝ ，又 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝｜ ｜2＋ · ＋ · ＋ · ＝｜ ｜2 ＋ ·（ ＋ ）－1＝｜ ｜2－1，根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，｜PO｜有最小值为 ，此时｜ ｜2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时，｜PO｜有最大值为2，此时｜ ｜2－1＝3，所以2≤ · ≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 已知 · ＝0，M是线段BC的中点. （1）若｜ ｜＝2｜ ｜，求向量 － 与向量 ＋ 的 夹角的余弦值； （1）令｜ ｜＝a，则C（0，a），B（2a，0）， 所以 － ＝（2a，－a）， ＋ ＝（2a，a）. 设向量 － 与向量 ＋ 的夹角为θ， 所以 cos θ＝ ＝ ＝ . 解：因为 · ＝0，所以 ⊥ ， 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所 在直线为y轴建立平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若O是线段AM上任意一点，且｜ ｜＝2｜ ｜＝2，求 · ＋ · 的最小值. 解：因为｜ ｜＝2｜ ｜＝2，则C（0，1），B（2， 0），M（1， ），设O（x， ），x∈[0，1]， 所以 · ＋ · ＝ ·（ ＋ ）＝2 · ＝2 （－x，－ ）·（1－x， － ）＝2（x2－x＋ － ）＝ （x2－x）＝ （x－ ）2－ . 当且仅当x＝ 时， · ＋ · 取得最小值－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. 如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点（不包括 边界），设 ＝a， ＝b. （1）试用a，b表示 ； 解： 如图①，延长AG，交BC于点 D，则D为BC的中点， ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ ［ ＋ （ － ）］＝ a＋ b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若 ＝λa＋μb，求λ＋μ的取值范围. 解： ＝ － ＝ a－ b，如 图②，连接GP并延长，交BC于点P'. 令 ＝t '（0＜t＜1）， '＝m （0＜m＜1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 则 ＝ ＋ ＝ a＋ b＋t '＝ a＋ b＋t（ ＋ '）＝ a＋ b＋t（ ＋m ）＝ a＋ b＋t（ a－ b）＋tm（b－a）＝（ ＋ t－tm）a＋（ － t＋tm）b（0＜t＜1，0＜m＜1），因为 ＝λa＋μb，所以λ＝ ＋ t－tm，μ＝ － t＋tm，故λ＋μ＝ ＋ t，因为0＜t＜1，所以λ＋μ＝ ＋ t∈（ ，1）.故λ＋μ的取值范围为（ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （2024·泰州质检）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A， B，C三点满足 ＝ ＋ . （1）证明A，B，C三点共线，并求 的值； 解： 因为 ＝ ＋ ， 所以 － ＝ （ － ），所以 ＝ . 又 ， 有公共点B， 所以A，B，C三点共线， ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）已知A（1， sin x），B（1＋ sin x， sin x），x∈（0， π），且函数f（x）＝ · ＋（ 2m－ ）｜ ｜的最 小值为 ，求实数m的值. 解： 因为A（1， sin x），B（1＋ sin x， sin x）， 所以 ＝ ＋ ＝（ 1＋ sin x， sin x）， 所以 · ＝1＋ sin x＋ sin 2x. 又｜ ｜＝ sin x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) 所以f（x）＝ · ＋（ 2m－ ）｜ ｜ ＝ sin 2x＋2m sin x＋1. 设 sin x＝t， 因为x∈（0，π），所以t∈（0，1]， 所以y＝t2＋2mt＋1＝（t＋m）2＋1－m2. ①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合 题意； ②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时， 当t＝－m时，ymin＝1－m2＝ ，所以m＝－ ； ③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝ ，m＝－ ＞－1，不合题意.综上可知，m＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目录 数学·必修第二册 (SJ) $