章末检测（七） 随机变量及其分布-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦随机变量及其分布核心知识，涵盖离散型随机变量分布列、正态分布、二项分布等要点，通过从概率基础过渡到分布模型应用，构建概念到实践的学习支架。 资料特色在于结合投篮、元件质量等生活情境设计问题，用数学眼光观察现实，通过分布列计算、期望方差分析培养数学思维，以数学语言描述不确定现象，助力学生提升应用能力，为教师提供系统检测与巩固素材。

章末检测（七）　随机变量及其分布 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知离散型随机变量X的分布列如下，则p＝（　　） X 1 2 3 4 P p A.　 B. C.　 D. 解析：C　由＋＋＋p＝1得，p＝.故选C. 2.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜1）＝0.1，则P（3≤X≤5）＝（　　） A.0.1　 B.0.2 C.0.3　 D.0.4 解析：D　因为随机变量X服从正态分布N（3，σ2），所以正态曲线关于直线x＝3对称，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞5）＝0.1，则P（3≤X≤5）＝＝＝0.4. 3.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P（Y＜6）＝（　　） A.0.3　 B.0.5 C.0.1　 D.0.2 解析：A　由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3. 4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为偶数}，B＝{两次的点数之和为8}，则P（B｜A）＝（　　） A.　　　 B.　 　　C.　　　 D. 解析：C　抛掷一枚质地均匀的骰子两次，样本点共有6×6＝36个，其中事件A有3×3＝9个样本点，事件AB有（2，6），（4，4），（6，2），共3个样本点，所以P（B｜A）＝＝＝.故选C. 5.学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则E（X）＝（　　） A.　 B.　　C.　 D. 解析：D　由题意得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝4，n＝2，则E（X）＝＝＝. 6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（　　） A.（）5 B.（）5 C.（）5 D.（）5 解析：B　依题意，质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率P＝×（）2×（1－）3＝（）5. 7.某人投篮命中的概率为0.6，则投篮14次，最有可能命中的次数为（　　） A.7　 B.8 C.7或8　 D.8或9 解析：D　投篮命中次数X～B（14，0.6），P（X＝k）＝·0.6k·0.414－k，设最有可能命中m次，则⇒⇒8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.故选D. 8.泊松分布的概率分布列为P（X＝k）＝e－λ（k＝0，1，2，…），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X～B（n，p），P（X＝i）＝（n∈N）.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于3%的概率约为（参考数据：＝0.367 879…）（　　） A.99%　 B.97% C.92%　 D.74% 解析：C　依题意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ＝100×0.01＝1，则P（X＝k）＝e－1，于是P（X＝0）＝e－1＝，P（X＝1）＝e－1＝，P（X＝2）＝e－1＝，所以次品率小于3%的概率约为P＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＋≈92%.故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列随机变量中属于离散型随机变量的是（　　） A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B.测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg之间的体重记为X C.测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数记为X D.一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 解析：AC　电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B不正确；人数可以列举，选项C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，选项D不正确.故选A、C. 10.随机变量X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，随机变量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E（Y），则（　　） A.t＝4　 B.p＝ C.P（2≤Y≤3）＝　 D.D（2Y）＝2 解析：AC　因为X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，所以t＝4，故A正确；因为E（X）＝2，所以E（Y）＝E（X）＝2.因为Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p＝2，所以p＝，故B错误；因为Y～B（4，），所以P（2≤Y≤3）＝（）4＋（）4＝，故C正确；因为D（Y）＝4××（1－）＝1，所以D（2Y）＝4D（Y）＝4，故D错误.故选A、C. 11.有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i＝1，2，3，…，n），则（　　） A.P（A1A2）＝　 B.P（A1｜A2）＝ C.P（A1＋A2）＝　 D.P（A10）＝ 解析：BC　对A，P（A1A2）＝×＝，所以A错误；对B，P（A2）＝×＋×＝，故P（A1｜A2）＝＝，所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝＋－＝，所以C正确；对D，由题意P（An）＝P（An－1）＋[1－P（An－1）]，所以P（An）－＝［P（An－1）－］，P（A1）＝，P（A1）－＝－＝，所以P（An）－＝×（）n－1＝×（）n，所以P（An）＝·（1＋），则P（A10）＝·（1＋），所以D错误.故选B、C. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X＝4）＝　　. 解析：P（X＝4）＝×××＝. 13.已知随机事件A，B，P（A）＝，P（B）＝，P（A｜B）＝，则P（B｜A）＝　　. 解析：由条件概率可得P（A｜B）＝＝⇒P（AB）＝×＝，所以P（B｜A）＝＝＝. 14.假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p（0＜p＜1），且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是　（，1）　. 解析：由已知可得，飞机引擎正常运行的个数X～B（n，p），所以4引擎飞机正常飞行的概率为P1＝p2（1－p）2＋p3（1－p）＋p4＝3p4－8p3＋6p2.2引擎飞机正常飞行的概率为P2＝p（1－p）＋p2＝－p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－（－p2＋2p）＝p（p－1）2（3p－2）.因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，所以P1－P2＞0，即p（p－1）2（3p－2）＞0.因为0＜p＜1，所以＜p＜1. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加义务劳动. （1）求男生甲和女生乙至少一人被选中的概率； （2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（A｜B）. 解：（1）从6人中任选3人，选法共有＝20（种）， 其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为＝. 故男生甲和女生乙至少一人被选中的概率为1－＝. （2）由题知，P（A）＝＝.又P（B）＝P（A）＝，P（AB）＝＝，所以P（A｜B）＝＝. 16.（本小题满分15分）甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲得1分，乙得2分. （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X，求X的分布列及均值. 解：（1）设“甲获得这次比赛胜利”为事件A， 则P（A）＝（）3＋×（）3×＝， 故甲获得这次比赛胜利的概率为. （2）依题意，X的取值可能为2，3，4， 则P（X＝2）＝（）2＝， P（X＝3）＝（）3＋××（）2＝， P（X＝4）＝×（）2××1＝. 故X的分布列为 X 2 3 4 P E（X）＝2×＋3×＋4×＝. 17.（本小题满分15分）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M（单位：g）服从正态分布N（250，σ2），且P（M＜248）＝0.1. （1）若从该公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率； （2）若从该公司销售的牛肉干中随机选取K（K为正整数）包，记质量在248 g～252 g内的包数为X，且D（X）＞320，求K的最小值. 解：（1）由题意知每包牛肉干的质量M（单位：g）服从正态分布N（250，σ2），且P（M＜248）＝0.1，所以P（M≥248）＝1－0.1＝0.9，则这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率为×0.92×0.1＝0.243. （2）因为P（M＜248）＝0.1，所以P（248＜M＜252）＝（0.5－0.1）×2＝0.8， 依题意可得X～B（K，0.8），所以D（X）＝K×0.8×（1－0.8）＝0.16K， 因为D（X）＞320，所以0.16K＞320，K＞2 000， 又K为正整数，所以K的最小值为2 001. 18.（本小题满分17分）某市电视台举办纪念红军长征胜利知识问答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动. 公园 甲 乙 丙 丁 获得签名人数 45 60 30 15 然后在各公园签名的人中按分层随机抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品. （1）求此活动中各公园幸运之星的人数； （2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率； （3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列. 解：（1）甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为×10＝3，×10＝4，×10＝2，×10＝1. （2）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为＝， 所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为＝. （3）由题意，知X的所有可能取值为2，3，4，服从超几何分布，P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， P（X＝4）＝＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 19.（本小题满分17分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F（x）＝P（X≤x）.已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N（40，4），且X的累积分布函数为F（x），求F（44）－F（38）； （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G（t）＝ ①设t1＞t2＞0，证明：P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）； ②若第n天元件A发生故障，求第n＋1天系统正常运行的概率. 附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2），则P（｜Y－μ｜＜σ）＝0.682 7，P（｜Y－μ｜＜2σ）＝0.954 5，P（｜Y－μ｜＜3σ）＝0.997 3. 解：（1）由题设得P（38＜X＜42）＝0.682 7，P（36＜X＜44）＝0.954 5， 所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝P（40≤X≤44）＋P（38≤X≤40） ＝×（0.682 7＋0.954 5）＝0.818 6. （2）①证明：由题设得： P（T＞t1｜T＞t2）＝＝＝＝＝＝＝， P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝， 所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）. ②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P（T≤1）＝1－G（1）＝， 所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为. 为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为1－（1－）2＝. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $