7.3.1 离散型随机变量的均值-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“离散型随机变量的均值”核心知识点，通过“12个西瓜重量”实例导入，以问题链引导学生思考变量取值、概率及平均重量，衔接分布列知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以数学抽象构建概念，通过辨析均值与样本平均值深化理解，结合摸球、彩票等实例培养数学运算与建模能力，题型分层设计助力学生掌握求均值、性质应用及实际问题解决，提升学生数据分析素养，为教师提供清晰教学路径与多样化例题，高效落实核心素养。

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质 数学抽象 2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值 数学运算 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题 数学建模、数据分析 设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个. 【问题】　（1）任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？ （2）X取上述值时对应的概率分别是多少？ （3）试想每个西瓜的平均重量该如何求？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　离散型随机变量的均值 1.定义：若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）＝　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　＝xipi为随机变量X的均值或数学期望. 2.意义：均值E（X）刻画的是X取值的“中心位置”，反映了随机变量取值的　平均水平　. 3.性质：若X是离散型随机变量，则 （1）E（X＋b）＝　E（X）＋b　； （2）E（aX）＝　aE（X）　； （3）E（aX＋b）＝　aE（X）＋b　. 提醒　（1）离散型随机变量的均值E（X）是一个数值，是随机变量X可能取值关于取值概率的加权平均数，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平；（2）由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位. 【想一想】 　离散型随机变量的均值和样本的平均值相同吗？ 提示：不相同.离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化. 知识点二　两点分布的均值 　如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝　p　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量X的均值E（X）是个变量，其随X的变化而变化.（　×　） （2）随机变量的均值E（X）反映了X取值的平均水平.（　√　） （3）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.（　√　） （4）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝P（X＝1）.（　√　） 2.已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 2 4 6 P 0.1 0.2 m 0.2 则E（X）＝（　　） A.2　 B.2.4 C.3.6　 D.不确定 解析：C　依题意和分布列的性质得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E（X）＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6. 3.设E（X）＝5，则E（2X＋10）＝　20　. 解析：E（2X＋10）＝2×E（X）＋10＝20. 题型一 求离散型随机变量的均值 【例1】　在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值. 解：由题意得，X可能的取值为1，2，3，4，5，则P（X＝1）＝， P（X＝2）＝×＝， P（X＝3）＝××＝， P（X＝4）＝×××＝， P（X＝5）＝××××1＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 由离散型随机变量均值的定义知E（X）＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3. 通性通法 求随机变量X的均值的方法和步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值； （2）求出X取每个值的概率P（X＝k）； （3）写出X的分布列； （4）利用均值的定义求E（X）. 【跟踪训练】 　袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值. 解：取出4个球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8， P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝， P（X＝7）＝＝， P（X＝8）＝＝， 故X的分布列为 X 5 6 7 8 P ∴E（X）＝5×＋6×＋7×＋8×＝. 题型二 离散型随机变量的均值的性质 【例2】　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E（Y）＝　　. 解析：由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，所以E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）＝－2×＝. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，若Y＝2X－3，求E（Y）. 解：由公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b及E（X）＝－得，E（Y）＝E（2X－3）＝2E（X）－3＝2×－3＝－. 2.（变设问）本例条件不变，若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－，求a的值. 解：因为E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 通性通法 求随机变量Y＝aX＋b的均值 （1）先求出E（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E（Y）； （2）利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）. 【跟踪训练】 　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，则m＝（　　） ξ 1 2 3 4 P m n A.　 B. C.　 D. 解析：A　因为η＝12ξ＋7，则E（η）＝12E（ξ）＋7，即E（η）＝12×（1×＋2×m＋3×n＋4×）＋7＝34.所以2m＋3n＝①.又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝②.由①②可解得m＝. 题型三 离散型随机变量均值的实际应用 【例3】　在有奖摸彩中，一期（发行10 000张彩票为一期）有200张奖金是5元的，20张奖金是25元的，5张奖金是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？ 解：设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，5，25，100. 由题意P（X＝0）＝＝， P（X＝5）＝＝， P（X＝25）＝＝， P（X＝100）＝＝. 因此随机变量X的分布列为 X 0 5 25 100 P 所以E（X）＝0×＋5×＋25×＋100×＝0.2（元）， 所以一张彩票的合理价格是0.2元. 通性通法 实际问题中均值的含义 　　对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布列，然后按定义计算出随机变量的均值，均值反映了随机变量取值的平均水平，刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质. 【跟踪训练】 　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为X. （1）求X的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即X的均值）. 解：（1）X的所有可能取值有6，2，1，－2， P（X＝6）＝＝0.63，P（X＝2）＝＝0.25， P（X＝1）＝＝0.1，P（X＝－2）＝＝0.02. 故X的分布列为 X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 （2）E（X）＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋（－2）×0.02＝4.34（万元）. 1.随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E（X）＝（　　） X 0 1 P a A.　 B. C.　 D. 解析：A　由题意知＋a＝1，所以a＝，E（X）＝0×＋1×a＝a＝. 2.设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 又设η＝2ξ＋5，则E（η）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E（η）＝E（2ξ＋5）＝2E（ξ）＋5＝2×＋5＝. 3.甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是　乙　. 解析：E（X）＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E（Y）＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E（Y）＜E（X）.∴乙技术好. 1.已知随机变量X满足P（X＝1）＝0.3，P（X＝0）＝0.7，则E（X）＝（　　） A.0.3　 B.0.7 C.0.21　 D.1 解析：A　根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以E（X）＝0.3. 2.设随机变量X的概率分布如表所示，且E（X）＝2.5，则a－b＝（　　） X 1 2 3 4 P a b A.　 B. C.　 D. 解析：C　由题意得，解得∴a－b＝.故选C. 3.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为（　　） A.　　　 B.　　　　C.2　　　 D. 解析：D　依题意X＝2，3，所以P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以E（X）＝2×＋3×＝. 4.一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（　　） A.39元　 B.37元 C.20元　 D.元 解析：B　设这台机器获利ξ元，易知随机变量ξ的分布列如下，∴E（ξ）＝50×0.6＋30×0.3＋（－20）×0.1＝37（元），故选B. ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 5.（多选）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 q 0.3 0.4 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有（　　） A.q＝0.3　 B.q＝0.2 C.E（X）＝3　 D.E（Y）＝5 解析：BD　由题表可知q＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，则E（X）＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，所以E（Y）＝E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝5.故选B、D. 6.（多选）设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为 X 0 1 2 P －p p 则下列说法正确的是（　　 ） A.p∈ B.E（X）最大值为 C.p∈ D.E（X）最大值为 解析：AB　由表可得从而得p∈［0，］，期望值E（X）＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E（X）最大值＝. 7.已知E（Y）＝6，Y＝4X－2，则E（X）＝　2　. 解析：∵Y＝4X－2，E（Y）＝4E（X）－2，∴4E（X）－2＝6，即E（X）＝2. 8.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益为　2 200　元. 解析：出海的期望效益为5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2 000）＝3 000－800＝2 200（元）. 9.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是　1.24　. 解析：由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋0.2×0.2×0.2＝0.04，∴他射击次数的数学期望E（X）＝1×0.8＋2×0.16＋3×0.04＝1.24. 10.一盒中有9个正品零件和3个次品零件，安装机器时从这批零件中随机抽取，若取出的是次品则不放回，求在第一次取到正品之前已取出的次品数X的分布列和均值. 解：随机变量X的可能取值为0，1，2，3. {X＝0}表示“第一次取到正品”，则P（X＝0）＝＝； {X＝1}表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，则P（X＝1）＝＝， 同理，可求得P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 因此随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值为E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 11.甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（0＜t＜4），甲、乙、丙都打中的概率是，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的均值是（　　） A.　 B. C.1　 D. 解析：D　∵＝××，∴t＝3（t＝－3舍去）.记ξ的所有可能取值为0，1，2，其分布列如下，∴E（ξ）＝＋2×＝. ξ 0 1 2 P 12.（多选）已知随机变量X的分布列如表所示： X －1 0 1 P a b 记“函数f（x）＝3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件A，则（　　） A.P（A）＝　 B.E（X）＝ C.E（X）＝－2a　 D.E（X2）＝ 解析：ACD　因为函数f（x）＝3sinπ（x∈R）是偶函数，所以π＝＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－1，0，1，所以事件A表示X＝±1，所以P（A）＝a＋b＝1－＝，E（X）＝（－1）×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，随机变量X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝，P（X2＝1）＝a＋b＝，所以E（X2）＝0×＋1×＝.故选A、C、D. 13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金　100　元. 解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情况：①胜第3局，甲赢的概率为，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为×＝，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为××＝，∴甲赢的概率为＋＋＝，∴E（X）＝800×＋0×＝700（元），则乙应得奖金800－700＝100（元）. 14.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达智能门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需时间. （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望（均值）. 解：（1）ξ的可能取值为1，3，4，6. P（ξ＝1）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝， P（ξ＝6）＝，所以ξ的分布列为 ξ 1 3 4 6 P （2）E（ξ）＝1×＋3×＋4×＋6×＝（小时）. 15.（多选）已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 1 P p1 p2 p3 其中p1＋p3＝6p1p3，则下列选项正确的是（　　） A.0≤p2≤　 B.0≤p2≤ C.－≤E（ξ）≤　 D.－≤E（ξ）≤ 解析：AC　因为p1＋p3＝6p1p3，所以＋＝6，p1＋p3＝（p1＋p3）（＋）＝（1＋1＋＋）≥（2＋2）＝，当且仅当＝，即p3＝p1＝时取等号，所以≤p3＋p1≤1，0≤p2≤，故A正确，B不正确；又E（ξ）＝－1×p1＋0×p2＋1×p3＝p3－p1，（E（ξ））2＝（p3－p1）2＝（p3＋p1）2－4p1p3＝（p3＋p1）2－（p1＋p3），（E（ξ））2∈［0，］，E（ξ）∈［－，］，故C正确，D不正确.故选A、C. 16.某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 6 8 5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率. （1）设每销售一件该商品获利1 000元，某天销售该商品获利情况如下表，完成下表，并求试销期间日平均获利； 日获利（元） 0 1 000 2 000 3 000 频率 （2）求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率. 解：（1）设日销售量为随机变量X，X＝0，1，2，3. 由题意知，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝， 补充表格如下： 日获利（元） 0 1 000 2 000 3 000 频率 所以试销期间日平均获利为0＋1 000×＋2 000×＋3 000×＝1 850（元）. （2）由题意知，第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率P＝P（X＝0）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＋＝. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $