课时达标检测(13) 离散型随机变量的均值(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时达标检测(十三)　离散型随机变量的均值 基础达标 一、单项选择题 1.已知随机变量X的分布列为 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(X)=7.5,则a等于 (C) A.5 B.6 C.7 D.8 解析　由题意,得0.3+0.1+b+0.2=1,且4×0.3+a×0.1+9b+10×0.2=7.5,解得a=7。 2.已知X的分布列为 X -1 0 1 P 设Y=2X+3,则E(Y)的值为 (A) A. B.4 C.-1 D.1 解析　E(X)=-1×+0×+1×=-,所以E(Y)=E(2X+3)=-+3=。故选A。 3.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分,击不中10环得0分。已知他击中10环的概率为0.8,则射击一次得分X的均值是 (B) A.0.2 B.0.8 C.1 D.0 解析　因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8。故选B。 4.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为ξ,则E(ξ)的值为 (B) A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22 解析　当ξ=0时,P(ξ=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;当ξ=1时,P(ξ=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22;当ξ=2时,P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765。所以E(ξ)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75。 5.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。则E(ξ)等于 (A) A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1 解析　随机变量ξ的取值有1,3两种情况,ξ=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24=0.76,所以随机变量ξ的分布列为 ξ 1 3 P 0.76 0.24 E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48。 6.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经一段时间考察,ξ,η的分布列分别为 ξ 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 η 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定 (A) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 解析　E(ξ)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(η)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7。因为E(η)>E(ξ),故甲比乙质量好。 二、多项选择题 7.已知随机变量ξ的分布列如表: ξ -1 0 1 P a b 记“函数f (x)=3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A,则下列结论正确的有 (ABD) A.E(ξ)=-2a B.E(ξ2)= C.P(A)= D.P(A)= 解析　由随机变量ξ的分布列得E(ξ)=-a+b,E(ξ2)=a+b=1-=,所以E(ξ)=-2a,因为“函数f (x)=3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A,ξ的所有取值为-1,0,1,满足事件A的ξ的可能取值为-1,1,所以P(A)=。故选ABD。 8.设p为非负实数,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P -p p 则下列说法正确的是 (AB) A.p∈ B.E(X)最大值为 C.p∈ D.E(X)最大值为 解析　由表可得解得p∈,均值E(X)=0×-p+1·p+2×=p+1,当且仅当p=时,E(X)最大值=。 三、填空题 9.已知某离散型随机变量X的均值E(X)=,X的分布列如表: X 0 1 2 3 P a b 则a=  。  解析　E(X)==0×a+1×+2×+3b⇒b=,又P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1⇒a+++=1⇒a=。 10.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%。下表是过去200例类似项目开发的实施结果: 投资成功 投资失败 192例 8例 则该公司一年后估计可获收益的均值是 4 760元 。  解析　由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故该公司一年后收益的均值估计是6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元)。 11.盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球。从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止。设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=  ,E(ξ)= 1 。  解析　ξ=0表示停止取球时没有取到黄球,所以P(ξ=0)=+×=。随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,则P(ξ=1)=×+××+××=,P(ξ=2)=××+××+××+××=,所以E(ξ)=0×+1×+2×=1。 四、解答题 12.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如表所示: 版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 (1)从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为X,求随机变量X的分布列和均值。 解　(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为=1 225,选出2人使用版本相同的方法数为+++=350,故2人使用版本相同的概率为=。 (2)X的所有可能取值为0,1,2。P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==。所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×+1×+2×==。 13.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和。现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B。设甲、乙两组的研发相互独立。 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元。求该企业可获利润的分布列和均值。 解　设E=“甲组研发新产品成功”,F =“乙组研发新产品成功”。由题设知P(E)=,P()=,P(F )=,P()=,且事件E与F ,E与,与F ,与都相互独立。 (1)设H=“至少有一种新产品研发成功”,则=,于是P()=P()P()=×=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=。 (2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220。因为P(X=0)=P()=×=,P(X=100)=P(F )=×=,P(X=120)=P(E)=×=,P(X=220)=P(EF )=×=。故X的分布列为 X 0 100 120 220 P E(X)=0×+100×+120×+220×=140。 素养提升 14.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思想史上地位极高,所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值。为弘扬中国优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动。某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同。比赛时,若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读,则抽到自己准备的书的人数的均值为 (B) A. B.1 C. D.2 解析　记抽到自己准备的书的学生数为X,则X可能取值为0,1,2,4,P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=4)==,则E(X)=0×+1×+2×+4×=1。 15.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止。设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是 0, 。  解析　根据题意,X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈0,。 16.现有甲、乙两个投资项目,对甲项目投资十万元,根据对市场120份样本数据的统计,甲项目年利润分布如下表: 年利润 1.2万元 1.0万元 0.9万元 频数 20 60 40 对乙项目投资十万元,年利润与产品质量抽查的合格次数有关,在每次抽查中,产品合格的概率均为,在一年之内要进行2次独立的抽查,在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表: 合格次数 2 1 0 年利润 1.3万元 1.1万元 0.6万元 记随机变量X,Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润。将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率。 (1)求X>Y的概率; (2)某商人打算对甲或乙项目投资十万元,判断哪个项目更具有投资价值,并说明理由。 解　(1)X>Y的所有情况有:P(X=1.2,Y=1.1)=×2××=,P(Y=0.6)=2=,所以P(X>Y)=+=。 (2)随机变量X的分布列为 X 1.2 1.0 0.9 P 所以E(X)=1。P(Y=1.3)=×=,P(Y=1.1)=×+×=,P(Y=0.6)=×=,所以随机变量Y的分布列为 Y 1.3 1.1 0.6 P 所以E(Y)=0.9。因为E(X)>E(Y),且X>Y的概率比X<Y的概率大,所以从长期投资来看,甲项目更具有投资价值。 学科网（北京）股份有限公司 $$