课时达标检测(13) 离散型随机变量的均值(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时达标检测(十三)　离散型随机变量的均值

基础达标

一、单项选择题

1.已知随机变量X的分布列为

若E(X)=7.5,则a等于    (C)

A.5 B.6 

C.7 D.8

解析　由题意,得0.3+0.1+b+0.2=1,且4×0.3+a×0.1+9b+10×0.2=7.5,解得a=7。

2.已知X的分布列为

设Y=2X+3,则E(Y)的值为    (A)

A. B.4 

C.-1 D.1

解析　E(X)=-1×+0×+1×=-,所以E(Y)=E(2X+3)=-+3=。故选A。

3.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分,击不中10环得0分。已知他击中10环的概率为0.8,则射击一次得分X的均值是    (B)

A.0.2 B.0.8 

C.1 D.0

解析　因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8。故选B。

4.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为ξ,则E(ξ)的值为    (B)

A.0.765 B.1.75 

C.1.765 D.0.22

解析　当ξ=0时,P(ξ=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;当ξ=1时,P(ξ=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22;当ξ=2时,P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765。所以E(ξ)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75。

5.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。则E(ξ)等于    (A)

A.1.48 B.0.76 

C.0.24 D.1

解析　随机变量ξ的取值有1,3两种情况,ξ=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24=0.76,所以随机变量ξ的分布列为

E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48。

6.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经一段时间考察,ξ,η的分布列分别为

 

据此判定    (A)

A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量相同 D.无法判定

解析　E(ξ)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(η)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7。因为E(η)>E(ξ),故甲比乙质量好。

二、多项选择题

7.已知随机变量ξ的分布列如表:

记“函数f (x)=3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A,则下列结论正确的有    (ABD)

A.E(ξ)=-2a B.E(ξ2)=

C.P(A)= D.P(A)=

解析　由随机变量ξ的分布列得E(ξ)=-a+b,E(ξ2)=a+b=1-=,所以E(ξ)=-2a,因为“函数f (x)=3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A,ξ的所有取值为-1,0,1,满足事件A的ξ的可能取值为-1,1,所以P(A)=。故选ABD。

8.设p为非负实数,随机变量X的分布列为

则下列说法正确的是    (AB)

A.p∈ B.E(X)最大值为

C.p∈ D.E(X)最大值为

解析　由表可得解得p∈,均值E(X)=0×-p+1·p+2×=p+1,当且仅当p=时,E(X)最大值=。

三、填空题

9.已知某离散型随机变量X的均值E(X)=,X的分布列如表:

则a=  。 

解析　E(X)==0×a+1×+2×+3b⇒b=,又P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1⇒a+++=1⇒a=。

10.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%。下表是过去200例类似项目开发的实施结果:

则该公司一年后估计可获收益的均值是 4 760元 。 

解析　由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故该公司一年后收益的均值估计是6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元)。

11.盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球。从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止。设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=  ,E(ξ)= 1 。