第6章 计数原理 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦两个计数原理、排列组合、二项式定理核心知识点，通过学生报名课外活动、争夺冠军等实际问题导入，结合例题解析梳理分类分步逻辑，搭建从基础原理到复杂应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于例题贴近生活（如回文数、夏令营安排），引导学生用数学眼光发现数量关系，通过染色问题分类讨论、捆绑插空法等培养数学思维，以二项式系数计算强化数学语言表达。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

一、两个计数原理 　　分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还要考虑步与步之间的连贯性. 【例1】　（1）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米跑、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（　C　） A.（34，34）　　　　　　 B.（43，34） C.（34，43）　 D.（，） （2）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色.如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法共有　420　种. 解析：（1）每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军，根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果.故选C. （2）以S→A→B→C→D的顺序分步染色.第1步，对S点染色，有5种方法.第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法.第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法.第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类.当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（3＋2×2）＝420种. 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤 （1）明确完成的这件事是什么； （2）思考如何完成这件事； （3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类； （4）选择计数原理进行计算. 【跟踪训练】 （2024·驻马店一中月考）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99；3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999；则 （1）4位“回文数”有　90　个； （2）2n＋1（n∈N*）位“回文数”有　9×10n　个. 解析：（1）4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个数数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位“回文数”有9×10＝90（个）. （2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2，3，4，…，n，n＋1位数字，共有10×10×10×…×10＝10n（种）选法，故2n＋1（n∈N*）位“回文数”有9×10n个. 二、排列与组合 　　排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合问题常用的方法有：（1）合理分类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排除；（4）相邻捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）均分除序，定序除序. 【例2】　（1）（多选）某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的是（　BCD　） A.若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序 B.若女生甲在女生乙的前面，则有2 520种不同的出场顺序 C.若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序 D.若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同的出场顺序 （2）暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个夏令营，其中A营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛不能在同一夏令营，则不同的安排方案有　160　种. 解析：（1）若3个女生不相邻，则有＝1 440种不同的出场顺序，A错误；若女生甲在女生乙的前面，则有＝2 520种不同的出场顺序，B正确；若4位男生相邻，则有＝576种不同的出场顺序，C正确；若学生的节目顺序确定，再增加两个教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形成8个空，插入1个教师节目，有8种情况；第二步，原7个学生节目和刚插入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教师节目，有9种情况，所以这两位教师共有8×9＝72种不同的出场顺序，D正确.故选B、C、D. （2）间接法：N＝－－＝160. 反思感悟 解决排列、组合问题的注意点 （1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特殊位置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与“不邻”通常采用捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部的排列，插空法要注意与“相间排列”的区别； （2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.“至少”或“至多”含有几个元素的组合问题常采用直接法和间接法，一般来说用直接法分类复杂时，用间接法处理，即正难则反. 【跟踪训练】 一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有　35　种. 解析：先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，（ⓧ表示灯亮；○表示灯灭） ⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧ 再将剩下的三盏灯放进去，若三盏灯在一起，有＝5种方法；若分成两组，有＝20种方法；若三盏灯均不在一起，有＝10种方法，所以共有35种方法. 三、二项式定理 　　二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于解决二项式相应展开式中项的系数问题. 【例3】　（1）在（－1＋）（1＋）6的展开式中，的系数为（　C　） A.－60　 B.60 C.－80　 D.80 （2）在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n，k），若f（3，2，2）＝，则a的值为　　. 解析：（1）∵（1＋）6展开式的通项为Tr＋1＝（）r＝2r··，∴原式的展开式中含的项为（－1）×24·＋×23·＝－，∴的系数为－80.故选C. （2）因为在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n，k），所以xmynzk项的系数f（m，n，k）＝am（－1）n，即f（m，n，k）＝（－1）nam，由f（3，2，2）＝，可得（－1）2a3＝，即35×6a3＝，所以a＝. 反思感悟 1.处理几个多项式的和、积的展开式或三项式甚至多项式特定项问题，都是转化为二项式问题，体现了转化与化归的数学思想. 2.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切数值都成立.因此，可以将a，b设定为一些特殊值，在使用赋值法时，令a，b取何值，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值. 【跟踪训练】 已知二项式（a－2x）7＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a7（x－1）7，其中a＞0，且此二项式的x3项的系数是－22 680.则实数a＝　3　；（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝　　（结果可保留幂的形式）. 解析：二项式（a－2x）7的展开式中含x3的项为a4（－2x）3＝－280a4x3，∴－280a4＝－22 680，则a4＝81，又a＞0，解得a＝3.∴（a－2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7（x－1）7.令x＝2，则a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x＝0，则a0－a1＋a2－…－a7＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可得：a0＋a2＋a4＋a6＝；由①－②可得：a1＋a3＋a5＋a7＝.∴（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝×＝. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $