第6章 计数原理 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

世五维课堂 数学·选择性必修第三册 章末归纳提升 [知识整合·思维导图] 定义：完成一件事有2类不同的方案 分类加法计数原理 公式：N=m+n 分类加法计数原理与 定义：完成一件事需要2个步骤 分步乘法计数原理 分步乘法计数原理 公式：N=m×n 两个计数原理的 区别：一个分类，一个分步 关系及综合应用 综合应用：(1)明确是先分类还是先分步； (2)确定分类标准和分步流程 排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列 排列数及其公式：A”=n(n一1)(n一2)… 排列 (n-m+1)= n-m)1m,m∈N*,m≤n) n! 排列应用题：元素分析法、位置分 析法、捆绑法、插空法 组合的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素作为一组 数原 排列与组合 组合 组合数及其公式：C“- n！ Am =ml-mi,m∈N*,m≤n） 组合数的性质：CW=C”",Cm1=C”+C1 组合应用题：直接法、间接法、隔板法 排列、组合综合应用题 先选后排 项式定理的内容：(a十b)n=Ca”+Ca”-lb +…十Ca-3&+…十Cbn(n∈N*) 二项式定理 二项式定理 二项展开式的通项T+1=Ca一畅 “杨辉三角”中数的排列规律 “杨辉三角”与三 项式系数的性质 二项式系数的性质：(1)对称性，C”=CW";(2)增减性与最大值； (3)各二项式系数的和，C%+C+C+…+C=2",C%+C+C +…=C%十C%+C分十…=2m-1 ·38· 第六章计数原理 五维课堂兰 [题型梳理·素养聚焦] [考点一] 逻辑推理，数学运算一两个计数 (2)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3 原理的应用 个数字组成无重复数字的三位数，其中若有 [例1](1)3名医生和6名护士被分配到3所 1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和 学校为学生体检，每所学校分配1名医生和 3中的一个时，它应排在其他数字的前面， 2名护士，不同的分配方法有 那么这样不同的三位数共有 个. A.90种 B.180种 (用数字作答) C.270种 D.540种 [考点二]逻辑推理数学直观一排列、组合 (2)现有4种不同颜色要对如图所示的四个 的应用 部分进行着色，要求有公共边界的两部分不 [例2](1)5名乒乓球队员中，有2名老队员 能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 和3名新队员，现从中选出3名队员排成1， 2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中 至少有1名老队员且1、2号中至少有1名 新队员的排法有 种.（用数字作答） (2)在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节 目，4个舞蹈节目. A.144种 B.72种 ①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种 C.64种 D.84种 不同的节目安排顺序？ 规律方法 ②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1 1.利用两个计数原理解题，搞清两个原理的 个演唱节目时，有多少种不同的节目安排 含义及区别，解题时，通过数学逻辑推理， 顺序？ 知道证明题是利用哪个原理去解题，关键 ③若已定好节目单，后来情况有变，需加上 是分类还是分步，进而通过正确的数学运 诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节 算求解 目的相对顺序，有多少种不同的节目演出 2.综合问题，分清分类与分步的标准和方 顺序？ 式，并且遵循两个原则：一是按元素的性 质进行分类；二是按事件发生的过程进行 分步 ◇[变式训练] 1.(1)2023年10月17日至18日，北京召开第 三届“一带一路”国际合作高峰论坛，组委会 要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中 选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体 团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国 内媒体团不能连续提问，则不同提问方式的 种数为 ) A.198 B.268 C.306 D.378 ·39· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 规律方法 [考点三] 数学运算数学抽象一二项式 1.处理排列组合应用题的一般步骤 定理及其应用 (1)认真审题，弄清楚是排列（有序）还是组 [例3]( 的展开式中第三项 合（无序），还是排列与组合混合问题. (2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用 与第五项的系数之比为一 其中=-1， 两个基本原理进行“分类与分步”， 则展开式中系数为实数且最大的项为 2.处理排列组合应用题的规律 (1)两种思路：直接法，间接法. A.第三项 B.第四项 (2)两种途径：元素分析法，位置分析法， C.第五项 D.第五项或第六项 3.排列组合应用题的常见类型和解决方法 (2)已知x2十x0=a。十a,(x十1)+…十a(x十 (1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略. 1)°十ao(x十1)10，则a,的值为 (2)合理分类与准确分步的策略， (3)正难则反，等价转化的策略. (3)在(x十3y)20的展开式中，系数为有理 (4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的 数的项共有 项 策略 规律方法 (5)元素定序，先排后除的策略. 1.区分“项的系数”与“二项式系数”.项的系 (6)排列、组合混合题先选后排策略 数与a,b有关，可正可负，二项式系数只 (7)复杂问题构造模型策略， 与n有关，恒为正. ◇[变式训练] 2.理解“常数项”，“有理数（字母指数为整 2.从1到9的九个数字中取三个偶数和四个 数)”，“系数最大的项”等概念 奇数，试问： 3.求展开式中的指定项，要把该项完整写 (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ 出，不能仅仅说明是第几项， (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有 4.赋值法求展开式中的系数和或部分系数 几个？ 和，常赋的值为0，士1 (3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇 ⊙[变式训练] 数也排在一起的有几个？ 3.+2 1+x)展开式中x的系数为 (4)在(1)中任意两个偶数不相邻的七位数 有几个？ A.15 B.20 C.30 D.35 + 的展开式中，x的幂指数 是整数的项共有 ( A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 (3)若(x2+1)(x-3)9=a十a1(x-2)十a2· (x-2)2+a3(x-2)3+…十a11(x-2)1,则 a1十a2十a3十…十a11的值为 ·40·参考答案 (2)解：230-3=(23)10-3=810-3 =(7+1)10-3 =C9o710+C1o79+…+C9o7+C8-3 =7X(C9079+C1078+…+C10)-2. 又，余数不能为负数（需转化为正数），230一3除以7 的余数为5. 当堂达标 1.B[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4十a =10,得a=6.] 2.C[根据二项展开式的性质，与首末等距离的两项的二 项式系数相等，C正确.] 3.B[令x=1即得各项系数和，.各项系数和为-1.] 4.解析：由C+C以+C=37,得1+n+2nn-1)=37. 解得n=8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大， 1飞=C×X(21=要，该项的系数为5 答案：智 5.解：(1)各项二项式系数和为C2十C2十C2十…十C= 212=4096. (2)奇数项二项式系数和为C2十C2十C2十…十C形= 211=2048. (3)偶数项二项式系数和为C2+C2+C2十…+C= 211=2048. (4)(1-3x)12=C92-C12·3x+C2(3x)2-C32(3x)3+ …十C强(3x)12,令x=1,得各项系数和为(1-3)12= 4096. (5)令x=一1，得各项系数的绝对值和为(1十3)12=412 =16777216. (6)令奇数项系数和为A,偶数项系数和为B. 令x=1得A十B=212;令x=-1得A-B=412. ÷A=号×(22+4)=8390656， B=2×(21-42)=-8386560. 章末归纳提升 [例1](1)D法一：分两步，首先将3名医生派往3所学 校，有A种，其次将6名护士派往3所学校，先从6名 护士中任选2名派往第一所学校有C种方法，再从剩 ·121 五维课堂色 下的4名护士中选2名派往第二所学校有C种方法， 最后把剩下的2名护士派往第三所学校有C种方法， 故派护士共有C哈CC种方法，由分步乘法计数原理知， 共有不同的分配方法ACCC号=540（种）.故选D. 法二：分两步：首先组成三个体检队，给第一名医生可配 备2名护士，不同方法数为C:接着给第二名医生配备 2名护士有C?种方法；然后将剩下的2名护士配备给第 三名医生，只有1种方法.因此，组成三个体检队，每队1 医2护，不同的组队方法共有CC=90(种)，将3个体 检队派往3所学校，每所学校1队，不同的分配方法有 A种，由分步乘法计数原理知，共有不同的分配方法 C号CA=540(种).故选D. 法三：分三步：首先选1名医生和2名护士去第一所学 校，有CC?种.其次从剩下的人员中选1名医生和2名 护士去第二所学校有CC?种方法；最后把剩下的1名 医生和2名护士派往第三所学校，只有1种方法.由分法 乘法计数原理知，共有不同的分配方法(CC)(CC)= 540(种).故选D. 法四：分四步：第一步，将3名医生分成3组，每组一人只 有一种方法；第二步，将6名护士分成3组，每组2人，有 C3CC(种)分法（不是C唱CC3);第三步：将医生和护士 A 搭配成3队，使每队有1医2护，有A种搭配方法；第 四步，将所得三队分配到3所不同的学校，有A种分配 CCC 方法，由分步乘法计数原理知，共有不同分配方法 A ·A3·A3=540(种).故选D. (2)D[根据所用颜色的种数分类，第一类：用4种颜色 涂，有A4=4×3×2×1=24(种). 第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有 C2CA?=48(种). 第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A?=4×3= 12(种).共有24+48十12=84（种）.故选D.] 变式训练 1.(1)A[分两种情况：若选两个国内媒体团，一个国外蝶 体团，有C号CA经=90（种）不同提问方式；若选两个国外 媒体团、一个国内媒体团，有CCA=108(种)不同提问 方式，所以共有90+108=198种不同提问方式.故选A.] 世五维课堂 (2)解析：1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字1和3时，有A个； ②只有1和3中的一个时，有2A好个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数 字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C·C个. 所以满足条件的三位数共有A十2A经十C·C图=60（个）. 答案：60 [例2](1)解析：①只有1名老队员的排法有 CC号A=36种. ②有2名老队员的排法有CCC2A虽=12种.所以共有 36+12=48(种). 答案：48 (2)解：①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个 节目，与6个演唱节目一起排，有A?=5040(种)方法； 第二步，再松绑，给4个节目顺序，有A4=24(种)方法. 根据分步乘法计数原理，一共有5040×24=120960 (种)方法」 ②第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的 “☐”)，一共有A=720(种)方法. X口×口X▣×▣×▣×□× 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中 间（即图中“X”的位置），这样相当于从7个“”中选4 个来排，一共有A号=840（种）. 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800（种）. ③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排 法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出 的方式有A 18 =A品2=132（种）排法. 变式训练 2.解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有 C种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C种取 法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A好种排 法.所以符合题意的七位数有C·C·A7=100800 (个). (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C·C·A· 3=14400(个). ·1 数学·选择性必修第三册 (3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一 起的有C·C·A·A·A号=5760（个）. (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好， 再将3个偶数分别插入5个空中，共有C·C·A·A =28800(个). [例3](1)C[T3=-C%x2m-5,T5=CMx2m-10. 由-C:C=-是得m2-5m-50=0, 所以n=10, 又Tk+1=C0(-i)x20-量，据此可知当k=0,2,4,6,8, 10时系数为实数，且当=4时，C0=210最大. 故选C.] (2)解析：法一：所给等式即[1一(x十1)]2+[1一(x十 1)]10=a0十a1(x+1)+…+ag+a1o(x+1)10,而“(x十 1)9”只能从[1一(x十1)]10中产生，根据二项式定理，得 ag=-C0=-C10=-10. 法二：因为ag与x9的系数有关，等式左边x9的系数为 0,所以等式右边x9的系数也为0. 因为x10的系数为a10=C90=1,x9的系数为ag·C8十 a10·C10=ag十10=0，所以ag=-10. 答案：一10 (3)解析：T,+1=C20·3云x20-r·y',其系数为C203,当 r=0,4,8,12,16,20时，其系数为有理数，所以共有 6项. 答案：6 变式训练 3.(1)C [(1十x)6的展开式的通项T+1=C6x',所以 (1+)1+)°的晨开式中2的系数为1XC+1× C=30.] 2c(+ 的展开式的通项为T,+1= 64-后=6a-,故当=0,612,18， 24时，幂指数为整数，共5项. (3)解析：令x=2,得a0=(22+1)(2-3)9=-5. 令x=3,则a0十a1十a2十a3十…十a11=(32+1)(3-3)9 =0,所以a1十a2十a3十…a11=-a0=5. 答案：5 8