培优课 二项式定理的综合应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦二项式定理的综合应用，涵盖多项式乘积特定项、三项展开式、整除与余数三大题型。通过高考真题（如2022新高考Ⅰ卷）及典型例题导入，衔接二项式定理基础，搭建从单一到综合应用的学习支架。 资料特色在于题型系统且贴近高考，通性通法总结解题逻辑培养数学思维，生活实例（如星期几问题）渗透应用意识。助力学生深化知识理解与推理能力，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

培优课　二项式定理的综合应用 题型一 求两个多项式乘积的特定项问题 【例1】　（1）（x2＋1）（2x－）6的展开式中常数项为　－100　； （2）（2022·新高考Ⅰ卷13题）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为　－28　（用数字作答）. 解析：（1）（2x－）6展开式的通项为Tk＋1＝·（2x）6－k（－x－1）k＝（－1）k·26－kx6－2k，令6－2k＝0，则k＝3，令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23＋22＝－160＋60＝－100. （2）（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝x8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝x2y6，令r＝5，得T5＋1＝x3y5，所以（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－＝－28. 通性通法 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 【跟踪训练】 1.若（2x－）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为　－15　. 解析：由（2x－）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝32，故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）kx5－kyk，故x2y4的项为（－1＋（－12，k1＝4，k2＝3，即（－1）4x2y4＋（－1）32x2y4＝－15x2y4. 2.已知（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－240，则a＝　4　. 解析：（x＋）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－k（）k＝2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝（舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－a22＝－240，解得a＝4. 题型二 三项展开式问题 【例2】　（2024·青岛月考）（1＋x＋x2）5展开式中所有项的系数和是　243　，含x3的项的系数是　30　. 解析：令x＝1，则所有项的系数和是（1＋1＋12）5＝243； 法一　因为（1＋x＋x2）5的通项为（1＋x）5－rx2r（r＝0，1，2，3，4，5），所以当r＝0时，需求（1＋x）5展开式中的x3项为x3；当r＝1时，需求（1＋x）4展开式中的x项为x；所以含x3的项的系数是＋＝20＋10＝30. 法二　（1＋x＋x2）5是5个式子（1＋x＋x2）连乘，欲求含x3＝x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个式子（1＋x＋x2）中选三个括号提供x，两个括号提供1；或者一个括号提供x，一个括号提供x2，三个括号提供1即可，所以含x3的项的系数是＋＝10＋20＝30. 通性通法 解决三项展开式问题的方法 【跟踪训练】 1.（x＋2＋）3展开式中的常数项为（　　） A.6　 B.15 C.20　 D.28 解析：C　因为（x＋2＋）3＝［］3＝，所以展开式中的常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即＝20.故选C. 2.（x－2y＋z）8的展开式共有　45　项，其中含x3y3z2的项的系数是　－4 480　.（用数字作答） 解析：因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝（x－2y）8＋（x－2y）7z＋…＋（x－2y）z7＋z8，由二项式定理可知，（x＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋z）连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中选定三个（x－2y＋z）内提供x，在剩下的5个（x－2y＋z）中选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最后两个（x－2y＋z）提供z，则x3y3z2的系数是·（－2）3·＝－4 480. 题型三 有关整除或求余数问题 【例3】　（1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（　　） A.一　 B.二 C.三　 D.四 （2）用二项式定理证明1110－1能被100整除. （1）解析：A　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝（7＋1）10＝710＋×79＋…＋×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第810天相当于第1天，故为星期一. （2）证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1 ＝（1010＋×109＋…＋×10＋1）－1 ＝1010＋×109＋×108＋…＋102 ＝100（108＋×107＋×106＋…＋1）. 故1110－1能被100整除. 通性通法 整除性问题或求余数问题的处理方法 （1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式； （2）用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了. 【跟踪训练】 　已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，则实数a的值为　8　. 解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋119×（－1）＋…＋（－1）10]＋a＝3（1110－119＋…－×11）＋3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.又因为0≤a＜11，所以a＝8. 1.在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　） A.30　 B.20 C.15　 D.10 解析：C　因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝xk，所以x（1＋x）6的展开式中含x3的项为x3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 2.（x3－2x2＋x）3的展开式中x6的系数为（　　） A.－1　 B.1 C.－20　 D.20 解析：C　（x3－2x2＋x）3＝x3（x－1）6，因此所求x6的系数即为（x－1）6的展开式中x3的系数，由二项式定理知系数为（－1）3＝－20. 3.9192被100除所得的余数为（　　） A.1　 B.81 C.－81　 D.992 解析：B　9192＝（90＋1）92＝×9092＋×9091＋…＋×902＋×90＋.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.故9192被100除所得的余数为81. 4.在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（　　） A.第11项　 B.第13项 C.第18项　 D.第20项 解析：D　（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数为＋＋＝＋＋＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20. 5.（＋x）（1－）4的展开式中x的系数是（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.12 解析：C　根据题意，所给式子的展开式中含x的项，由（1－）4展开式中的常数项乘（＋x）中的x以及（1－）4展开式中的含x2的项乘（＋x）中的两部分合并而成，所以所求系数为1＋1×2＝3. 6.（多选）对于二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*），以下判断正确的有（　　） A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 解析：AD　（＋）n的展开式的通项为Tr＋1＝·3r·，r＝0，1，2，…，n，（＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝·x4k－n，k＝0，1，2，…，n.则二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为·3r···x4k－n，未知数x的次数为＋4k－n＝－－＋4k，令－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×3×＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×30×x3××x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 7.（＋＋）5（x＞0）的展开式中的常数项为　　. 解析：（＋＋）5（x＞0）可化为（＋）10，因而Tr＋1＝·（）10－r·（）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为·（）5＝. 8.设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝　　. 解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n①.令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n②.①＋②得3n＋1＝2（a0＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝. 9.若（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为30，则a＝　2　. 解析：（x＋）10的展开式的通项为Tr＋1＝x10－r（）r＝x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为，所以（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为－a＝30，解得a＝2. 10.设的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝　2　. 解析：由5＞＞＝4，得的整数部分为4，则＝x＋4，所以（x＋4）4＝258，即x4＋4x3＋16x2＋64x＋256＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋16x3＋96x2＋256x＝2. 11.求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除. 证明：32n＋2－8n－9 ＝（8＋1）n＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8＋－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8（n＋1）＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82. 上式中的每一项都含有82，故原式能被64整除. 12.已知（ax2＋）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1. （1）求n和a的值； （2）求（2x－1）（ax2＋）n的展开式中的常数项. 解：（1）由条件可得 解得 （2）（2x－1）（ax2＋）n＝（2x－1）（－2x2＋x－1）7. ∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝（－2x2）7－k（x－1）k＝（－2）7－kx14－3k. ∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x·（－2）2x－1＝168； 当14－3k＝0，即k＝时，舍去. ∴所求的常数项为168. 13.当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋）n＜3. 证明：（1＋）n＝＋×＋（）2＋…＋（）n＝1＋1＋×＋×＋…＋× ＝2＋×＋…＋× ＜2＋＋…＋＜2＋＋＋…＋ ＝2＋＝3－（）n－1＜3. 显然（1＋）n＝1＋1＋×＋×＋…＋×＞2. 所以2＜（1＋）n＜3. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $