第6章 计数原理 章末复习与总结-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

3.B(2-3x)的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和 第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为C=C,故 选B. 4.【解析】(1)因为(1-x)8的展开式中共有9项， 所以中间一项（第5项）的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为C4(-x)4=70x4 (2)二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定， 由题意知第4项和第6项系数相等且最小， T4=Cg(-x)3=-56x3,T6=C8(-x)5=-56x3, 所以展开式中系数最小的项是-56x和-56x. 6.3.3 二项式定理的综合应用 题型探究提技能 例：-640(x+2)°的展开式的通项公式为71=- (2）=2(k=0,123,45.6),令6-2k=1,得= 名（合去）：令6-2水=2，得4=2放2-(+2）广的展 开式中x2的系数为-aC62=-240,解得a=4.令6-2k= -1,得k=子（舍去)：令6-2k=0,得k=3.故(2x-4)(x+ 子）)广的展开式中的常数项为-4C×2=-640 限踪训练1：-15由(2x-)广的展开式中二项式系数之和 为32得，2”=32，故n=5,(x-y)”的展开式通项为(-1) Cx5-y,故x2y的项为(-1)1Cx6-1y1+(-1)2Cx5- y*1,k1=4,k2=3,即(-1)Cx2y+(-1)32C3x2y= -15x2y4. 例2：30方法一：(x2+x+y)5=[(2+x)+y]5,含y2的项为 T=C(x2+x)y2,而(x2+x)3中含x3的项为Cxx=Cx, 所以xy2的系数为CC=30. 方法二：(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y, 两个取x2,一个取x即可得含xy2的项，所以xy2的系数为 C%CC1=30. 跟踪训练2：24330令x=1,则所有项的系数和是(1+1+ 12)5=243; 方法一：因为(1+x+x2)5的通项为C5(1+x)5-x2‘(r=0,1, 2,3,4,5),所以当r=0时，需求(1+x)5展开式中的x3项为 Cx;当r=1时，需求(1+x)4展开式中的x项为C4x:所以含 x的项的系数是CC+CC=20+10=30. 方法二：(1+x+x2)5是5个式子(1+x+X2)连乘，欲求含x =龙·x·x=x2·x的项的系数，只需在5个式子(1+x+x2) 中选三个括号提供x,两个括号提供1；或者一个括号提供x, 一个括号提供x,三个括号提供1即可，所以含x的项的系 数是CC2+C.C4C=10+20=30. 例3：(1)A(2)见解析 【解析】(1)求第8天是星期几，实质是求8°除以7的余 数.因为810=(7+1)0=710+C10×7”+…+C10×7+1=7M +1(M∈N*),所以第80天相当于第1天，故为星期一. (2)证明：1+2+22+…+2-1=1-2” 1-2 =25m-1=32-1=(31+1)"-1 -16 =31”+C4×31"-1+…+C-1×31+1-1 =31×(31-1+C1×31-2+…+C%-1), 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除 跟踪训练3：83×1016+a=3×(11-1)6+a=3×[C0.110+ C1o119×(-1)+…+C18(-1)0]+a=3(1110-C1o119+… -C1o×11)+3×1+a.因为3×10°+a能被11整除，所以3 +a能被11整除.又因为0≤a<11,所以a=8, 随堂检测重反馈 1.C因为(1+x)°的展开式的第k+1项为T+1=Cx,所以x (1+x)6的展开式中含x3的项为Cx3=15x3,所以含x3项的 系数为15. 2.B因为xy3=x·(x2y),其系数为-C·2=-40,xy3=y· (xy2),其系数为C·2=80.所以xy3的系数为80-40 =40. 3.15125+a=(52-1)205+a=C9m5522025-C2ms5224+ Co2s52m-…+C252-1+a能被13整除，故-1+a能 被13整除，又0≤a<13,故a=1. 410（x-）展开式的通项=c心(-是） （-a)C5x3-2,令5-2k=3,得k=1,所以-a×5=-5,即a =1,展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数 为正数，故各项的系数中最大值为C:=10. 章末复习与总结 核心考点培优 例1：(1)①90②9×10(2)60 【解析】(1)①4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位 和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个数数字，共 有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位 “回文数”有9×10=90（个）. ②第一步，选左边第一个数字，有9种选法：第二步，分别选左 边第2,3,4，…，n,n+1位数字，共有10×10×10×…×10= 10(种)选法，故2n+1(neN*)位“回文数”有9×10“个. (2)1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.分三类：① 没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个；②只有1和3 中的一个时，满足条件的三位数有2A个；③同时有1和3 时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入 3个空中的1个即可，满足条件的三位数有C4C;个.所以满足 条件的三位数共有A+2A?+CC=60(个) 例2：(1)BCD(2)160 【解析】(1)若3个女生不相邻，则有A4A;=1440种不同的 出场顺序，A错误：若女生甲在女生乙的前面，则有乃号 2520种不同的出场顺序，B正确：若4位男生相邻，则有A4A4 =576种不同的出场顺序，C正确；若学生的节目顺序确定，再 增加两个教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形 成8个空，插入1个教师节目，有8种情况；第二步，原7个学 生节目和刚插入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教 师节目，有9种情况，所以这两位教师共有8×9=72种不同 的出场顺序，D正确.故选BCD. (2)间接法：N=CCC2-C5CC-CCC=160. 例3：(1)360(2)12 【解析】(1)方法-：(a+2b+3c)5=[(a+2b)+3c]5,首先 根据二项式定理展开，有6项，其中C(a+2b)4·3c=15c· (a+2b)4符合题目要求，进一步将(a+2b)4展开后与15c相 乘，符合题目要求的是15c·Ca(2b)2=360a2b2c,所以含 abc的系数为360. 方法二：把(a+2b+3c)5的展开式看成是5个因式(a+2b+ 3c)的乘积形式，展开式中，含abc项的系数可以按如下步骤 得到：第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取a, 有C种取法；第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都 取2b,有C种取法；第三步，把剩余的1个因式中取3c,有C 种取法；根据分步乘法计数原理得含abc项的系数是C× 22C×3C=360. (2)642+m=(13×5-1)2+m=C9(13×5)2+ C24(13×5)2×(-1)'+C24(13×5)2m×(-1)2+… +C(13×5)'×(-1)2+1+m,因为C9m4(13×5)2 +C4(13×5)2m×(-1)1+C4(13×5)22×(-1)2+ …+C(13×5)×(-1)2能被13整除，所以m+1是13 的倍数时，6424+m能被13整除，所以m的最小正整数取值 为12. 第七章随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 7.1.1条件概率 教材梳理 明要点 新知初探 知识点二 P(A)P(BIA) 知识点三 (1)1(2)P(BIA)+P(CIA)(3)1-P(BIA) 预习自测 1.B由条件概率的定义知B为条件概率。 2D由条件概率的计算公式，可得P(AIB)=P4B=8 P(B) 3.0.18由概率的乘法公式可得P(AB)=P(A)·P(BIA)= 0.3×0.6=0.18. 题型探究提技能 例1：【解析】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到 舞蹈节目”为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事 件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个， 试验的样本空间2包含的样本点数n(2)=A=30 根据分步乘法计数原理，得n(A)=A4A=20, 所以)-份-品-子 (2)因为n(AB)=A=12, 所以P(AB)=n(B)=12-2 n(2)=30=5 (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽 2 到舞蹈节目的概率P(B1A)=PA=Σ=5 P(AB)5 3 3 16 (支P8)尝-号=号) 跟踪训练1：C设事件A为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事 件B为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则P(A)=0.75,P(AB) =03,则P(B1A)=P4B=0.3」 P(A)0.75 =0.4,即在抽到的学生喜 欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为 40%.故选C. 例2：【解析】设A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得白 球”，则A=“第一次取得黑球”，由题意，得 (1)P(A)=10=5 63 (2)P4)=PAPr8a)=号×g-分 (3)P0)=P(团P(BI团=×g-吉 4 跟踪训练2：A记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功， 则P(A)=品P(B1A)=g所以P(B)=(AP(BA)= 191 9×0=10故选A 例3：【解析】方法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸 出第二个球为黄球”为事件B,“摸出第二个球为黑球”为事 件C, 则)=0H4)=0号=5P氏4C)=0号-0 .1×31 -气-百-号G4:0.高1 1 1 P(A) P(A)=1=3 0 10 215 :.P(BUCIA)=P(BIA)+P(CIA)=+3= ∴.在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概 事为日 方法二：.'n(A)=1×C。=9,n(BUCIA)=C2+C=5, P氏BUCM)=a(BSD= n(A) ∴.在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概 率为日 跟踪训练3：【解析】(1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点 数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为 7”,则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数 是2”， 则P代=弟石八4=6=8所以P(A@)=兴8 21 (2)记事件M表示“两颗骰子向上的点数之和为”， 则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M=M4UM。, 其中事件M4与M。互斥，记事件V表示“两颗骰子向上的点 数不相同”， 则事件M,N表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点 数之和为”. 因为P(N)=沿=名，P(M,)=6=8P(,)=名 21 4 =9 5031 题型三整除和余数问题 [方法总结3] 例3（1)今天是星期一，今天是第1天，那么第8”天是星期 ( )1.利用二项式定理可 A. B.二 C.三 D.四 以解决求整除和余数 (2)已知n∈N*,求证：1+2+22+…+2m-1能被31整除 的问题，常用的变形 是拆数，通常需将数 P[方法总结3] 化成两数的和与差的 形式，且这种转化形 式与除数有密切的 关系； 2.用二项式定理展 开，展开后的大部分 项是除数的倍数，只 考虑后面（或者是前 面)的几项就可以了. 进而可证明或判断被 除数能否被除数整 除，若不能整除，则 》跟踪训练3 可求出余数 已知3×100+a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为 随堂检测重反馈 1.在x(1+x)6的展开式中，含x项的系数为 A.30 B.20 C.15 D.10 2.(x+y)(2x-y)5的展开式中xy3的系数为 ( A.80 B.40 C.-80 D.-40 3.设a∈Z,且0≤a<13,若51225+a能被13整除，则a= 4.在x- 的展开式中，x3的系数等于-5，则该展开式各项的系数的最大值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] 章末复习与总结 知识体系构建 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 排列的概念 排列数公式 排列 排列的应用 计数原理 排列与组合 组合的概念 组合数公式 应用 组合 组合数性质 组合的应用 二项式系数的性质 二项式定理一二项展开式 通项公式 032 核心考点培优 考点一 两个计数原理 [方法总结1] 例1.(1)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如2， 应用两个计数原理计 数的四个步骤 121,3443,94249等.显然2位“回文数”有9个：11,22,33，…，(1)明确完成的这件 事是什么； 99;3位“回文数”有90个：101,111,121，…，191,202，…，999；则 (2)思考如何完成这 ①4位“回文数”有 个； 件事； (3)判断它属于分类 ②2n+1(n∈N*)位“回文数”有 个 还是分步，是先分类 (2)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的 后分步，还是先分步 后分类； 三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3 (4)选择计数原理进 中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有 行计算. [方法总结2] 个.（用数字作答） [方法总结1] 解决排列与组合问题 常用的方法 考点二排列与组合 合理分类，准确分 例2(1)（多选）某学校举行校园歌手大赛，其有4名男生，3名女生参加， 步；特殊优先，一般 在后；先取后排，间 组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的是( 接排除；相邻捆绑， 间隔插空；抽象问 A.若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序 题，构造模型；均分 B.若女生甲在女生乙的前面，则有2520种不同的出场顺序 除序，定序除序 [方法总结3] C.若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序 二项式定理的问题类 D.若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不 型及解答策略 (1)求二项展开式中 同的出场顺序 条件项的系数：先写 (2)暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A,B,C三个夏 出其通项公式，再由 条件确定项数，然后 令营，其中A营安排3人，B,C各安排2人，要求大睿和小涛不能 代入通项公式求出此 在同一夏令营，则不同的安排方案有 种. 项的系数； (2)求二项展开式中 P[方法总结2] 各项系数的和差：赋 值代入； 考点三二项式定理及应用 (3)确定二项展开式 中的系数最大或最小 例3(1)在(a+26+3c)的展开式中，含c的系数为 项：利用二项式系数 的性质； (2)若64224+m能被13整除，则m的最小正整数取值为 (4)整除问题：把所给 式子底数写成二项式 ●[方法总结3] 形式，利用展开式解 决 素养等级测评 请同学们认真完成考案（一）