专题2.3 分式方程及其应用（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦分式方程及其应用专题，覆盖解分式方程、分式方程的解、分式方程的应用三大中考核心考点，以“3个知识点+3大考点+9个题型”构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破去分母、验根等难点，体现系统性复习。 亮点在于融入数学思维与模型意识，如分式方程应用中引导学生从工程、行程问题抽象等量关系，培养用数学语言表达现实世界的能力。设9个分层题型，通过2025年中考真题示例，配合变式训练，确保学生掌握参数讨论、增根分析等关键技巧，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题2.3 分式方程及其应用（举一反三复习讲义） 【3个知识点+3大考点+9个题型】 【考点一 解分式方程】 2 【题型1 解分式方程中判断去分母是否正确】 2 【题型2 解分式方程】 4 【考点二 分式方程的解】 6 【题型3 已知分式方程的解求参数】 6 【题型4 已知分式方程的解的取值范围求参数】 8 【题型5 已知分式方程的增根求参数】 10 【题型6 已知分式方程有整数解求参数】 13 【题型7 已知分式方程有解或无解求参数】 16 【考点三 分式方程的应用】 18 【题型8 根据实际问题抽象出分式方程】 19 【题型9 分式方程的应用】 20 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握分式方程的概念，能识别其与整式方程的区别。重点掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，核心步骤包括去分母（化为整式方程）、解整式方程、验根。能根据实际问题（如工程、行程、销售等问题）中的数量关系列出分式方程并求解，检验解的合理性。 考查主要集中在解分式方程和分式方程的应用两方面。纯解方程的题目侧重检验解题步骤的规范性和验根意识。命题的主流趋势是将分式方程作为工具，解决生活化、跨学科的实际问题，常以解答题形式出现，考查从复杂情境中抽象出等量关系并建立方程的能力。 1. 解方程：关键是正确找到最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程。验根是必不可少且易被忽略的步骤，必须将解代入原方程的最简公分母进行检验。 2. 应用题：审题明确基本数量关系（如工作总量=效率×时间）。设未知数后，用代数式表示其他量，利用“同一量两种不同表示”或已知的等量关系建立方程。解方程后需双重检验：是否为增根、是否符合实际意义（如时间、数量为正数）。 【考点一 解分式方程】 知识点1 分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 知识点2 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 【题型1 解分式方程中判断去分母是否正确】 【例1】（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 【变式1-1】（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 【变式1-2】（2025·新疆喀什·二模）解分式方程时，去分母后变形正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，方程两边同时乘以最简公分母，将方程转化为整式方程进行判断即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：； 故选：D． 【变式1-3】（2025·山西临汾·模拟预测）解分式方程时，下列去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以，化成整式方程，问题得解． 【详解】解：， 方程两边同乘以得 ． 故选：A 【题型2 解分式方程】 【例2】（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 【变式2-1】（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 【变式2-2】（2025·河北石家庄·二模）已知：分式， (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的减法运算和解分式方程． （1）代入分式A、B，先通分计算同分母的减法，再约分即可； （2）结合（1）的结论，根据得，解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【变式2-3】（2025·广西·二模）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母； （2）解： 方程两边同乘，得， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【考点二 分式方程的解】 【题型3 已知分式方程的解求参数】 【例3】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 【变式3-1】已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 【变式3-2】已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【答案】B 【分析】将x＝3代入分式方程中进行求解即可． 【详解】解：把x＝3代入关于x的分式方程＝3得：， 解得：m＝﹣3， 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，一般直接将解代入分式方程进行求解． 【变式3-3】（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 【题型4 已知分式方程的解的取值范围求参数】 【例4】（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查的是根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和分式方程的增根是解决此题的关键． 先将分式方程化为整式方程求出方程的解，再根据方程解的取值范围以及分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】解： ． 解得． ∵方程的解的取值范围为， ∴， ∴． ∵分母不能为，即， 把代入得， 解得． ∴的取值范围是且， 故选：C． 【变式4-1】（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 【变式4-2】（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 【变式4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 【题型5 已知分式方程的增根求参数】 【例5】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 【变式5-1】（2025·河南周口·模拟预测）若关于的方程有增根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 由，可得，由关于的方程有增根，则，可得，或，然后代入，计算求解即可． 【详解】解：， ， ∵关于的方程有增根， ∴， 解得，或， 当时，不存在， 当时，， 综上所述，， 故答案为：1． 【变式5-2】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 【变式5-3】（2025·江西宜春·模拟预测）（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4 【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）①当时，分式方程为：， 去分母得到， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； ②， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． 【题型6 已知分式方程有整数解求参数】 【例6】如果关于y的分式方程有整数解，且关于x的不等式组有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是 ． 【答案】22 【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题． 【详解】解：由可得：， ∵，即， ∴， 解得， 由可得：， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴的取值有，，，，，，0，，3，，5，，8，，26； ∵关于x的不等式组有且只有两个整数解， ∴，解得：， ∴满足题意a的值有14和8， ∴符合条件的所有整数a的值之和是22 故答案为：22. 【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 【变式6-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 【变式6-2】（2025·重庆·模拟预测）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意的条件求出，再解方程求出且，根据方程有负整数解求出整数a的值求和即可． 【详解】解：∵关于a的二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 即整数的值为，，，，， 解分式方程得：且， 又∵分式方程有负整数解， ∴整数的值为：，， 即所有整数a的和为， 故答案为：． 【变式6-3】（2025·重庆渝中·模拟预测）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数m的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的综合，根据一元一次不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”可得，再根据解分式方程可得或9或5或3，由此即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得，， 解关于x的分式方程， 得，， ∵关于的分式方程有整数解，且 ∴或或， 解得或9或5或11或3 ∵， ∴或9或5或3 ∴， 故答案为： ． 【题型7 已知分式方程有解或无解求参数】 【例7】（2025·四川南充·二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程有根的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解分式方程得，由分式方程有根的条件得，所以，解得，即可得解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 关于的方程一定有根， ， ， 将代入，得， ， 故选：A． 【变式7-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 【变式7-2】若关于的分式方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程有解，进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于的分式方程有解， ∴， ∴， ∴且， 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到是解题的关键． 【变式7-3】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【答案】第三步错误，见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 【考点三 分式方程的应用】 知识点3 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【题型8 根据实际问题抽象出分式方程】 【例8】（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 【变式8-1】（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 【变式8-2】（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 【变式8-3】（2025·山东青岛·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题，列出分式方程，根据甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，列出方程即可． 【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，由题意： ； 故答案为： 【题型9 分式方程的应用】 【例9】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 【变式9-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【答案】模型A每小时能处理数据 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，根据“模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：模型A每小时能处理数据． 【变式9-2】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【变式9-3】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 分式方程及其应用（举一反三复习讲义） 【3个知识点+3大考点+9个题型】 【考点一 解分式方程】 2 【题型1 解分式方程中判断去分母是否正确】 2 【题型2 解分式方程】 3 【考点二 分式方程的解】 4 【题型3 已知分式方程的解求参数】 4 【题型4 已知分式方程的解的取值范围求参数】 4 【题型5 已知分式方程的增根求参数】 4 【题型6 已知分式方程有整数解求参数】 5 【题型7 已知分式方程有解或无解求参数】 5 【考点三 分式方程的应用】 6 【题型8 根据实际问题抽象出分式方程】 6 【题型9 分式方程的应用】 7 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握分式方程的概念，能识别其与整式方程的区别。重点掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，核心步骤包括去分母（化为整式方程）、解整式方程、验根。能根据实际问题（如工程、行程、销售等问题）中的数量关系列出分式方程并求解，检验解的合理性。 考查主要集中在解分式方程和分式方程的应用两方面。纯解方程的题目侧重检验解题步骤的规范性和验根意识。命题的主流趋势是将分式方程作为工具，解决生活化、跨学科的实际问题，常以解答题形式出现，考查从复杂情境中抽象出等量关系并建立方程的能力。 1. 解方程：关键是正确找到最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程。验根是必不可少且易被忽略的步骤，必须将解代入原方程的最简公分母进行检验。 2. 应用题：审题明确基本数量关系（如工作总量=效率×时间）。设未知数后，用代数式表示其他量，利用“同一量两种不同表示”或已知的等量关系建立方程。解方程后需双重检验：是否为增根、是否符合实际意义（如时间、数量为正数）。 【考点一 解分式方程】 知识点1 分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 知识点2 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 【题型1 解分式方程中判断去分母是否正确】 【例1】（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·新疆喀什·二模）解分式方程时，去分母后变形正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·山西临汾·模拟预测）解分式方程时，下列去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 解分式方程】 【例2】（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【变式2-1】（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河北石家庄·二模）已知：分式， (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 【变式2-3】（2025·广西·二模）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【考点二 分式方程的解】 【题型3 已知分式方程的解求参数】 【例3】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【变式3-1】已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式3-2】已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【变式3-3】（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【题型4 已知分式方程的解的取值范围求参数】 【例4】（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式4-1】（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式4-2】（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【变式4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型5 已知分式方程的增根求参数】 【例5】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【变式5-1】（2025·河南周口·模拟预测）若关于的方程有增根，则 ． 【变式5-2】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【变式5-3】（2025·江西宜春·模拟预测）（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【题型6 已知分式方程有整数解求参数】 【例6】如果关于y的分式方程有整数解，且关于x的不等式组有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是 ． 【变式6-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【变式6-2】（2025·重庆·模拟预测）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【变式6-3】（2025·重庆渝中·模拟预测）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数m的和是 ． 【题型7 已知分式方程有解或无解求参数】 【例7】（2025·四川南充·二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【变式7-2】若关于的分式方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式7-3】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【考点三 分式方程的应用】 知识点3 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【题型8 根据实际问题抽象出分式方程】 【例8】（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【变式8-2】（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·山东青岛·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意可列方程为 ． 【题型9 分式方程的应用】 【例9】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【变式9-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【变式9-2】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【变式9-3】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $