2.导数的运算讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅2 导数的运算（原卷版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 利用导数公式求函数的导数 题型2 求函数的和、差、积、商的导数 题型3 求复合函数的导数 题型4 求某点处的导数值 题型5 求切线的斜率（倾斜角）与方程 题型6 利用导数求过某点处的切线方程 题型7 利用导数公式求切点坐标问题 题型8 切线平行、垂直问题 题型9 公切线问题 题型10 与切线有关的最值问题 题型11 与切线有关的综合问题 解题策略 知识点1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. ②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式． ③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝. 知识点2 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x) 则＝ ＝＋， ∴ ＝ ＋ ＝f ′(x)＋g′(x)， 注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)， ＝ ＝ ＝＋， ∴ ＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)． 注： (3)＝(g(x)≠0)． （分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 知识点3 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是 （2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。 知识点4 导数计算的原则和方法 （1）导数计算的原则： 先化简解析式，再求导． （2）导数计算的方法： ①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. ⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导 ⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 解题策略1：求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 解题策略2：导函数的常用结论 1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 考点精讲 题型1 利用导数公式求函数的导数 一、单选题 1．曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 二、填空题 6．曲线在点处的切线斜率是 ，切线方程是 ． 题型2 求函数的和、差、积、商的导数 一、解答题 1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 2．求下列函数的导数： (1)； (2)（为常数）； (3)． 3．求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 4．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 求复合函数的导数 一、解答题 1．求下列函数的导函数. (1)； (2). 2．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 3．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．求下列各函数的导数． (1)． (2)． (3)． 题型4 求某点处的导数值 一、单选题 1．若函数在处的导数值等于其在处的函数值的2倍，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知， 则在处的导数值为（    ） A． B．0 C． D．1 3．已知函数，若在处的函数值与导数值之和等于，则的值等于（    ） A． B． C． D．不存在 4．函数在处的导数值是 A．6 B．8 C．10 D．12 5．已知，，，则函数在处的导数值为（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，在处的导数值为1的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则下列函数在处的导数值为4的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．函数在处的导数值是 ． 9．曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数.已知曲线，则曲线在点处的曲率为 ；C上任一点处曲率的最大值为 . 题型5 求切线的斜率（倾斜角）与方程 一、单选题 1．曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．设函数为定义在R上的偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为8，则（    ） A．12 B．4 C． D． 5．若函数的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t,则称函数为“t函数”.下列函数中为“2函数”的是 ①       ②③       ④ A．① ② B．③④ C．①③ D．②④ 二、多选题 6．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知曲线的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为 ． 四、解答题 8．已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直． (1)求实数的值； (2)求在函数图像上任意一点处切线的斜率的取值范围． 题型6 利用导数求过某点处的切线方程 一、单选题 1．过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 3．已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 4．过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 5．过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数与，则（   ） A．当时，曲线的图象在处的切线方程为 B．若过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为 C．若时，，则的取值范围为 D．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 三、解答题 7．已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 题型7 利用导数公式求切点坐标问题 一、单选题 1．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 2．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分的概念．在研究切线时，他对切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则常数的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空 3．已知函数有一条斜率为1的切线，则切点的坐标为 ． 4．求的导数，并求出曲线的平行于x轴的切线的切点坐标. 三、填空题 5．已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 . 6．函数在点处的切线斜率为4，则 . 题型8 切线平行、垂直问题 一、单选题 1．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 3．已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,.过点作曲线的两条切线，若这两条切线相互垂直，则函数的最小值为 A． B． C． D． 4．已知函数在处的切线与直线垂直，则 A．2 B．0 C．1 D．－1 5．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．曲线上存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知函数，若在和处切线平行，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 10．若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 12．已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为 . 13．已知函数的图像在和处的切线相互垂直，则 14．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数 . 四、解答题 15．已知函数，. (1)求曲线在点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值. 16．设函数 (1)若对均有求实数的取值范围； (2)求证：对任意实数函数的图象总存在两条切线相互平行. 题型9 公切线问题 一、单选题 1．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 2．已知函数与的图象在处的切线重合，则（    ） A． B．e C． D． 3．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 4．函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（多选）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与同时相切，则b的取值可以为（   ） A． B． C．2 D．e 6．（多选题）若，是函数图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（   ）． A． B． C．的最小值为e D．的最大值为e 三、填空题 7．若存在过点的直线与曲线和都相切，则 . 8．已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 9．若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则 . 四、解答题 10．若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”.设. (1)判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若时，函数的最大值为0，求的取值范围； (3)当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程. 11．若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”． (1)已知，求函数的零点； (2)求函数与函数的“合一切线”方程； (3)已知，若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，b的值． 题型10 与切线有关的最值（取值范围）问题 一、单选题 1．已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx+4ax与g（x）＝x2﹣b在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 7．已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a的取值范围为 . 9．已知实数，满足，，则的最小值为 三、解答题 10．已知函数，点、为函数图像上两点，且过A、B两点的切线互相垂直，若，求的最小值． 11．若点是函数图象上的动点（其中是自然对数的底数），求到直线的距离最小值. 12．已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)已知，若在区间内的图象上存在两点，使得在这两点处的切线相互垂直，求的取值范围. 题型11 与切线有关的综合问题 一、单选题 1．曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 2．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的图象在，两点处的切线的位置关系为（    ）． A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交但不垂直 4．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．设.当时，恒有，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 . 8．已知直线l与曲线（e为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线l的斜率为 ． 四、解答题 9．已知函数和，其中m，n为常数且.若存在斜率为1的直线与曲线，同时相切. (1)若曲线在点处的切线斜率为1，求； (2)求的取值范围. 10．已知函数． (1)当a＝1时，求曲线在x＝2处的切线方程； (2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的取值范围． 11．已知函数，曲线在点处的切线平行于直线. （1）求函数的单调区间； （2）设直线为函数的图象在点处的切线，问：在区间上是否存在，使得直线与曲线也相切？若存在，求出满足条件的的个数；若不存在，请说明理由. $ 寻“导”之旅2 导数的运算（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 利用导数公式求函数的导数 题型2 求函数的和、差、积、商的导数 题型3 求复合函数的导数 题型4 求某点处的导数值 题型5 求切线的斜率（倾斜角）与方程 题型6 利用导数求过某点处的切线方程 题型7 利用导数公式求切点坐标问题 题型8 切线平行、垂直问题 题型9 公切线问题 题型10 与切线有关的最值问题 题型11 与切线有关的综合问题 解题策略 知识点1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. ②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式． ③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝. 知识点2 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x) 则＝ ＝＋， ∴ ＝ ＋ ＝f ′(x)＋g′(x)， 注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)， ＝ ＝ ＝＋， ∴ ＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)． 注： (3)＝(g(x)≠0)． （分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 知识点3 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是 （2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。 知识点4 导数计算的原则和方法 （1）导数计算的原则： 先化简解析式，再求导． （2）导数计算的方法： ①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. ⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导 ⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 解题策略1：求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 解题策略2：导函数的常用结论 1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 考点精讲 题型1 利用导数公式求函数的导数 一、单选题 1．曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，得到斜率为 ，再利用点斜式写出切线方程化简即可. 【详解】求导函数得到，则切线斜率为 ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 故选：D 2．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本函数求导法则计算出答案 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 3．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 4．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 5．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 二、填空题 6．曲线在点处的切线斜率是 ，切线方程是 ． 【答案】 【分析】对函数求导，由导数的几何意义求解． 【详解】， 则曲线在点处的切线斜率为：； 切线方程为：，即， 故答案为：； 题型2 求函数的和、差、积、商的导数 一、解答题 1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求导公式与四则运算的求导法则求解； （2）根据求导公式与四则运算的求导法则求解； （3）利用复合函数的求导法则可求. 【详解】（1）； （2）； （3）令，则. 2．求下列函数的导数： (1)； (2)（为常数）； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数加法法则和复合函数求导即可； （2）根据导数除法和导数减法法则即可； （3）根据导数乘法法则即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 3．求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用幂函数与指数函数的求导法则求导即得； （2）利用乘法的求导法则求导即得； （3）利用除法的求导法则求导即得； （3）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； （4）因为， 所以. 4．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的四则运算法则求导即可. 【详解】（1）． （2） ． （3）． （4）． 题型3 求复合函数的导数 一、解答题 1．求下列函数的导函数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【详解】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 2．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合导数的运算法则及复合函数求导发法则，计算即可求解. 【详解】（1）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）解：由，根据导数的四则运算法则， 可得. （4）解：由函数，根据导数的四则运算法则， 可得 3．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的运算、复合函数的导数等知识求解即可． 【详解】（1）对求导可得： （2）对求导可得： （3）对求导可得： （4）对求导可得： 4．求下列各函数的导数． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据基本初等函数的导数公式以及求导法则求解出结果. 【详解】（1）， ． （2）， ． （3）， ， ． 题型4 求某点处的导数值 一、单选题 1．若函数在处的导数值等于其在处的函数值的2倍，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】求得导函数，由已知列出方程,求解即可得解. 【详解】解：因为，所以， 解得， 故选:B． 2．已知， 则在处的导数值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再求出导数值即可. 【详解】函数，求导得， 所以在处的导数值为. 故选：B 3．已知函数，若在处的函数值与导数值之和等于，则的值等于（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】首先求导得到，再根据，解方程求解即可. 【详解】，，且， 所以，. 所以，解得或（舍去）. 故选：A 4．函数在处的导数值是 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】求出导函数，令代入计算． 【详解】,当时 故选：D． 5．已知，，，则函数在处的导数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数除法运算法则可求得，代入即可. 【详解】， 在处的导数值为：. 故选：A. 6．下列函数中，在处的导数值为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单复合函数求导方法，对各选项求导，计算导函数值，判断正误. 【详解】函数，，则，所以A错误. 函数在不可导，所以B错误. 函数，，则，所以C错误. 函数，，则， 故选：D. 二、多选题 7．已知，则下列函数在处的导数值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数计算公式，即可求解. 【详解】对于A，设，，，故A正确； 对于B，设，，，故B正确； 对于C，设，， 所以，故C错误； 对于D，设，， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．函数在处的导数值是 ． 【答案】 【分析】求得导函数后，代入即可求得结果. 【详解】由题意得：     故答案为： 【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是能够利用求导法则准确求得导函数. 9．曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数.已知曲线，则曲线在点处的曲率为 ；C上任一点处曲率的最大值为 . 【答案】 / / 【分析】首先求处的，再代入曲率公式，即可求解；代入公式，利用导数求函数的最小值，即可求解曲率的最大值. 【详解】，，，， ,所以曲线在点处的曲率为； 上任一点处的，， ， 得（舍）或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，此时曲率取得最大值，最大值为. 故答案为：； 题型5 求切线的斜率（倾斜角）与方程 一、单选题 1．曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据曲线在某点处导数的几何意义判断. 【详解】由题可知：，所以. 故选：B 2．已知函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出导函数，再求出切线斜率，最后应用点斜式计算求解. 【详解】， 依题意，解得， 所以，所以， 所以曲线在点处的切线的方程为，即， 故选:B. 3．曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，利用导数的几何意义求解. 【详解】因为，所以. 曲线在点处切线的斜率为. 故选：B. 4．设函数为定义在R上的偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为8，则（    ） A．12 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数性质求出，再结合复合函数求导公式求出即可. 【详解】由函数为定义在上的偶函数，得， 则， 两边求导得，即， 而，则， 所以. 故选：C 5．若函数的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t,则称函数为“t函数”.下列函数中为“2函数”的是 ①       ②③       ④ A．① ② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本道题分别计算该四个函数的导数,结合函数的性质,判断是否存在相应点,即可得出答案. 【详解】对于1,求导,,解得,不存在,错误; 对于2,求导,,解得,不存在,错误; 对于3,求导,存在,故正确; 对于4,求导,解得,存在,正确,故选B. 【点睛】本道题目考查了函数求导数的问题,结合导数,计算是否存在,可以结合相应函数性质,进行判断. 二、多选题 6．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由函数的单调性可判断选项；由导数的几何意义可判断选项；由图象观察可判断选项和，进而得出答案. 【详解】对于：恒成立，则在上单调递增， 因为，所以，故正确； 对于：，，且，总有，则函数图象上凸，如图所示： 因为反映了函数图象上各点处切线的斜率， 由图象可知随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以，故错误； 对于：， 由图象得，即，故错误； 对于：， 由图象得，即，故正确. 故选：. 三、填空题 7．已知曲线的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为 ． 【答案】 【解析】先求导，利用切线斜率为1解得切点坐标，再利用点斜式写出切线方程，即得结果. 【详解】已知曲线，则， 设斜率为1的切线的切点为，则，即，而， 故，即切点为，则切线方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 8．已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直． (1)求实数的值； (2)求在函数图像上任意一点处切线的斜率的取值范围． 【答案】（1）（2）见解析 【详解】试题分析：第一问根据导数的几何意义，对函数求导，求出切线的斜率，根据两条直线垂直，斜率互为负倒数，列出方程，再结合函数图象过点M，列出方程组，解方程组求出a,b，第二问把a,b的值代入函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，利用配方法求出二次函数的值域，即切线斜率的范围. 试题解析： (1)因为y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx. ∵f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)， ∴a＋b＝4. 又∵曲线在点M处的切线与直线x＋9y＝0垂直， ∴f′(1)＝9，∴3a＋2b＝9. 由 得， . (2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx＝3x2＋6x ＝3(x＋1)2－3≥－3. 【点睛】导数的几何意义是高考常见问题，根据导数的几何意义，对函数求导，求出切线的斜率，利用两条直线垂直或平行的关系，列出方程，解出待定量，得到函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义，配方法求出二次函数的值域，即切线斜率的范围. 题型6 利用导数求过某点处的切线方程 一、单选题 1．过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 2．过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 3．已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解. 【详解】作出函数的图象， 求导得：， 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选：B 4．过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 5．过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 二、多选题 6．已知函数与，则（   ） A．当时，曲线的图象在处的切线方程为 B．若过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为 C．若时，，则的取值范围为 D．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据导数的几何意义求解，，从而可得曲线的图象在处的切线方程即可判断A；设切点为，将问题转化为方程在有两个解，构造函数，求导判断单调性得最值即可判断B；将不等式转化为，构造函数，求导判断单调性得最值即可判断C；设公切线为，是与曲线的切点，是与曲线的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，于是有，消元得，构造函数，将问题转化为直线与曲线有三个不同的交点，求导得函数图像即可求的取值范围，从而判断D. 【详解】对于A，当时，，则，所以， 又，则曲线的图象在处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，设切点为，因为，则，所以切线方程为， 切线过点，代入得，即方程在有两个解， 设，则，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，，则，故B错误； 对于C，由题可知，，所以， 设，则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故C正确； 对于D，设公切线为，是与曲线的切点，是与曲线的切点， 所以的方程为，整理得，同理，整理得， 依题意两条直线重合，可得，消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则，当或时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以有极小值为，有极大值为， 因为，所以，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，故的图象简单表示为下图： 所以当，即时，直线与曲线有三个交点，故D正确. 故选：ACD. 三、解答题 7．已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】（1），因为，， 所以切点为，且切线斜率， 所以切线方程为， 得. （2）设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 题型7 利用导数公式求切点坐标问题 一、单选题 1．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 【答案】A 【分析】由题得（），设切点的横坐标为，解方程即得解. 【详解】函数的定义域为， 由题得（）. 设切点的横坐标为，则，解得或（舍去）. 故选：A. 2．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分的概念．在研究切线时，他对切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则常数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数求解切点处的切线斜率，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解. 【详解】由，得，所以切线的斜率为， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，得． 故选:C． 二、填空 3．已知函数有一条斜率为1的切线，则切点的坐标为 ． 【答案】 【分析】求出导函数，令导数为1，即可求出切点坐标 【详解】因为函数有一条斜率为1的切线， 所以，令，有， 令，有， 当时，； 当时，由在上恒成立，有在上单调递增， 所以有唯一解， 又，所以切点坐标为. 故答案为：. 4．求的导数，并求出曲线的平行于x轴的切线的切点坐标. 【答案】，切点坐标为， 【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导函数，再令，求出，即可求出切点坐标； 【详解】解：因为，所以 即， 依题意若曲线的切线平行于x轴，则切线的斜率为，令，即，解得或，又，，即切点坐标为， 三、填空题 5．已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，利用导数的几何意义建立方程计算即可. 【详解】易知，设， 所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意可知，解之得或， 当时，，此时切点在x轴上，不合题意；当时，； 所以. 故答案为： 6．函数在点处的切线斜率为4，则 . 【答案】1 【分析】求导，令导数等于4求解可得. 【详解】易知，根据题意有，解得. 故答案为：1 题型8 切线平行、垂直问题 一、单选题 1．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两函数的导函数，再根据题意得两函数的导函数在处的导数值相等即可求得a. 【详解】解：由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为. 由，得， 所以该曲线在点处的切线斜率为.因为两切线平行， 所以. 故选：D. 2．已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据的导函数为，又由其过P点的切线与直线平行性可知，求得切点P的横坐标，代回曲线方程求得的值，可得答案. 【详解】解：由题意可知：函数的导函数为 过P点的切线与直线平行 ，解得 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即. 所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14） 故选:C 3．已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,.过点作曲线的两条切线，若这两条切线相互垂直，则函数的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两条切线垂直可知，其中一条切线的倾斜角为，斜率为.对函数求导后，利用斜率和切线方程，求得的值，再根据单调性求得函数的最小值. 【详解】由于函数关于直线对称，且过点的函数切线相互垂直，根据对称性可知，一条切线的倾斜角为，斜率为.设切点为，，故，故切线方程为.依题意可知，斜率①，将代入切线方程得②，联立①②解得.故函数为，导数为，函数在时单调递增，且函数关于对称，故在处取得最小值为.故选B. 【点睛】本小题主要考查利用切线方程求函数的解析式，考查利用导数求函数的最小值，属于中档题. 4．已知函数在处的切线与直线垂直，则 A．2 B．0 C．1 D．－1 【答案】C 【详解】分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可. 详解：由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，故=-1得1，故选C. 点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题. 5．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出切点，根据切线与直线垂直，得到切线的斜率，再根据导数的几何意义列出方程，即可求出切点坐标，再由点斜式求出切线方程． 【详解】解：设切点为，， 切线与直线垂直， 切线的斜率为， 又，所以，，解得， ，即切点， 由点斜式可得，切线方程为：，即． 故选：． 6．曲线上存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，得到，设切线斜率分别为，得到，根据垂直关系得到，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】， 因为，所以， 设在点A，B处的切线斜率分别为， 则， 又，故，， 解得. 故选：A 7．若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据已知有，即可求参数范围. 【详解】由，曲线上存在两条切线相互垂直， 所以，只需且，即， 所以，即. 故选：A 二、多选题 8．已知函数，若在和处切线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据，即可判断选项；再结合均值不等式即可判断其它选项. 【详解】由题意知，因为在和处切线平行， 所以，即，化简得，A正确； 由基本不等式及，可得，即，B错误；，C错误； ，D正确． 故选：AD 【点睛】本题考查利用导数的几何意义处理切线平行的问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题. 9．已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由因式分解即可判断CD；利用基本不等式可判断AB. 【详解】因为，所以， 又在两点处的切线相互平行，所以， 整理得，因为，所以，C对D错； 又，且，所以，A错B对. 故选：BC 10．若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知，选项A、选项B，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C，可将带入求解出的中进行求解判断，选项D，根据求解出的结合直线方程的斜率，利用在处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出的值. 【详解】选项A，已知曲线，所以，故该选项错误； 选项B，已知曲线，所以，故该选项正确； 选项C，因为，所以，故该选项正确； 选项D，直线的斜率为，而，由已知，曲线在处的切线与直线互相垂直，所以，所以，该选项正确； 故选：BCD. 三、填空题 11．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】 【分析】由，求导，再根据点处的切线与直线平行，有求解. 【详解】因为， 所以， 因为点处的切线与直线平行， 所以， 解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12．已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为 . 【答案】 【分析】先求在处导数，即得切线的斜率，然后领其等于即可得值. 【详解】由得，所以切线的斜率为， 所以，解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，涉及两直线平行斜率相等，属于基础题. 13．已知函数的图像在和处的切线相互垂直，则 【答案】-1 【分析】由分别求出与，利用两直线垂直斜率之积为-1，解方程即可求解a. 【详解】因为，所以， 由题意有 ，所以. 故答案为：-1 【点睛】本题考查由导数的几何意义求解参数，两直线垂直的位置关系，属于基础题. 14．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数 . 【答案】 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由可得， 则线在点处的切线的斜率为：， 故. 故答案为： 四、解答题 15．已知函数，. (1)求曲线在点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求解； （2）结合（1）的结论，根据曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，可得切线斜率相等，根据导数的几何意义列式求解，即得答案. 【详解】（1）由得， 则在点处的切线斜率， 故切线方程为， 从而切线方程为. （2）由（1）可得曲线在点的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 16．设函数 (1)若对均有求实数的取值范围； (2)求证：对任意实数函数的图象总存在两条切线相互平行. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，满足题意；当时，问题转化为，令，利用导数求出最小值即可； （2）设两条切线与的切点分别为，，利用导数求两条切线的方程，求出两切线平行的条件即可. 【详解】（1）对，恒成立， 当时，显然成立； 当时，， 令，，则有， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ，，， ，即的取值范围为． （2）函数，， 设两条切线与的切点分别为，，， 切线斜率， 在处的切线方程为， 同理在处的切线方程为， 若在两点处的切线相互平行，则， 解得， 所以当且，即且时， 在两点处的切线相互平行， 所以对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行． 题型9 公切线问题 一、单选题 1．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解 【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得． 故选：B 2．已知函数与的图象在处的切线重合，则（    ） A． B．e C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，分别求出两个切线方程，再根据切线方程重合列方程，即可求解. 【详解】对求导可得， 所以在处的切线斜率，又, 所以切线方程为，整理得， 对求导可得， 所以在处的切线斜率，又, 所以切线方程为，整理得， 所以，即，所以. 故选：A 3．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 4．函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导函数几何意义和直线垂直的条件得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项. 【详解】函数 ，则， 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线， 不妨设在和处的切线互相垂直，则， 即， 则， 所以，， 又，所以或， 所以方程变为，即. 故选：B 二、多选题 5．（多选）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与同时相切，则b的取值可以为（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】ABC 【分析】设两切线的切点横坐标分别为，利用导数的几何意义得到，求出两切点坐标，写出切线方程，由题意可得，借助于二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】由题知，设斜率为1的切线在曲线上的切点横坐标分别为， 由题知，解得，则切点分别为和， 则两点处的切线方程分别为和， 依题意，可得，则． 故的取值范围是. 故选：ABC. 6．（多选题）若，是函数图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（   ）． A． B． C．的最小值为e D．的最大值为e 【答案】BCD 【分析】由题意，可知在点和点处的切线的斜率之积为，根据两点在函数的图象的三种不同位置进行讨论，确定，且，然后根据各选项的要求，利用求导判断函数的单调性和极值情况即可逐一判断. 【详解】由题， 因为在点和点处的切线互相垂直，由导数的几何意义可知，在点和点处的切线的斜率之积为． ①当时，满足，即，因为，所以方程无解， 即不存在，使得在点和点处的切线互相垂直； ②当时，满足，即； ③当时，满足，即，此方程无解，所以不成立． 综上可知，当时，，因为，则，所以，故A错误，B正确． 对于C，可知，令，则， 当时，，在上单调递减． 故在处取得极小值，即最小值为，故C正确． 对于D，可知，令，则， 则在上单调递增．故当时，最大值为，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题 7．若存在过点的直线与曲线和都相切，则 . 【答案】 或/或 【分析】设为曲线上任意一点，由导数的几何意思得出切线方程，根据切线过点，求出，得出切线的方程，再与联立，由可得答案. 【详解】由，得 ，设为曲线上任意一点 则曲线在点处的切线的斜率为 所以曲线在点处的切线方程为 将点代入切线方程得到，解得或 当时，切线方程为，则 所以，解得 当 时，切线方程为 ，由 即，所以，解得 故答案为： 或 8．已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 【答案】1 【分析】首先根据导数的几何意义求出直线与曲线的交点（切点），然后根据切点在直线上求出，最后求出直线与的交点（切点）即可求出. 【详解】设直线在处的切点坐标为， 在处的切点坐标为，，， 因为直线是曲线和的公切线，所以， 解得，则， 把代入直线中可得，又，解得， 把代入直线中可得， 再把代入中可得，即，所以. 故答案为：1 9．若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为，即； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：． 四、解答题 10．若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”.设. (1)判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若时，函数的最大值为0，求的取值范围； (3)当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程. 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2)； (3)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，利用“自公切线”的定义判断即可. （2）求出函数的导数，再按分类并结合单调性确定最大值求得答案. （3）把代入，设出三个切点坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程，由斜率、纵截距列出方程组求解即可. 【详解】（1）不存在，理由如下， 令函数， 求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，不存在且，使得， 所以函数不存在“自公切线”. （2）函数，，求导得， 而， 当时，，不符合题意，则， 当时，，函数在上递减，则， 当时，， 函数的图象连续不断，则使得当时，， 函数在上递增，当时，，不符合题意， 所以的取值范围为. （3）函数，求导得， 设，曲线在点处的切线方程为，， 直线的方程为，即， 由直线重合，得①， 且②， 即，则，，， （ⅰ）当， ， 时，，由②得，不符合题意； （ⅱ）当，，中至少有一个成立时， 不妨设，代入②得，而，则， 则，即，此时， 由，得， 直线重合，方程为， 当且时，取，有无穷多个切点，对应切线为； 同理当且时，得切线， 所以函数存在至少三个切点的自公切线，且切线方程为. 11．若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”． (1)已知，求函数的零点； (2)求函数与函数的“合一切线”方程； (3)已知，若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，b的值． 【答案】(1)0； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求定义域，二次求导，得到函数单调性，进而得到函数最小值为，故有且只有1个零点，零点为0； （2）在（1）基础上得到公共点为，利用导数的几何意义得到“合一切线”方程为； （3）设与的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，所以，不妨设，则，由“合一切线”的定义得到方程组，求出，，，通过检验，满足要求. 【详解】（1）中，令，解得， 故定义域为， ，令，则恒成立， 故函数，即在上单调递增， 又，故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，又， 故有且只有1个零点，零点为0； （2）由（1）知，函数与函数的公共点仅有1个， 即横坐标为0，则，故公共点为， ，故在处的切线斜率为， 切线方程为，即， ，故在处的切线斜率为， 切线方程为，即， 综上，与函数的“合一切线”方程为； （3）， 设函数与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则， 因为，所以， 所以， 不妨设，则， 因为， 由“合一切线”的定义可知，， 又，故，， 故，， 由“合一切线”的定义可知，， 又，，，代入上式，可得， 当，，时，此时， 而，故为偶函数，而也为偶函数， 故， 综上，，. 题型10 与切线有关的最值（取值范围）问题 一、单选题 1．已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义，由切线重合得导数值相等解得，再由点为交点，则坐标满足两曲线方程，由此建立等量关系，再利用导数研究函数的值域即可. 【详解】设点的横坐标为，则由可得， 又可得， 且两条曲线在点处的切线重合， 所以切线的斜率，解得或（舍去）， 即点的横坐标为， 由点为曲线与曲线的交点， 所以，即， 令， 则， 令可得， 由知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当， 则实数的取值范围为. 故选：C. 2．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知，因为切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线斜率都是， 即关于的方程有两个不相等的正实数根， 化简得，有两个不相等的正实数根， 则，解得. 故选：A. 3．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx+4ax与g（x）＝x2﹣b在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公共点为（x，y），然后根据公共点处函数值相等、导数值相等，列出关于公共点满足的方程组，将x消去，得到关于b，a的等量关系式，整理成b＝h（a）的形式，求函数的最值即可. 【详解】设公共点为（x，y），（x＞0），且. 所以（a＞0），由②得x2﹣2ax﹣3a2＝0， 解得x＝3a或﹣a（舍）. 将x＝3a代入①式整理得：b＝﹣3a2﹣6a2ln（3a），（a＞0）， 令h（a）＝﹣3a2﹣6a2ln（3a），（a＞0）， ∴12a[ln（3a）+1]， 令＝0得，，且时，＜0. 故h（a）在（0，）上递增，在（）上递减. 故h（a）max＝h（）. 故b的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值问题，还考查了函数与方程思想和化简运算能力，属于中档题. 4．若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】法一：设公切线与，图象分别切于点，写出图象在A处的切线方程和图象在B处的切线方程，由两直线重合，消去得到，令，再由求解.方法二： 由，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线，转化为在上恒成立求解. 【详解】法一：设公切线与，图象分别切于点， 则图象在A处的切线方程为：， 即， 同理：图象在B处的切线方程为：， 即， 由上述两直线重合，消元可得，， 令， 则，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 则，解得， 方法二：在同一坐标系中作出，的图象如图所示：    由图象知：，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线， 只须在上恒成立即可， 即在上恒成立 令，求导得， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值为， 所以 故选：A 【点睛】方法点睛：求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 5．已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论． 【详解】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x， 所以f′(x)＝2x＋2， 所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)， 因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直， 所以f′(x1)f′(x2)＝－1． 所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1， 所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0， 所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1， 即x1＝－，x2＝－时等号成立． 所以x2－x1的最小值为1． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将问题转化为曲线在处的切线垂直于，求出点坐标，进而求出. 【详解】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值， 设，求导得，则， 整理得，而函数在上单调递增， 又，因此，点，所以. 故选：D 7．已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． 二、填空题 8．已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】设切点分别是，得到，化简可得a，转化为是方程的解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】设，的公切线的斜率为， 直线与，图象的切点分别是， 若不存在，则不是图象的切线，所以存在， 则，可得，所以， 根据题意，此关于的方程有解； 令，则有零点， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以有零点当且仅当， 解得，即所求a的取值范围是. 故答案为：. 9．已知实数，满足，，则的最小值为 【答案】 【分析】将问题转化为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方，利用导数求切点，由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：所求表达式的几何意义为点与点之间距离的平方. 由可知点在曲线上；点的坐标满足，故该点在直线上 因此求的最小值， 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方. 设直线与曲线相切于点， ，则，解得（负根已舍去）， 切点为，点到直线的距离， 则的最小值为. 故答案为： 三、解答题 10．已知函数，点、为函数图像上两点，且过A、B两点的切线互相垂直，若，求的最小值． 【答案】1 【分析】根据导数定义求，再结合导数的几何意义和直线垂直，整理可得，再运用基本不等式求解. 【详解】 ∵，过A，B两点的切线互相垂直，∴， ∴，，∴， 当且仅当，即，时等号成立， ∴的最小值为1． 11．若点是函数图象上的动点（其中是自然对数的底数），求到直线的距离最小值. 【答案】 【分析】根据题意可知，当点处切线方程与直线平行时，距离最小，利用导数的几何意义可得点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】解：设，， 设与平行且与相切的直线与切于， 所以． 所以， 则到直线的距离为， 即到直线的距离最小值为. 12．已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)已知，若在区间内的图象上存在两点，使得在这两点处的切线相互垂直，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），由单调性和定义域可得答案； （2），然后存在，使得，然后可得答案. 【详解】（1），因为在上单调递增，所以. 又因为在上恒成立，所以，解得. 所以的取值范围为. （2） 由题可知，存在，使得， 所以，即， 则. 因为，所以，则的取值范围为. 题型11 与切线有关的综合问题 一、单选题 1．曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求曲线的切线方程，再求两平行线间距离. 【详解】 如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为， ，所以斜率， 解得，故切点为， 切线方程为，即， 两直线间距离为， 故选：B. 2．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出切线的斜率，利用两直线垂直列等式可求得实数的值. 【详解】对于函数，， 所以，曲线在点处的切线的斜率为， 直线的斜率为，由题意可得，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线垂直求参数值，考查了导数的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．已知函数，则的图象在，两点处的切线的位置关系为（    ）． A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求出两切线的斜率，然后判断两直线的位置关系. 【详解】解：由题意知， 当≤0时， ，则， 所以， 当时，，则， 所以 ， 所以， 所以两直线相交且垂直 故选：B 【点睛】此题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，属于基础题. 4．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围． 【详解】在点的切线斜率为， 在点的切线斜率为， 如果两个曲线存在公共切线，那么：． 又由斜率公式得到，， 由此得到， 则有解， 由，的图象有公共点即可． 当直线与曲线相切时，设切点为，则 ，且，可得 即有切点，，故的取值范围是：． 故选:. 【点睛】本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题． 5．设.当时，恒有，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先对不等式合理变形，结合导数求出在处等号成立，进而求出的取值，最后得到即可. 【详解】因为， 所以， 则恒成立， 即，恒成立， 可得恒成立，且， 令， 而，， 令，则， 可得在上单调递增， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故，即在处等号成立， 得到是和的公切线， 而，， 则，， 得到，故A正确. 故选：A 6．两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的对称性可分析出倾斜角更大的直线的斜率是，设出该公切线在，的切点，根据导数的几何意义，用两种方式表达出切线方程，然后根据两个方程的截距相等列出等式，进而求解. 【详解】 由题易知，曲线与曲线关于直线对称， 由两条切线的夹角是，根据对称性知曲线的切线的倾斜角为， 即切线的斜率为. 设直线与曲线的切点坐标为， ，所以， 直线的方程为，即， 设直线和的切点坐标是， ，所以， 直线的方程为，即， 于是， 即，即 由，两边取对数可得， 由，得到，两边取对数得， 分别把上述条件代回原等式，得到， 即， 整理可得. 故选：C 二、填空题 7．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 . 【答案】2 【分析】分别求得函数和在点和点处的切线方程，由条件可得的关系，化简可得结论. 【详解】因为， 所以， 则在点处的切线方程为：，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，则 ，解得， 又，所以， 所以， 故答案为：. 8．已知直线l与曲线（e为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线与两曲线的切点分别为，，由题意结合导数的几何意义可得直线的方程可表示为和，进而可得，即可得解. 【详解】对求导得，对求导得， 设直线与两曲线的切点分别为，， 则切线的方程可表示为； 切线的方程也可表示为， 所以， 消去整理得即， 令， 易知函数在上单调递减，且， 所以的解为， 所以直线l的斜率． 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的运算，考查了运算能力，属于中档题. 三、解答题 9．已知函数和，其中m，n为常数且.若存在斜率为1的直线与曲线，同时相切. (1)若曲线在点处的切线斜率为1，求； (2)求的取值范围. 【答案】(1)0； (2) 【分析】（1）求出的导函数，利用导函数的几何意义列出方程，求出； （2）求导，设出切点，根据几何意义得到，从而，化简后切点坐标为，结合第一问求出切线方程，将代入，得到，从而得到，，利用基本不等式求出最值，确定取值范围. 【详解】（1），则，解得：； （2），， 设在处的切线斜率为1， 则，从而， 故切点为 由（1）可知：在处的切线斜率为1， 故切线方程为， 因为斜率为1的直线与曲线，同时相切， 所以在切线方程上， 故，所以， 由题干条件可知， 所以， 当且仅当，即处等号成立， 故的取值范围为. 【点睛】对于函数的公切线问题，通常要分别设出两个函数的切点坐标，根据导函数的几何意义，及切点在相应的函数图象上，建立方程组，再消元后得到关系式，再根据题干中其他条件进行求解即可. 10．已知函数． (1)当a＝1时，求曲线在x＝2处的切线方程； (2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入a＝1求导，再利用导数解决函数的切线问题即可. （2）先由得到，再利用基本不等式中“1”的妙用得到，再用导数求得的最值即可得到结果. 【详解】（1）当a＝1时，，， 因为，所以， 即， 所以曲线在x＝2处的切线方程为， 即； （2）由题意知，， 即， 整理得，因为，所以， 所以， 令，则，因为，， 所以在上单调递增，即， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 11．已知函数，曲线在点处的切线平行于直线. （1）求函数的单调区间； （2）设直线为函数的图象在点处的切线，问：在区间上是否存在，使得直线与曲线也相切？若存在，求出满足条件的的个数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）的单调递增区间为和，无单调递减区间；（2）存在，一个 【分析】（1）转化为，可得，代入导函数，分析正负即可； （2）设直线与曲线相切于点，由斜率、截距分别相等，可得，构造，求导分析单调性，即可得有唯一零点. 【详解】（1）∵函数（且）， ∴. ∵曲线在点处的切线平行于直线， ∴，∴， ∴. ∵且，∴， ∴函数的单调递增区间为和，无单调递减区间. （2）在区间上存在唯一个满足条件的. ∵，∴， ∴切线的方程为， 即.① 设直线与曲线相切于点. ∵，∴，∴， ∴直线的方程也可以写成， 即.② 由①②得，∴. 下面证在区间上存在唯一一个满足条件的. 由（1）可知，在区间上单调递增， 又，， 结合零点存在定理，知方程在区间上有唯一的实数根，满足条件的只有一个. $