4.2 .1 提公因式法 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第1课时 公因式 4.2 提公因式法 第四章 因式分解 八下数学 BSD 1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题. 2. 能简单运用提公因式法进行因式分解. 学习目标 问题 多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？ 有相同的因式b. 多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？ 多项式3x2+x的各项都含有相同的因式x； 多项式mb2+nb-b的各项都含有相同的因式b. 课堂导入 知识点1 公因式 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式. 如b就是多项式ab+bc各项的公因式. 新知探究 知识点1 公因式 确定公因式的一般步骤(这里一般是指最大公因式)： 一定“系数”：当多项式各项系数都为整数时，取它们的最大公因数. 二定“字母”：取各项的相同字母. 三定“指数”：取各项相同字母的最低指数. 新知探究 知识点1 公因式 思考 (1) 多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？ 多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2. 新知探究 知识点1 公因式 多项式中各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积. 新知探究 知识点1 公因式 例1 多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是(　　) A. abc 　　　　　 B. 3a2b2 　　　　　 C. 3a2b2c 　　　　　 D. 3ab D 新知探究 知识点2 提公因式法 思考 (2) 你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？ 2x2+6x3=2x2·1+2x2·3x =2x2(1+3x). 新知探究 知识点2 提公因式法 ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法. 新知探究 用提公因式法因式分解的步骤： (1) 确定公因式. (2) 提出公因式. (3) 确定另一个因式. (4) 写成乘积的形式. 知识点2 提公因式法 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc = 4ab2(2a2+3bc). 新知探究 知识点2 提公因式法 例2 把下列各式因式分解： (1) 2mn+4m2； (2) 7p2-21p； 解：(1) 2mn+4m2 =2m·n+2m·2m =2m(n+2m)； (2) 7p2-21p =7p·p-7p·3 =7p(p-3)； 新知探究 知识点2 提公因式法 例2 把下列各式因式分解： (3) 8a3b2-12ab3c+ab； (4)-24x3+12x2-28x. (3) 8a3b2 -12ab3c+ab = ab·8a2b- ab·12b2c+ab·1 = ab(8a2b-12b2c+1); 当多项式中的某项和公因式相同或互为相反数时，提取公因式后，该项保留的因式是1或-1. 新知探究 知识点2 提公因式法 例2 把下列各式因式分解： (3) 8a3b2-12ab3c+ab； (4)-24x3+12x2-28x. (4) -24x3+12x2-28x = -(24x3-12x2+28x) = -(4x·6x2-4x·3x+4x·7) = -4x(6x2-3x+7). 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号. 新知探究 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系? 单项式乘多项式是乘法分配律的运用，提公因式法因式分解是乘法分配律的逆用. 知识点2 提公因式法 新知探究 知识点2 提公因式法 分解因式要注意： 1. 分解因式是一种恒等变形； 2. 公因式要提尽； 3. 不要漏项； 4. 提负号，要注意变号. 新知探究 知识点2 提公因式法 跟踪训练 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵ a＋b＝7，ab＝4， ∴ 原式＝ab(a＋b) ＝4×7 ＝28. 含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入求解即可. 新知探究 1. 多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是(　　) A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1 D 随堂练习 18 2. 多项式x2m-xm提取公因式xm后，另一个因式是(　　) A. x2-1 B. xm-1 C. xm D. x2m-1 B 随堂练习 19 3. 把下列各式因式分解： (1) ma+mb； (2) 5y3+20y2； (3) 6x-9xy； (4) a2b-5ab； 解：(1) ma+mb=m(a+b)； (2) 5y3+20y2=5y2(y+4)； (3) 6x-9xy=3x(2-3y)； (4) a2b-5ab=ab(a-5). 随堂练习 20 3. 把下列各式因式分解： (5) 4m3-6m2； (6) a2b-5ab+9b； (7) -a2+ab-ac ； (8) -2x3+4x2-6x. 解：(5) 4m3-6m2=2m2(2m-3)； (6) a2b-5ab+9b=b(a2-5a+9)； (7) -a2+ab-ac=-a(a-b+c)； (8) -2x3+4x2-6x=-2x(x2-2x+3). 随堂练习 21 4. 已知2x-y=，xy=2，求2x4y3-x3y4的值. 解：2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y) =(xy)3(2x-y). 当2x-y=，xy=2时， 原式=23×=1. 随堂练习 22 5. 计算：(-2)21+(-2)20+6×219. 解：(-2)21+(-2)20+6×219 = (-2)21+(-2)20+3×220 = -221+220+3×220 = 220(-2+1+3) = 221. 随堂练习 23 步骤：第一步找公因式；第二步提公因式. 确定公因式的方法： 三定，即定系数；定字母；定指数. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法. 公因式 提公因式法因式分解 提公因式法 我们把多项式各项都含有的相同因式， 叫作这个多项式各项的公因式. 课堂小结 $