（暑假作业）基础与拔高专题：因式分解-2025-2026学年北师大版 数学八年级下册

**基本信息** 以基础巩固与拔高达成为主线，系统整合因式分解方法体系，构建从概念辨析到综合应用的逻辑链条，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础闯关|17题（含选择、填空、解答）|提公因式法、平方差公式、完全平方公式、配方法、分组分解法|从因式分解概念（第3题）到基本方法（第2、5题），再到简单应用（第11题三角形形状判断、第12题几何面积），形成“概念-方法-初步应用”递进| |拔尖闯关|3题（阅读理解型解答）|配方法构造完全平方式、新定义运算转化、立方差公式推导|通过“聪慧数”（第16题）、最值问题（第18题）、几何综合（第20题）实现方法迁移，深化“代数变形-逻辑推理-跨学科应用”的高阶思维|

（暑假作业）基础与拔高专题：因式分解-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 01 基础闯关 1．下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 2．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 5．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知，满足，，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 8．已知式子，，，，，分别对应下列六个字：爆、学、数、美、了、夯．现将因式分解，结果呈现的信息可能是（     ） A．数学美 B．夯爆了 C．数学夯爆 D．美学夯爆 9．分解因式：_____． 10．已知，，则_____． 11．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 12．如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是______． 13．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 14．定义运算“★”：对于任意实数，，都有．若，则的值为____________． 15．分解因式： (1) (2) 16．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为聪慧数．例如：，，，8，16，24都是聪慧数． (1)写出一个除8，16，24外的聪慧数：____________； (2)证明：任意一个聪慧数都能被8整除． 17．小辰对多项式进行因式分解，采用的方法如下：．根据以上方法，解答下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知是的三边长，且满足，试说明是等腰三角形． 02 拔尖闯关 18．【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最大值． 19．【先导问题】 我们已经学习过完全平方公式：，通过将代数式凑成完全平方式，再利用“平方数是非负数”的性质，就能巧妙解决很多问题． 例1因式分解：． 原式． 例2已知，其中，为任意实数，求的最值． ， ， ∴当时，有最小值1． 【提炼模型】 通过先加上然后再减去一次项系数一半的平方，将代数式凑成完全平方式，这种解题方法称为配方法．在此基础上再利用平方数的非负性，实现因式分解、求代数式最值或根据多个非负数的和为0求解未知数． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： 【识别、应用模型】 (1)因式分解：________； (2)若，其中为任意实数，求的最值； 【总结提升】 (3)已知、、是的三边长，且，求的周长． 20．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假作业）基础与拔高专题：因式分解-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A A A B C 1．C 【分析】本题运用平方差公式对进行因式分解，得到原式的因数，即可判断出不能整除它的数． 【详解】解：由平方差公式， 含有因数3，5，17，不含因数7， 不能被7整除． 2．C 【详解】解：将多项式分解因式时，应提取的公因式是． 3．D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求左边是多项式，右边为几个整式的积的形式， A选项的变形是整式乘法，右边不是整式积的形式，不符合要求； B选项左边是单项式，不是多项式，不符合要求； C选项右边是和的形式，不是整式积的形式，不符合要求； D选项，左边是多项式，右边是整式的积，且变形是恒等变形，符合因式分解的定义． 4．A 【分析】先展开分解后的因式乘积，根据多项式相等时对应项系数相等，列等式求解即可得到和的值． 【详解】解：∵，多项式可以分解为， ∴， ∴ ， 解得． 5．A 【详解】解：A、，正确； B、 ，故B错误； C、 ，故C错误； D、，故D错误． 6．A 【详解】解：∵，， ∴． 7．B 【分析】根据和满足的等式，通过作差因式分解得到的值，再通过代数式变形代入已知条件即可求出，用到初中因式分解和代数式变形知识． 【详解】解：∵，， 两式作差得：， 对左边因式分解得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴，即， 则， ∵， ∴． 8．C 【分析】先对原式因式分解，再将分解得到的因式对应题目给出的汉字，即可得到结果，解题用到提公因式法和平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 根据题意，对应关系为：对应数，对应学，对应夯，对应爆， ∴结果呈现的信息可能是数学夯爆． 9．/ 【详解】解： ． 10． 【分析】将多项式进行因式分解后，利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 11．等腰三角形或直角三角形/直角三角形或等腰三角形 【分析】对已知等式移项分组后进行因式分解，得到，根据多个因式乘积为零则至少一个因式为零，可得或，结合三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 或 ∴或 又∵a，b，c是的三条边， 是等腰三角形或直角三角形． 12． 【分析】根据题意画出图形，然后通过面积的两种求法即可求解． 【详解】解：如图， 大长方形的面积可以表示为一个正方形和五个长方形的面积之和：， 还可以表示为：长宽， ∴可得到因式分解的式子为． 13． 3 3 【分析】本题利用配方法将二次多项式变形为完全平方式与常数的和，再根据平方的非负性求解代数式的最小值及对应的值． 【详解】解：对代数式进行配方，得． ， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 14． 【分析】先根据算术平方根与完全平方式的非负性求出x，y的值，再结合题目给出的新定义运算代入计算即可． 【详解】解：对因式分解得， 二次根式和完全平方式都具有非负性， ， 解得：，， 由新定义运算得： ． 15．(1) (2) 【分析】（1）将原式变形后提取公因式即可完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．(1)32（答案不唯一） (2)证明：设连续的两个奇数中，较小的数为，则较大的数为，n为正整数，               任意聪慧数都能被8整除． 【分析】（1）根据新定义，写出一个聪慧数，即可求解． （2）设连续的两个奇数中，较小的数为，则较大的数为，n为正整数，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：32（答案不唯一） （2）略 17．(1) (2)∵， ∴， ∴， ∵是的三边长， ∴，即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）利用分组分解法求解即可； （2）利用分组分解法得到，根据三角形关系得到，求得，据此即可得到是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解：略 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法进行因式分解即可； （2）根据题中所给方法求解最大值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴， ∴当时，的最大值为． 19．(1) (2)有最小值 (3)的周长为 【分析】（1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解a，b，c，最后计算三角形周长即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∴当时，有最小值． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴、、满足三角形的三边关系， ∴的周长为． 20．(1) (2) (3)①11；② 【分析】（1）推导立方差公式 将转化为，代入两数和的立方公式，替换b为，得到； （2）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （3）①设直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出． ②因式分解并求值：将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：∵， 将转化为，代入和的立方公式得： ． （2）解： ． （3）解：①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，则大正方形的边长为，面积；小正方形MNPQ的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴即． ② ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $