第8章 成对数据的统计分析 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦变量的相关分析，涵盖相关系数计算、回归分析及独立性检验，通过采矿厂污水排放、远洋运输营业额等现实案例导入，搭建从具体问题到理论方法的学习支架，衔接知识体系与实际应用。 其亮点在于以情境化案例驱动教学，如用残差图比较回归模型、卡方检验分析购车意愿，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理问题、用数学语言表达数据的核心素养。学生能在解决实际问题中深化理解，教师可依托完整例题与训练提升教学效率。

章末复习与总结 数学·必修第一册 一、回归分析 　　回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用 方法.其基本步骤为通过散点图和经验选择经验回归方程的类型：对 于线性回归分析，直接根据最小二乘法求出经验回归方程；而非线性 回归分析，则要通过换元，或取对数等代数变换转化为线性回归分析 模型，最后应用于实际或对预报变量进行预测. 数学·必修第一册 【例1】　如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产 量x（单位：吨）的折线图： （1）依据折线图计算样本相关系数r（精确到 0.01），并据此判断是否可用线性回归模 型拟合y与x的关系？（若｜r｜＞0.75，则 线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） 数学·必修第一册 解： 由折线图，得 ＝ ＝5， ＝ ＝4， （xi－ ）（yi－ ）＝3＋0＋0＋0＋3＝6， ＝9＋1＋0＋1＋9＝20， ＝1＋0＋0＋0＋1＝2， 所以样本相关系数r＝ ＝ ≈0.95， 因为｜r｜＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系. 数学·必修第一册 （2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的经验回 归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量. 相关公式r＝ ， 经验回归方程 ＝ x＋ 中， ＝ ， ＝ － . 参考数据： ≈0.55， ≈0.95. 数学·必修第一册 解： ＝ ＝ ＝0.3， ＝ － ＝4－0.3×5＝2.5，所以经验回归方程为 ＝0.3x＋2.5，当x＝10时， ＝5.5，所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨. 数学·必修第一册 反思感悟 解决回归分析问题的一般步骤 （1）画散点图：根据已知数据画出散点图； （2）判断变量的相关性并求经验回归方程：通过观察散点图，直观 感知两个变量是否具有相关关系.在此基础上，利用最小二乘法 求 ， ，然后写出经验回归方程； （3）回归分析：画残差图或计算R2，进行残差分析； （4）实际应用：依据求得的经验回归方程解决实际问题. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 近年来我国外贸企业一手抓质量，一手抓生产，产销形势喜人.自 2023年6月以来，我国外贸进出口连续实现正增长，出口国际市场占 世界的份额不断攀升，外贸发展韧性强劲.某个远洋运输公司出口营 业额增长数据表如下： 月份 2023年6月 2023年7月 2023年8月 2023年9月 月份代码x 1 2 3 4 新增出口营 业额y亿元 2.4 2.8 3.6 5.1 月份代码x 5 6 7 8 新增出口营 业额y亿元 7.1 9.1 11.7 14.2 数学·必修第一册 某位同学分别用两种模型：① ＝ x2＋ ，② ＝ x＋ 进行拟合， 得到相应的经验回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等 于yi－ ）： 数学·必修第一册 这位同学在进行拟合时，对数据作了初步处理，得到一些统计量 的值： （xi－ ）（yi－ ）＝72.8， （xi－ ）2＝42， （ti－ ） （yi－ ）＝686.8， （ti－ ）2＝3 570.其中ti＝ ， ＝ ti. 数学·必修第一册 （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模 型？并简要说明理由； 解： 选择模型①. 理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相 对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合 效果相对较好. 数学·必修第一册 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方 程，并预测该远洋运输公司2024年3月新增出口营业额.（精确 到0.01） 附：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（un，υn）， 经验回归直线 ＝ ＋ u的斜率和截距的最小二乘估计公式分 别为 ＝ ， ＝ － . 数学·必修第一册 解： 由（1），可知y关于x的经验回归方程为 ＝ x2＋ ，令t＝x2，则 ＝ t＋ . 由所给数据可得 ＝ ti＝ ×（1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋ 64）＝25.5. ＝ yi＝ ×（2.4＋2.8＋3.6＋5.1＋7.1＋9.1＋11.7＋ 14.2）＝7. 数学·必修第一册 所以 ＝ ＝ ≈0.19. ＝ － ≈7－0.19×25.5≈2.16. 所以y关于x的经验回归方程为 ＝0.19x2＋2.16. 预测该远洋运输公司2024年3月新增出口营业额为 ＝0.19×102 ＋2.16＝21.16（亿元）. 数学·必修第一册 二、独立性检验 　　独立性检验研究的主要问题是讨论两个分类变量之间关联性问 题.为此需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变 量是否有关系.另外等高堆积条形图能更直观地反映两个分类变量之 间的情况.独立性检验的思想是先假设二者无关系，求随机变量χ2的 值，若χ2大于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设. 数学·必修第一册 【例2】　2023年12月28日，小米汽车举行了技术发布会，首款产品 SU7揭开神秘面纱，引起了广大车迷爱好者的热议，为了了解车迷们 对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性，某车迷协会随机抽取 了200名车迷朋友进行调查，所得数据统计如下表所示： 性别 购车意愿 合计 愿意购置该款汽车 不愿购置该款汽车 男性 100 20 120 女性 50 30 80 合计 150 50 200 请根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析车迷们对该款汽车的 购买意愿与性别是否有关. 数学·必修第一册 参考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 数学·必修第一册 解：零假设为H0：车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关. 根据表中数据可得χ2＝ ＝ ≈11.111＞10.828 ＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关. 数学·必修第一册 反思感悟 解独立性检验应用问题的关注点 （1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题； （2）两个准确：①准确列出2×2列联表；②准确理解χ2. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 某机构为了了解患色盲是否与性别有关，随机抽取了1 000名成年人进 行调查，在调查的480名男性中有38名患色盲，520名女性中有6名患 色盲，分别利用图形和独立性检验（α＝0.001）的方法来判断患色 盲与性别是否有关. 解：根据题目所给的数据作出如下的列联表： 性别 色盲 合计 患色盲 未患色盲 男 38 442 480 女 6 514 520 合计 44 956 1 000 数学·必修第一册 根据列联表作出相应的等高堆积 条形图，如图所示. 图中两个深色条的高分别表示男 性和女性中患色盲的频率，从图 中可以看出，男性中患色盲的频 率明显高于女性中患色盲的频率，因此我们可认为患色盲与性别有关. 零假设为H0：患色盲与性别无关.根据列联表中所给的数据，得χ2＝ ≈27.139＞10.828＝x0.001，根据小概率值 α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为患色盲与性别有 关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 数学·必修第一册 $