章末检测（8） 成对数据的统计分析-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“成对数据的统计分析”，涵盖相关关系判断、散点图拟合、独立性检验及经验回归方程等核心内容，通过从基础统计知识过渡到成对数据建模，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于以现实情境问题（如电视栏目改革效果分析、温差与感冒人数关系）为载体，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理分析的能力，通过残差计算、卡方检验等强化数据观念与模型意识，助力学生提升数据分析素养，也为教师提供系统的检测与教学资源。

章末检测（八）　 成对数据的统计分析 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列两个变量之间的关系是相关关系的为（　　） A. 正方形的面积与边长的关系 B. 学生的成绩和体重 C. 路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少 D. 水的体积和重量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　A中，由正方形的边长和面积的公式知，S＝a2（a＞ 0）是确定的函数关系，故A错误；B中，学生的成绩和体重， 没有关系，故B错误；C中，路上酒后驾驶的人数会影响交通事 故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关性，故C正 确；D中，水的体积V和重量x的关系为V＝k·x，是确定的函数 关系，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 2. 已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln （k1x）与y ＝kx2＋b2拟合时的相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结 果为（　　） A. r1＞r2 B. r1＝r2 C. r1＜r2 D. 不确定 解析： 　由散点图可知，用y＝b1ln（k1x） 拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故｜r1｜＞｜r2｜；又因为此关系为负相关，所以－r1＞－r2，r1＜r2，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 3. 为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民 点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分 析，下列说法正确的是（　　） A. 有99%的人认为该电视栏目优秀 B. 有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该电视栏目是否优秀与 改革有关系 D. 没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　只有χ2≥6.635＝x0.01时才能在犯错误的概率不超过1% 的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使 χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论 断成立的可能性大小的推论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 4. 下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）的 数据： 身高x 169 172 166 177 161 体重y 75 80 70 85 65 若两个变量之间的经验回归方程为 ＝1.3x＋m，则m＝（　　） A. －140 B. 140 C. 144.7 D. －144.7 解析： 　因为 ＝ ＝169， ＝ ＝75，又经验回归方程为 ＝1.3x＋m，所以 ＝1.3 ＋m，即 75＝1.3×169＋m，所以m＝－144.7，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 5. 某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一 些中年人的情况，经计算得χ2＝ ≈15.968， 因为χ2＞10.828，则断定中年人秃发与心脏病有关系.那么这种判 断出错的可能性为（　　） A. 0.01 B. 0.05 C. 0.025 D. 0.001 解析： 　因为χ2＞10.828，所以有99.9%的把握认为中年人秃发 与患心脏病有关，故这种判断出错的可能性为1－0.999＝0.001. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 6. 用模型y＝aekx拟合一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7）， 其中x1＋x2＋…＋x7＝14，设z＝ln y，得变换后的经验回归方程为 ＝x＋1，则y1·y2·…·y7＝（　　） A. e35 B. e21 C. 35 D. 21 解析： 　由题意得 ＝ ＝2，故 ＝ ＋1＝3，即ln y1＋ln y2＋…＋ln y7＝3×7＝21，故ln（y1y2·…·y7）＝21，解得 y1·y2·…·y7＝e21.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 7. 某学校校医研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为（8，25）.由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用m，n代替，已知18≤m≤24，26≤n≤34，则下列结论正确的是（　　） x 5 6 8 9 12 y 17 m 25 n 35 A. 在m，n确定的条件下，去掉样本点（8，25），则样本的相关系数r增大 B. 在m，n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合经验回归方程 ＝2.6x＋ ，则 ＝4 C. 在m，n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合经验回归方程 ＝2.6x＋ ，则当x＝12时，残差为0.4 D. 事件“m＝20，n＝28”发生的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　对于A中，因为经验回归直线过数据的样本中心点（8， 25），所以在m，n确定的条件下去掉样本点（8，25），则样本 相关系数r不变，所以A错误；对于B中，由样本中心点为（8， 25），可得25＝2.6×8＋ ，解得 ＝4.2，所以B错误；对于C 中，由 ＝2.6x＋4.2，当x＝12，可得y＝35.4，则35－35.4＝－ 0.4，所以C错误；对于D中，由m＋n＝48，18≤m≤24， 26≤n≤34，则（m，n）的取值为（18，30），（19，29）， （20，28），（21，27），（22，26），所以m＝20，n＝28的概 率为 ，所以D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 8. 针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是 否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m （m∈N*）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的 ，女生中 喜欢短视频的人数占女生人数的 .零假设为H0：喜欢短视频和性 别相互独立.若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别 不独立，则m的最小值为（　　） 附：χ2＝ ， α 0.05 0.01 xα 3.841 6.635 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　根据题意，2×2列联表中，a＝4m，b＝m，c＝3m， d＝2m，于是χ2＝ ＝ ＝ ，由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独 立，根据表格可知 ≥3.841，解得m≥8.066 1，于是m最小值 为9.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 小明同学在做市场调查时得到如下样本数据： x 1 3 6 10 y 8 a 4 2 他由此得到经验回归方程为 ＝－2.1x＋15.5，则下列说法正确的 是（　　） A. 变量x与y线性负相关 B. 当x＝2时可以估计y＝11.3 C. a＝6 D. 变量x与y之间是函数关系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　由经验回归方程为 ＝－2.1x＋15.5，可知变量x与 y之间线性负相关，故A正确；当x＝2时，y＝－2.1×2＋15.5＝ 11.3，故B正确；∵ ＝5， ＝ ，∴样本点的中心坐标为 ，代入 ＝－2.1x＋15.5，得 ＝－2.1×5＋15.5，解得 a＝6，故C正确；变量x与y之间具有线性负相关关系，不是函数 关系，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 10. 给出以下四个说法，其中正确的说法是（　　） A. 残差分布的带状区域的宽度越窄，R2越小 B. 在刻画经验回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好 C. 在经验回归方程 ＝0.5x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y增加0.5个单位 D. 对分类变量X与Y，若它们的χ2越小，则推断X与Y有关联时犯错误的概率越小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　在回归分析时，残差图中残差分布的带状区域的 宽度越窄，说明拟合精度越高，R2的值越接近1，故A错误； 用R2来刻画回归的效果时，R2的值越大，说明模型的拟合效果 越好，故B正确；在经验回归方程 ＝0.5x＋12中，当解释变 量x每增加一个单位时，响应变量增加0.5个单位，故C正确； 对分类变量X与Y，它们的χ2越小，推断X与Y有关联时犯错误 的概率越大；χ2越大，推断X与Y有关联时犯错误的概率越小， 故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 11. 某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩与性别是否有关联，面向该校学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制等高堆积条形图（如图），则（　　） A. 参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B. 参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C. 若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩与性别有关联 D. 无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩与性别有关联 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　对于A，参与调查的男、女生人数相同，男生中喜欢 攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生 中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，故选项A正 确；对于B，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，所以不喜 欢攀岩的人数占70%，所以不喜欢攀岩的人数比喜欢攀岩的人数 多，故选项B不正确；对于C，若参与调查的男女生人数都为100 人，则可得2×2列联表为 性别 是否喜欢攀岩 合计 喜欢攀岩 不喜欢攀岩 男 80 20 100 女 30 70 100 合计 110 90 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 所以χ2＝ ≈50.505＞6.635，所以有99%的把 握认为喜欢攀岩与性别有关联，故选项C正确；对于D，如果不确 定参与调查的男女生人数，无法计算是否有99%的把握认为喜欢 攀岩与性别有关联，故选项D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 独立性检验中，零假设H0：变量X与变量Y没有关系.则在H0成立 的情况下，估算概率P（χ2≥6.635）≈0.01表示的意义是 ⁠ ⁠. 解析：基于小概率值α＝0.01的检验规则可知：当χ2≥6.635时， 我们就推断H0不成立，即认为X与Y不独立，该推断犯错误的概 率不超过0.01. X与Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 13. 已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位： 万元）之间有如下表对应数据： x 1 3 4 5 7 y 15 20 30 40 45 根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为 ＝5.5x＋ ，则当 x＝7时，残差为 .（残差＝观测值－预测值） －1.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： ＝ ×（1＋3＋4＋5＋7）＝4， ＝ ×（15＋20＋30＋ 40＋45）＝30，因为经验回归直线过点（4，30），代入 ＝5.5x ＋ ，可得30＝5.5×4＋ ， ＝8，当x＝7时， ＝5.5×7＋8＝ 38.5＋8＝46.5，所以残差为45－46.5＝－1.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 14. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数 学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该 班学生.从这次考试成绩看： ①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是 ⁠； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ⁠. 乙　 数学　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总名次靠前的是乙.② 观察散点图，发现丙的总成绩在年级中的名次是倒数第5名，数学 的名次是倒数第11名，显然丙的语文成绩名次拉低了丙的总成绩 排名，故丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）有关部门对某校小学生进行心理障碍测试， 得到如下列联表： 性别 心理障碍 合计 有 没有 女生 10 30 男生 70 80 合计 20 110 将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 附： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：补充列联表如下表： 性别 心理障碍 合计 有 没有 女生 10 20 30 男生 10 70 80 合计 20 90 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 零假设为H0：心理障碍与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得 χ2＝ ≈6.366＞5.024＝x0.025. 根据小概率值α＝0.025的独立性检验，可以认为H0不成立.即认 为心理障碍与性别有关，此判断犯错误的概率不超过0.025. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 16. （本小题满分15分）两个具有相关关系的变量（x，y）的一组统 计数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）.其样本中心 点为（25，36.8），且由统计数据知 ＝138， ＝310.5，样本相关系数r≈0.96. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解： ＝ ＋ ＋… ＋ ＝ ＋ ＋…＋ －2 （x1＋x2＋…＋xn）＋n ＝ －2n ＋n ＝ －n ， 代入数据可得 －n ＝138. （1）求 －n ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）根据样本相关系数r以及下面所附公式，建立y关于x的经验 回归方程. 附：r＝ ， ＝ ， ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解：（2）由已知得 ＝25， ＝36.8， ∵ ＝ ＝ ＝1.5， ∴ ≈0.96×1.5＝1.44， ＝ － ＝36.8－1.44×25＝0.8， ∴y关于x的经验回归方程为 ＝1.44x＋0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 17. （本小题满分15分）为了研究昼夜温差与引发感冒的关系，医务 人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样 调研，所得数据统计如表①所示，并将男生感冒的人数与温差情 况统计如表②所示. 表① 性别 患感冒的情况 合计 患感冒人数 不患感冒人数 男生 30 70 100 女生 42 58 p 合计 m n 200 表② 温差x 6 7 8 9 10 患感冒人数y 8 10 14 20 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （1）求出m，n，p的值； 解： 根据题表①中的数据可以得出m＝72，n＝128，p＝100. （2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验判断是否可以认为在相 同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性； 解： 零假设为H0：性别与患感冒无关. 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝ ＝3.125＜3.841＝x0.05， 所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”无关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （3）根据表②数据，计算y与x的样本相关系数r，并说明y与x 的线性相关性强弱（若0.75＜｜r｜≤1，则认为y与x线性 相关性很强；0.3＜｜r｜≤0.75，则认为y与x线性相关性 一般；｜r｜≤0.3，则认为y与x线性相关性较弱）. 参考数据： （xi－ ）2＝10， （yi－ ）2＝164， ≈20.248 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解： 由题意知， ＝ ＝8， ＝ ＝15，所以 （xi－ ）（yi－ ）＝40， 则r＝ ＝ ≈ ≈0.987 7＞0.75， 所以y与x的线性相关性很强. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 18. （本小题满分17分）近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法 教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每 人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下： 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中a≤60. 性别 是否认真完成作业 合计 认真完成 不认真完成 男生 a 女生 合计 60 若根据小概率值α＝0.10的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生人数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解： 根据题意，完成列联表如下： 性别 是否认真完成作业 合计 认真完成 不认真完成 男生 ​ ​ a 女生 60－ 20－ 80－a 合计 60 20 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 由题意可得χ2＝ ＝ ≥2.706， 得a＞57.38. 易知a为5的倍数，且a≤60，所以a＝60， 所以该培训机构学习软笔书法的女生有80－60＝20（人）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10 人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数 为X，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：χ2＝ ，n＝a＋ b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解： 因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人 数之比为24∶16＝3∶2， 所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有 10× ＝6（人），学习行书的有10× ＝4（人）， 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4， P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 P（X＝3）＝ ＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ . X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 19. （本小题满分17分）某电视厂家准备在“五一”期间举行促 销活动，现在根据已有的广告费与销售量的数据确定此次广告 费支出.广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万 台）的数据如下： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 广告费 支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售 量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回 归方程； 解： 由题意得 ＝8， ＝4.2， xiyi＝279.4， ＝708， 所以 ＝ ＝ ＝0.17， ＝ － ＝ 4.2－0.17×8＝2.84， 所以y关于x的经验回归方程为 ＝0.17x＋2.84. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）若用模型y＝c＋d 拟合y与x的关系，可得经验回归方 程为 ＝1.63＋0.99 ，经计算，线性回归模型和该模 型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归 模型更好； 解： 因为R2越接近于1，模型的拟合效果越好，所以 选用 ＝1.63＋0.99 回归模型更好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （3）已知利润z（单位：万元）与x，y的关系为z＝200y－x. 根据（2）的结果回答：当广告费x＝20时，销售量及利润 的预测值是多少？（精确到0.01） 参考数据： xiyi＝279.4， ＝708， ≈2.236. 参考公式：经验回归方程 ＝ ＋ x中的斜率和截距的最小 二乘估计公式分别为 ＝ ， ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解： 当广告费x＝20时，销售量y的预测值 ＝1.63＋ 0.99 ≈6.057 28≈6.06（万台）， 故利润z的预测值 ＝200×（1.63＋0.99 ）－20≈1 191.456≈1 191.46（万元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 $