章末检测（7） 随机变量及其分布-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“随机变量及其分布”核心内容，涵盖离散型随机变量分布列、正态分布、二项分布、超几何分布及条件概率等知识点，通过从基础概率到随机变量定义，再到分布模型应用的脉络设计，搭建起从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如投篮命中、元件故障）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过严谨的逻辑推理（如二项分布最可能次数推导）发展数学思维，以规范的分布列、概率计算表达强化数学语言。多样化题型适配不同能力学生，助力教师精准检测教学效果，帮助学生深化知识理解与应用能力。

章末检测（七）随机变量及其分布 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知离散型随机变量X的分布列如下，则p＝（　　） X 1 2 3 4 P p A. B. 解析： 由 ＋ ＋ ＋p＝1得，p＝ .故选C. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜1）＝0.1， 则P（3≤X≤5）＝（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 解析： 　因为随机变量X服从正态分布N（3，σ2），所以正态曲 线关于直线x＝3对称，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞5）＝ 0.1，则P（3≤X≤5）＝ ＝ ＝0.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 3. 设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y＝2X －1，则P（Y＜6）＝（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.1 D. 0.2 解析： 　由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X ＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为偶数}，B ＝{两次的点数之和为8}，则P（B｜A）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　抛掷一枚质地均匀的骰子两次，样本点共有6×6＝36 个，其中事件A有3×3＝9个样本点，事件AB有（2，6），（4， 4），（6，2），共3个样本点，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 5. 学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名 候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X表示选到高 二（1）班的候选人的人数，则E（X）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝ 4，n＝2，则E（X）＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 6. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单 位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（　　） A. （ ）5 B. （ ）5 C. （ ）5 D. （ ）5 解析： 　依题意，质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3 次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率P＝ ×（ ） 2×（1－ ）3＝ （ ）5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 7. 某人投篮命中的概率为0.6，则投篮14次，最有可能命中的次数为 （　　） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　投篮命中次数X～B（14，0.6），P（X＝k）＝ ·0.6k·0.414－k，设最有可能命中m次，则 ⇒ ⇒8≤m≤9， ∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 8. 泊松分布的概率分布列为P（X＝k）＝ e－λ（k＝0，1， 2，…），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机 变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松 分布，其中λ＝np，即X～B（n，p），P（X＝i）＝ （n∈N）.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100 个该种元件，则次品率小于3%的概率约为（参考数据： ＝0.367 879…）（　　） A. 99% B. 97% C. 92% D. 74% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 依题意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布 的近似，此时λ＝100×0.01＝1，则P（X＝k）＝ e－1，于是P （X＝0）＝ e－1＝ ，P（X＝1）＝ e－1＝ ，P（X＝2）＝ e－1＝ ，所以次品率小于3%的概率约为P＝P（X＝0）＋P（X ＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＋ ≈92%.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列随机变量中属于离散型随机变量的是（　　） A. 某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B. 测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg之间的体重记为X C. 测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数记为X D. 一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机 变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B不正确；人数可以 列举，选项C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机 变量，选项D不正确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 10. 随机变量X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝ 0.5，随机变量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E （Y），则（　　） A. t＝4 B. p＝ C. P（2≤Y≤3）＝ D. D（2Y）＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　因为X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P （X≥t）＝0.5，所以t＝4，故A正确；因为E（X）＝2，所以 E（Y）＝E（X）＝2.因为Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p ＝2，所以p＝ ，故B错误；因为Y～B（4， ），所以P （2≤Y≤3）＝ （ ）4＋ （ ）4＝ ，故C正确；因为D （Y）＝4× ×（1－ ）＝1，所以D（2Y）＝4D（Y）＝4， 故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 11. 有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1 号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑 球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放 入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为 事件Ai（i＝1，2，3，…，n），则（　　） A. P（A1A2）＝ B. P（A1｜A2）＝ C. P（A1＋A2）＝ D. P（A10）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　对A，P（A1A2）＝ × ＝ ，所以A错误；对B，P （A2）＝ × ＋ × ＝ ，故P（A1｜A2）＝ ＝ ， 所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P （A1A2）＝ ＋ － ＝ ，所以C正确；对D，由题意P（An）＝ P（An－1）＋ [1－P（An－1）]，所以P（An）－ ＝ ［P（An－1）－ ］，P（A1）＝ ，P（A1）－ ＝ － ＝ ，所以P（An）－ ＝ ×（ ）n－1＝ ×（ ）n，所以P（An）＝ ·（1＋ ），则P（A10）＝ ·（1＋ ），所以D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直 至抽到中奖彩票时的次数，则P（X＝4）＝ ⁠. 解析：P（X＝4）＝ × × × ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 13. 已知随机事件A，B，P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（A｜B） ＝ ，则P（B｜A）＝ 　 　. 解析：由条件概率可得P（A｜B）＝ ＝ ⇒P（AB）＝ × ＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 14. 假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p （0＜p＜1），且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的 引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞 机更为安全，则p的取值范围是 ⁠. （ ，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：由已知可得，飞机引擎正常运行的个数X～B（n，p）， 所以4引擎飞机正常飞行的概率为P1＝ p2（1－p）2＋ p3（1 －p）＋ p4＝3p4－8p3＋6p2.2引擎飞机正常飞行的概率为P2＝ p（1－p）＋ p2＝－p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－ （－p2＋2p）＝p（p－1）2（3p－2）.因为4引擎飞机比2引擎 飞机更为安全，所以P1－P2＞0，即p（p－1）2（3p－2）＞0. 因为0＜p＜1，所以 ＜p＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干 部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加义务劳动. （1）求男生甲和女生乙至少一人被选中的概率； 解： 从6人中任选3人，选法共有 ＝20（种）， 其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为 ＝ . 故男生甲和女生乙至少一人被选中的概率为1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件 B，求P（A）和P（A｜B）. 解： 由题知，P（A）＝ ＝ .又P（B）＝P（A） ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，所以P（A｜B）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 16. （本小题满分15分）甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得1 分，负者得0分（无平局），约定一方得4分时就获得本次比赛的 胜利并且比赛结束.设在每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜 的概率为 ，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲得1分， 乙得2分. （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； 解： 设“甲获得这次比赛胜利”为事件A， 则P（A）＝（ ）3＋ ×（ ）3× ＝ ， 故甲获得这次比赛胜利的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X，求X的分布 列及均值. 解： 依题意，X的取值可能为2，3，4， 则P（X＝2）＝（ ）2＝ ， P（X＝3）＝（ ）3＋ × ×（ ）2＝ ， P（X＝4）＝ ×（ ）2× ×1＝ . 故X的分布列为 X 2 3 4 P ​ ​ ​ E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 17. （本小题满分15分）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售 的，每包牛肉干的质量M（单位：g）服从正态分布N（250， σ2），且P（M＜248）＝0.1. （1）若从该公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2 包质量不小于248 g的概率； 解： 由题意知每包牛肉干的质量M（单位：g）服从 正态分布N（250，σ2），且P（M＜248）＝0.1，所以P （M≥248）＝1－0.1＝0.9，则这3包中恰有2包质量不小 于248 g的概率为 ×0.92×0.1＝0.243. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）若从该公司销售的牛肉干中随机选取K（K为正整数）包， 记质量在248 g～252 g内的包数为X，且D（X）＞320，求 K的最小值. 解： 因为P（M＜248）＝0.1，所以P（248＜M＜ 252）＝（0.5－0.1）×2＝0.8， 依题意可得X～B（K，0.8），所以D（X）＝K×0.8× （1－0.8）＝0.16K， 因为D（X）＞320，所以0.16K＞320，K＞2 000， 又K为正整数，所以K的最小值为2 001. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 18. （本小题满分17分）某市电视台举办纪念红军长征胜利知识问答 活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进 行支持签名活动. 公园 甲 乙 丙 丁 获得签名人数 45 60 30 15 然后在各公园签名的人中按分层随机抽样的方式抽取10名幸运之 星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之 星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （1）求此活动中各公园幸运之星的人数； 解： 甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 ×10＝3， ×10＝4， ×10＝2， ×10＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 ， 求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率； 解： 根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的 概率为 ＝ ， 所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不 对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列. 解： 由题意，知X的所有可能取值为2，3，4，服从超 几何分布，P（X＝2）＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 2 3 4 P ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 19. （本小题满分17分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随 机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累 积分布函数为F（x）＝P（X≤x）.已知某系统由一个电源和并 联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少 一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工 作相互独立. （1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N（40，4）， 且X的累积分布函数为F（x），求F（44）－F（38）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解： 由题设得P（38＜X＜42）＝0.682 7，P（36＜ X＜44）＝0.954 5， 所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝P （40≤X≤44）＋P（38≤X≤40） ＝ ×（0.682 7＋0.954 5）＝0.818 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或 等待时间.已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元 件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G （t）＝ ①设t1＞t2＞0，证明：P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－ t2）； ②若第n天元件A发生故障，求第n＋1天系统正常运行的 概率. 附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2），则P（｜Y －μ｜＜σ）＝0.682 7，P（｜Y－μ｜＜2σ）＝0.954 5， P（｜Y－μ｜＜3σ）＝0.997 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解： ①证明：由题设得： P（T＞t1｜T＞t2）＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝ ， 所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 ②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P （T≤1）＝1－G（1）＝ ， 所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为 . 为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个 正常工作， 因此所求概率为1－（1－ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 $