培优课 离散型随机变量均值与方差的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦离散型随机变量均值与方差的应用，通过典型例题构建从参数求解到最值分析再到决策问题的知识脉络，以基础公式为支架，衔接前后知识点，帮助学生逐步掌握应用方法。 其亮点在于结合广告投放、摸球兑奖等实际情境，引导学生用数学眼光抽象问题，用数学思维（方程、函数、均值不等式）分析，用数学语言（分布列、期望方差公式）表达，提升学生应用意识与理性精神，教师可直接用于教学，高效落实核心素养。

培优课　 离散型随机变量均值与方差的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用均值与方差求参数 【例1】　已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a b c 若E（X）＝ ，D（X）＝ ，求a，b，c的值. 目录 数学·必修第一册 解：根据题意易知a＋b＋c＝1， 由E（X）＝ ，可得－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝ ； 由D（X）＝ ，可得（－1－ ）2a＋ b＋（1－ ）2c＝ a＋ b＋ c＝ ， 化简可得16a＋b＋4c＝5，联立解得 所以a＝ ，b＝ ，c＝ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立方程或方程组解决 有关参数问题，在具体问题中密切关注参数的范围及实际意义. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　（多选）已知随机变量X的分布列为： X －1 0 1 P m 0.2 0.3 若随机变量Y＝aX＋b（a＞0，b∈R），E（Y）＝10，D（Y）＝ 19，则下列选项正确的为（　　） A. m＝0.5 B. a＝6 C. b＝11 D. P（Y＝16）＝0.3 目录 数学·必修第一册 解析： 　依题意，由分布列可得m＋0.2＋0.3＝1，解得m＝ 0.5，A正确；E（X）＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2，D （X）＝[－1－（－0.2）]2×0.5＋[0－（－0.2）]2×0.2＋[1－ （－0.2）]2×0.3＝0.76，因为Y＝aX＋b（a＞0，b∈R），所以 E（Y）＝aE（X）＋b＝－0.2a＋b＝10，D（Y）＝a2D（X）＝ 0.76a2＝19，解得a＝5，b＝11，B错误，C正确；所以随机变量Y的 分布列为： Y 6 11 16 P 0.5 0.2 0.3 由分布列可知D正确.故选A、C、D. 目录 数学·必修第一册 题型二 与均值和方差有关的最值问题 【例2】　已知某人每次投篮的命中率为p（0＜p＜1），投进一球得 1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则 的最大值 为 ⁠. 2－2 　 目录 数学·必修第一册 解析：由题意可知，X服从两点分布，可得E（X）＝p，0＜p＜1， D（X）＝（1－p）p，则 ＝ ＝2－2p－ ＝2－ （2p＋ ）≤2－2 ＝2－2 ，当且仅当2p＝ ，即p＝ 时，等号成立，故 的最大值为2－2 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　处理均值与方差的最值问题，主要是利用分布列的性质、均 值公式及方差公式建立函数模型，利用函数的单调性或基本不等 式解决最值. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变 量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D（X）的最大值 为 　 　，此时p＝ 　 　. 解析：随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且P（X＝1）＝p， P（X＝0）＝1－p.从而E（X）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D （X）＝（0－p）2×（1－p）＋（1－p）2·p＝p－p2＝－ ＋ .∵0＜p＜1，∴当p＝ 时，D（X）取最大值，最大值是 . 　 　 目录 数学·必修第一册 题型三 利用均值与方差决策问题 【例3】　某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该 软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新 产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万 元，40万元，且P（X＝20）＝0.3，期望E（X）＝30； 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万 元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3. 目录 数学·必修第一册 （1）请写出方案一的分布列，并求方差D（X）； 解： 设P（X＝0）＝a，P（X＝40）＝b， 依题意得a＋b＋0.3＝1，　　① 又E（X）＝0×a＋20×0.3＋40b＝30，　② 由①②解得：a＝0.1，b＝0.6， ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则D（X）＝（0－30）2×0.1＋（20－30）2×0.3＋（40－ 30）2×0.6＝180. 目录 数学·必修第一册 （2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种 广告？并说明你的理由. 解： 由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则E（Y）＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20， D（Y）＝（10－20）2×0.3＋（20－20）2×0.4＋（30－20） 2×0.3＝60. 由E（X）＞E（Y）可知采用平台广告投放期望收益较大，又 D（X）＞D（Y），说明平台广告投放的风险较高. 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期 望收益稳定，选择传统广告. 目录 数学·必修第一册 通性通法 均值、方差在决策中的作用 （1）均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越 大，平均水平越高； （2）方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差 越大越不稳定； （3）在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励， 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.商场对奖励总额 的预算是30 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预 算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一 种，并说明理由. 方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种 球组成； 目录 数学·必修第一册 方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种 球组成. 解：根据方案一，设顾客的奖励额为X1，其可能取值为30，60，90， P（X1＝30）＝ ＝ ，P（X1＝60）＝ ＝ ＝ ，P（X1＝90） ＝ ＝ ， E（X1）＝30× ＋60× ＋90× ＝60， 目录 数学·必修第一册 D（X1）＝（30－60）2× ＋（60－60）2× ＋（90－60）2× ＝ 300. 根据方案二，设顾客的奖励额为X2，其可能取值为40，60，80， P（X2＝40）＝ ＝ ，P（X2＝60）＝ ＝ ＝ ，P（X2＝80） ＝ ＝ ， E（X2）＝40× ＋60× ＋80× ＝60， 目录 数学·必修第一册 D（X2）＝（40－60）2× ＋（60－60）2× ＋（80－60）2× ＝ ， 商场对奖励总额的预算是30 000元，故每个顾客平均奖励额最多为 60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选 择方案二. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知离散型随机变量X的分布列如表所示： X a a＋1 a＋2 P 0.4 0.2 0.4 则D（X）＝（　　） A. 0.4＋a B. 0.8＋a C. 0.4 D. 0.8 解析： 　由分布列可得E（X）＝0.4a＋0.2（a＋1）＋0.4（a ＋2）＝a＋1，D（X）＝0.4（a－a－1）2＋0.2（a＋1－a－ 1）2＋0.4（a＋2－a－1）2＝0.8，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 2. 已知随机变量ξ的分布列为 ξ m n P a 若E（ξ）＝2（m≠n），则D（ξ）的最小值等于（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 无法计算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意得a＝1－ ＝ ，所以E（ξ）＝ m＋ n＝2， 即m＋2n＝6.又D（ξ）＝ ×（m－2）2＋ ×（n－2）2＝2（n －2）2，当n＝2时，D（ξ）取得最小值，此时m＝2，不符合题 意，故D（ξ）无法取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 3. 在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离 散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov（X，Y）＝E（XY）－ E（X）E（Y），已知X，Y的分布列如表所示，其中0＜p＜1， 则Cov（X，Y）＝（　　） X 1 2 P p 1－p Y 1 2 P 1－p p A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 解析： 　XY的分布列为 XY 1 2 4 P p（1－p） p2＋（1－p）2 p（1－p） E（XY）＝1×p（1－p）＋2×[p2＋（1－p）2]＋4×p（1－ p）＝－p2＋p＋2，E（X）＝2－p，E（Y）＝p＋1，Cov （X，Y）＝－p2＋p＋2－（2－p）（1＋p）＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 4. 已知随机变量ξ的分布列如表所示，则下列说法正确的是（　　） ξ x y P y x A. 存在x，y∈（0，1），E（ξ）＞ B. 对任意x，y∈（0，1），E（ξ）≤ C. 对任意x，y∈（0，1），D（ξ）＜E（ξ） D. 存在x，y∈（0，1），D（ξ）＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 解析： 　依题意可得，E（ξ）＝2xy，因为x＋y＝1，所以 2xy≤ ＝ ，当且仅当x＝y＝ 时等号成立，即E（ξ） ≤ ，故A、B错误；D（ξ）＝（x2y＋y2x）－（2xy）2＝xy（x ＋y－4xy）＝xy（1－4xy），D（ξ）－E（ξ）＝xy（1－4xy－ 2）＝－xy（1＋4xy），由于xy＞0，所以D（ξ）－E（ξ）＜0， 故C正确；令t＝xy，t∈（0， ］，则D（ξ）＝t（1－4t）＝－4 （t－ ）2＋ ，则D（ξ）≤ ，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 5. （多选）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝ ，P（ξ＝1）＝x，P （ξ＝2）＝ －x.若0＜x＜ ，则（　　） A. E（ξ）随着x的增大而增大 B. E（ξ）随着x的增大而减小 C. D（ξ）随着x的增大而增大 D. D（ξ）随着x的增大而减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 解析： 　∵随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝ ，P（ξ＝1）＝x，P （ξ＝2）＝ －x，0＜x＜ ，∴E（ξ）＝x＋ －2x＝ －x，D （ξ）＝ × ＋ ×x＋ × ＝－x2－ x＋ ＝－ ＋ ，∴E（ξ）随着x的增大而减 小，D（ξ）随着x的增大而减小.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 6. 某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计 资料： 投资甲获利（万元） 2 3 －1 概率 0.4 0.3 0.3 投资乙获利（万元） 1 4 －2 概率 0.6 0.2 0.2 那么他应该选择经营 种商品. 甲　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 解析：投资甲项目获利的期望E（甲）＝2×0.4＋3×0.3＋（－ 1）×0.3＝1.4（万元），投资乙项目获利的期望E（乙）＝ 1×0.6＋4×0.2＋（－2）×0.2＝1（万元）.因为E（甲）＞E （乙），故他应该选择经营甲种商品. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 7. 已知随机变量ξ的分布列如下表所示（其中0＜a＜ ），则D（ξ） 的最大值为 ⁠. ξ 0 1 2 P b－a b a 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 解析：由题意，知b－a＋b＋a＝2b＝1，即b＝ .所以E（ξ）＝ 0·（b－a）＋b＋2a＝2a＋ ，所以D（ξ）＝（0－2a－ ）2 （b－a）＋（1－2a－ ）2b＋（2－2a－ ）2a＝－4a2＋2a＋ ＝－4（a－ ）2＋ .又0＜a＜ ，所以当a＝ 时，D（ξ）有最 大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 8. 已知随机变量ξ的所有可能取值为m，n，其中P（ξ＝m）＝P（ξ ＝n）＝ ，则E（ξ）＝ 　 　，当D（ξ）取最小值时，mn ＝ ⁠. 　 　 解析：由分布列的性质得 ＋ ＝1，即m＋n＝1， ＝ .所以E（ξ）＝m· ＋n· ＝ ＝ ，D（ξ） ＝（m－ ）2× ＋（n－ ）2× ＝（m－ ）2× ＋（1－m－ ）2× ＝（m－ ）2≥0，当且仅当m＝n＝ 时等号成立，此时 mn＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 9. 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n 个（n＝1，2，3，4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （1）求ξ的分布列、均值和方差； 解： 由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4. P（ξ＝0）＝ ，P（ξ＝1）＝ ，P（ξ＝2）＝ ， P（ξ＝3）＝ ，P（ξ＝4）＝ . 故ξ的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 ξ 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ 则E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ . D（ξ）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＋（4－ ）2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 （2）若η＝aξ＋b，E（η）＝1，D（η）＝11，试求a，b的值. 解： 由D（η）＝a2D（ξ），得a2× ＝11，得a＝±2. 又由E（η）＝aE（ξ）＋b，得 a＋b＝1， 所以当a＝2时，由1＝2× ＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2× ＋b，得b＝4. 所以或即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 10. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当 天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 （单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如 果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温 低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前 三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气 温 [10， 15） [15， 20） [20， 25） [25， 30） [30， 35） [35， 40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； 解： 由题意得，随机变量X的可能取值为200，300，500， 可得P（X＝200）＝ ＝0.2，P（X＝300）＝ ＝ 0.4，P（X＝500）＝ ＝0.4， 所以随机变量X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六 月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的 数学期望达到最大值？ 解： 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500 瓶，至少为200瓶， 所以只需考虑200≤n≤500， 当300＜n≤500时， 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300＋2（n－ 300）－4n＝1 200－2n； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝ 800－2n， 所以E（Y）＝2n×0.4＋（1 200－2n）×0.4＋（800－ 2n）×0.2＝640－0.4n. 当200≤n≤300时， 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝ 800－2n， 所以E（Y）＝2n×（0.4＋0.4）＋（800－2n）×0.2＝ 160＋1.2n， 所以当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为 520元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 11. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有 一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件， 每个200元.在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整 理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图 所示的条形图. 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损 零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件 数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 （1）求X的分布列； 解： 由条形图并以频率代替概率可得：1台机器在三年内需更换的易损零件为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2. 可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22， P（X＝16）＝0.2×0.2＝0.04； P（X＝17）＝2×0.2×0.4＝0.16； P（X＝18）＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P（X＝19）＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P（X＝20）＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P（X＝21）＝2×0.2×0.2＝0.08；P（X＝22）＝0.2×0.2＝0.04. 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 （2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值； 解： 由（1）知P（X≤18）＝0.44，P（X≤19）＝ 0.68，故n的最小值为19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与 n＝20之中选其一，应选用哪个？ 解： 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 （单位：元）. 当n＝19时，E（Y）＝19×200×0.68＋（19×200＋500） ×0.2＋（19×200＋2×500）×0.08＋（19×200＋ 3×500）×0.04＝4 040. 当n＝20时，E（Y）＝20×200×0.88＋（20×200＋500） ×0.08＋（20×200＋2×500）×0.04＝4 080. 可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的 期望值，故应选n＝19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 目录 数学·必修第一册 $