数学探究 杨辉三角的性质与应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦杨辉三角的性质与应用，从二项式展开式系数切入，通过观察杨辉三角与二项式系数的关联，搭建从二项式定理到杨辉三角性质的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以“观察-猜想-实验-证明”为主线，结合平方和性质验证等实例及通性通法总结，培养学生数学眼光（多角度观察数据规律）、数学思维（逻辑推理与证明）、数学语言（用组合数公式表达规律）。学生能提升探究能力，教师可高效开展探究式教学。

数学探究　 杨辉三角的性质与应用 一、杨辉三角性质的探究 1. 结合杨辉三角与二项式（a＋b）n的展开式的二项式系数如图①， 发现有如下规律： 目录 数学·必修第一册 （2）当行数n为偶数时， 最大； （3）当行数n为奇数时， 和 最大. 且具有如下性质： （1）第n行的n＋1个数是二项式（a＋b）n的展开式的系数； 目录 数学·必修第一册 2. 对杨辉三角中的数从不同视角采用圈一圈、连一连、算一算等方 法，结合数学探究中的猜想、实验、证明等手段得到各数字之间存 在如下性质： （1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即 ＝ ，如图②； 目录 数学·必修第一册 （2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即 ＝ ＋ ； （3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即 ＋ ＋ ＋… ＝ ＋ ＋ ＋…，如图③； 目录 数学·必修第一册 （4）第n行数的和为2n，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n，如图 ④； 目录 数学·必修第一册 （5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（ ）2＋ （ ）2＋（ ）2＋…＋（ ）2＝ ，如图⑤； 目录 数学·必修第一册 （6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等 于最后一个数斜右下方的那个数，即 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ，如图⑥. 目录 数学·必修第一册 二、杨辉三角性质的应用 【例】　如图称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排 列，是我国古代数学伟大成就之一. 杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3 个数，…，第10行有11个数. （1）求杨辉三角中第10行的各数之和； 解： 杨辉三角中第10行的各数之和 为 ＋ ＋ ＋…＋ ＝210＝1 024. 目录 数学·必修第一册 （2）求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和. 解： 杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝…＝ ＋ ＝ ＝ ＝560. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 在杨辉三角中，除每行两边的数都是1外，其余每一个数都是它 “肩上”两个数的和，它的开头几行如图所示，那么在杨辉三角中 出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5的行数为（　　） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 ︙ ︙ A. 58 B. 62 C. 63 D. 64 目录 数学·必修第一册 解析： 　根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得 连续三项 ， ， 满足 ＝ 且 ＝ ，化简得 ＝ 且 ＝ ，解得k＝27，n＝62，故第62行会出现满足条件的 三个相邻的数. 目录 数学·必修第一册 2. 我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示 的三角形解释二项式系数的规律，现把杨辉三角中的数从上到下， 从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1， 1，4，6，4，1，…，记作数列{an}，则a14＝ ；若数列{an} 的前n项和为Sn，则S67＝ ⁠. 4　 2 048　 目录 数学·必修第一册 解析：由题意可得a14＝4.由杨辉三角可知，行数与该行的项数相 等，则第k行最后一项在数列{an}中的项数为 .设a67位于 第k（k∈N*）行，则 ＜67≤ ，解得k＝12，且 第11行最后一项在数列{an}中的项数为 ＝66，∴a67位于杨辉 三角的第12行第1个，而第一行各项的和为20＝1，第二行各项的和 为21＝2，第三行各项的和为22＝4，依此类推，第k行各项的和为 2k－1，∴S67＝（20＋21＋22＋…＋210）＋ ＝ ＋1＝211＝ 2 048. 目录 数学·必修第一册 $