6.3.2 二项式系数的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，以杨辉三角情境导入，衔接二项式定理旧知，通过问题链引导学生观察归纳对称性、增减性与最大值及系数和等性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学文化与分层训练，通过自我诊断、典型例题（如赋值法求系数和）及母题探究，培养逻辑推理与数学运算核心素养。通性通法总结助力学生掌握解题策略，教师可依托系统资源提升教学效率，学生能在探究中深化对知识的理解与应用。

6.3.2　 二项式系数的性质 新课程标准解读 核心素养 1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数 间的关系 逻辑推理 2.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有 关的问题 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家 杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三 角形解释（a＋b）n的展开式的各项系数. 目录 数学·必修第一册 【问题】　观察上图，你能借助二项式系数的性质分析上图中的 数吗？ 目录 数学·必修第一册 知识点　二项式系数的性质 1. 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质 可直接由 得到.直线 将函数f（r）C 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. ＝ r＝ 　 目录 数学·必修第一册 2. 增减性与最大值 （1）当k＜ 时， 随k的增加而 ；由对称性知，二项 式系数的后半部分 随k的增加而 ⁠； （2）当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇 数时，中间的两项 　 　与 　 　相等，且同时取 得最大值. 增大　 减小　 　 　 　 目录 数学·必修第一册 3. 各二项式系数的和 （1） ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠； （2） ＋ ＋ ＋…＝ ＋ ＋ ＋…＝ ⁠. 2n　 2n－1　 【想一想】 　二项展开式中系数最大项就是二项式系数的最大项，对吗？ 提示：不对. 目录 数学·必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）二项展开式中各项系数和等于二项式系数和. （　×　） （2）二项展开式的二项式系数和为 ＋ ＋…＋ . （　×　） （3） ＋ ＋ ＋ ＝28－1. （　√　） × × √ 目录 数学·必修第一册 2. 在（x＋y）n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n＝（　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. （1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则 n＝（　　） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 目录 数学·必修第一册 4. （2x－1）6展开式中各项系数的和为 ；各项的二项式系数的 和为 ⁠. 解析：令x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 1　 64　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 各二项式系数的和 【例1】　已知（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相 等，则奇数项的二项式系数和为（　　） A. 512 B. 210 C. 211 D. 212 解析： 　∵（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相 等，∴ ＝ ，解得n＝10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的 二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，∴（1＋2x）10的 展开式中奇数项的二项式系数和为 ×210＝29＝512. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　（a＋b）n的展开式中各二项式系数的和为2n，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和等于2n－1. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 已知（x－my）n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－ 160，求实数m的值. 解：由题意得，2n＝64，解得n＝6， 而（x－my）6的通项公式为Tk＋1＝ x6－k·（－my）k，0≤k≤6， k∈N， 所以x3y3的系数为 （－m）3＝－160， 解得m＝2. 目录 数学·必修第一册 题型二 二项展开式的各项系数的和 【例2】　已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下 列各式的值. （1）a0＋a1＋a2＋…＋a5； 解： 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. 目录 数学·必修第一册 （2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜； 解： 令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由（2x－1）5的通项Tr＋1＝ （－1）r×25－rx5－r知a1，a3， a5为负值， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋ a4－a5＝35＝243. 目录 数学·必修第一册 （3）a1＋a3＋a5. 解： 由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5， 两式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝ ＝－121. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 　（变设问）在本例条件下，求下列各式的值： （1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5； 解： 因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数， 所以a0＝ 25·（－1）0＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. 目录 数学·必修第一册 （2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解： 因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋ a5，所以两边求导数，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2 ＋2a3x＋a4. 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 目录 数学·必修第一册 通性通法 二项展开式的各项系数的和的求法 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m， n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需 令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求 其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开 式中各项系数之和为f（1）， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ . 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　设（2－ x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的 值： （1）a0； 解： 令x＝0，则a0＝2100. （2）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； 解： 令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝（2－ ）100，① 故a1＋a2＋…＋a100＝（2－ ）100－2100. 目录 数学·必修第一册 （3）a1＋a3＋a5＋…＋a99； 解： 令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝（2＋ ）100.　② ①②联立可得a1＋a3＋…＋a99＝ . （4）（a0＋a2＋…＋a100）2－（a1＋a3＋…＋a99）2. 解： 原式＝[（a0＋a2＋…＋a100）＋（a1＋a3＋…＋ a99）][（a0＋a2＋…＋a100）－（a1＋a3＋…＋a99）]＝（a0＋ a1＋a2＋…＋a100）·（a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100）＝ [（2－ ）（2＋ ）]100＝1100＝1. 目录 数学·必修第一册 题型三 二项式系数性质的应用 【例3】　已知（ ＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于 37，求： （1）展开式中二项式系数最大的项的系数； 解： 由（ ＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等 于37，即 ＋ ＋ ＝37，解得n＝8，即二项式为（ ＋ 2x）8， 所以展开式中第5项的二项式系数最大，T5＝ （ ）4×24x4＝ x4， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为 . 目录 数学·必修第一册 （2）展开式中系数最大的项. 解： 设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 则 解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项， 即T8＝ （ ）1×27x7＝28x7，T9＝ （ ）0×28x8＝28x8. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中 的n进行讨论： （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 目录 数学·必修第一册 2. 展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要 根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求（a＋bx）n（a， b∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式 中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用 解出k，即得出系数最大的项. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. （多选）已知（x－ ）9，则该展开式中二项式系数最大的项可以 是（　　） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 解析： 　由题意知，展开式中二项式系数最大为 和 ，故 二项式系数最大的项是第5项和第6项. 目录 数学·必修第一册 2. 已知（ ＋ ）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求 该展开式中系数最大的项. 解：由题意可知 ＋1＝6，解得n＝10，故展开式的通项为Tr＋1＝ 2r .设第r＋1项的系数最大， 则即 解得 ≤r≤ . ∵r∈N，∴r＝7， ∴展开式中的系数最大的项为T8＝ 27 ＝15 360 . 目录 数学·必修第一册 1. 观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（　　） 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 解析： 　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6. 目录 数学·必修第一册 2. 二项式（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数和是64，则n＝ （　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： 　二项式（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数和 等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C. 目录 数学·必修第一册 3. 在（2－3x）15的展开式中，二项式系数的最大值为（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　（2－3x）15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项 和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为 ＝ ，故选B. 目录 数学·必修第一册 4. 已知二项式（1－x）8，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； 解： 因为（1－x）8的展开式中共有9项，所以中间一项 （第5项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大 的项为 （－x）4＝70x4. 目录 数学·必修第一册 （2）展开式中系数最小的项. 解： 二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.由 题意知第4项和第6项系数相等且最小，T4＝ （－x）3＝－ 56x3，T6＝ （－x）5＝－56x5，所以展开式中系数最小的 项是－56x3和－56x5. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数 相同的项是（　　） A. 第15项 B. 第16项 C. 第17项 D. 第18项 解析： 　第6项的二项式系数为 ，又 ＝ ，所以第16项 符合条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 目录 数学·必修第一册 2. 在（3x2－ ）n的展开式中，所有二项式系数和为64，则n＝ （　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析： 　由题意可知：2n＝64⇒n＝6，故选A. 目录 数学·必修第一册 3. （x2－ ）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开 式的常数项是（　　） A. －15 B. －20 C. 15 D. 20 解析： 　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以（x2 － ）n的展开式的通项为Tk＋1＝ （x2）6－k（－ ）k＝（－1） k x12－3k.令12－3k＝0，得k＝4，所以展开式中的常数项是（－ 1）4 ＝15.故选C. 目录 数学·必修第一册 4. 在（x－ ）2 024的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S， 当x＝ 时，S＝（　　） A. 23 035 B. －23 035 C. 23 030 D. －23 030 解析： 　因为S＝ ，当x＝ 时，S＝ － ＝－23 035. 目录 数学·必修第一册 5. （多选）下列关于（x－1）11的说法正确的是（　　） A. 展开式中的二项式系数之和为2 048 B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最大 目录 数学·必修第一册 解析： 　（x－1）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间 两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确， C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正 确.故选A、C. 目录 数学·必修第一册 6. （多选）对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x －1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是 （　　） A. a2＝－144 B. a0＝1 C. a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D. a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 目录 数学·必修第一册 解析： 　对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2 （x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－ 1）]9，所以a2＝－ ×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝ －1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正 确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D正确. 目录 数学·必修第一册 7. 已知 展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项 的二项式系数为 ⁠. 解析：∵ 展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得 3n＝243，解得n＝5.∴ 展开式的通项Tr＋1＝ 25－rx15 －4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7 的项的二项式系数为 ＝10. 10　 目录 数学·必修第一册 8. 在 的二项展开式中，常数项是8，则实数a＝ ⁠， 第 项的二项式系数最大. 解析：在 的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式 通项可知Tk＋1＝ （2x）4－k ＝ ·24－k·（－a） k· ，所以当k＝3时为常数项，代入可得 ·24－3·（－a）3＝ 8，解得a＝－1，由二项式定理可知展开式共有5项，则根据二项 式系数可知第3项二项式系数最大. －1　 3　 目录 数学·必修第一册 9. 已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2 ＋a4）（a1＋a3＋a5）＝ ⁠. 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0 －a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝ 32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16， a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. －256　 目录 数学·必修第一册 解：由（ x2＋ ）5得Tr＋1＝ （ ）5－r·（ ）r＝（ ）5 －r ， 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0， 所以r＝4，常数项T5＝ · ＝16. 又（a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝ 16，n＝4. 所以（a2＋1）4展开式中系数最大项是中间项T3＝ a4＝54， 解得a＝± . 10. 已知（a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于（ x2＋ ）5的展 开式的常数项，而（a2＋1）n的展开式的系数最大的项等于54， 求a的值. 目录 数学·必修第一册 11. 若（1－2x）2 024＝a0＋a1x＋…＋a2 024x2 024（x∈R），则 ＋ ＋…＋ ＝（　　） A. 2 B. 0 C. －2 D. －1 解析： 　（1－2x）2 024＝a0＋a1x＋…＋a2 024x2 024，令x＝0， 得a0＝1，令x＝ ，得a0＋ ＋ ＋…＋ ＝0，所以 ＋ ＋…＋ ＝－1. 目录 数学·必修第一册 12. （多选）在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，若含x2的项的二项 式系数为21，则下列结论正确的是（　　） A. n＝7 B. 展开式中的常数项是64 C. 展开式中二项式系数的最大值是35 D. 展开式中各项系数的和是2 187 目录 数学·必修第一册 解析： 　在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，含x2的项的二 项式系数为 ＝ ＝21，即n2－n－42＝0， ∵n∈N*，∴n＝7，A正确；展开式中常数项为T8＝27＝128，B 错误；展开式中二项式系数的最大值是 ＝ ＝35，C正确；令 x＝1可得展开式中各项系数的和是37＝2 187，D正确.故选A、 C、D. 目录 数学·必修第一册 13. 若x4（x＋3）8＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋…＋a12（x＋ 2）12，则log2（a1＋a3＋…＋a11）＝ ⁠. 解析：令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，令x＝－ 3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2（a1＋a3＋…＋ a11），∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2（a1＋a3＋…＋a11）＝ log227＝7. 7　 目录 数学·必修第一册 14. 已知（1＋m ）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为 256，展开式中含有x项的系数为112. （1）求m，n的值； 解： 由题意可得2n＝256，解得n＝8， ∴展开式的通项为Tk＋1＝ mk ， ∴含x项的系数为 m2＝112， 解得m＝2或m＝－2（舍去）. 故m，n的值分别为2，8. 目录 数学·必修第一册 （2）求展开式中偶数项的二项式系数之和； 解： 展开式中偶数项的二项式系数之和为 ＋ ＋ ＋ ＝28－1＝128. （3）求（1＋m ）n（1－x）的展开式中含x2项的系数. 解： ∵（1＋2 ）8（1－x）＝（1＋2 ）8－x（1 ＋2 ）8， ∴含x2项的系数为 24－ 22＝1 008. 目录 数学·必修第一册 15. 已知（2x－1）n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数 的和小38，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠. 解析：设（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系 数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0 ＋a2＋a4＋a6＋….由已知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2 －a3＋…＋an（－1）n＝（－3）n，即（a0＋a2＋a4＋a6＋…） －（a1＋a3＋a5＋a7＋…）＝（－3）n，即B－A＝（－3）n. ∴（－3）n＝38＝（－3）8，∴n＝8.由二项式系数的性质，可 得 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n－ ＝28－1＝255. 255　 目录 数学·必修第一册 16. 已知（ax－ ）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项 式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值； 解： 由题意得， ＋ ＋ ＝16， 即1＋n＋ ＝16. 解得n＝5，或n＝－6（舍去），所以n＝5. 因为所有项的系数之和为1，令x＝1， 所以（a－1）5＝1，解得a＝2. 目录 数学·必修第一册 （2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存 在，请说明理由； 解： 不存在.理由如下： 因为（ax－ ）n＝（2x－ ）5， 所以Tk＋1＝ （2x）5－k（－ ）k＝（－1）k 25－ k （k∈N*）. 令5－ ＝0，解得k＝ ∉N，所以展开式中不存在常数项. 目录 数学·必修第一册 （3）求展开式中二项式系数最大的项. 解： 由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二 项式系数最大， 二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2· 25－2x5－3＝ 80x2，T4＝（－1）3· 25－3 ＝－40 . 目录 数学·必修第一册 $