6.3.2二项式系数的性质课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件围绕二项式定理展开，系统呈现二项式定理公式、二项式系数的对称性、递推性、最值性及和的性质，通过练习与探究案例搭建学习支架。从基础公式导入，衔接二项式系数性质，再延伸至赋值法、特定项系数求解等应用，帮助学生构建从概念到实践的知识脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过赋值法证明二项式系数和、待定系数法求特定项系数等案例，培养学生逻辑推理与运算能力。以数学眼光引导观察二项式系数表规律，用规范数学语言呈现解题步骤，助力学生深化理解，也为教师提供丰富教学案例，提升课堂效率。

②每一项a与b的指数和为？a的指数按什么顺序排列？b 的呢？ (a＋b)n＝_______________________________________________________（1） 总结：公式（1）叫做______________, 右边的多项式叫做(a＋b)n的______________， ①展开式合并前共中一共有 2n 项.合并后共 n+1 项 ③叫做______________．即：、 ④(a＋b)n展开式的第_______项叫做二项展开式的通项， 记Tk＋1＝_____________． k＋1 二项式定理 二项式系数 k表示ｂ的指数 二项展开式 n 升幂0→n 降幂n→0 注意： ⑤ 二项式定理 (1)对称性： (2)递推性： (4) 一般地,(a+b)n展开式的二项式系数 有如下性质： 当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值. （3） 二项式系数的性质 eg: eg: 赋值法 奇数项 二项式系数和 偶数项 二项式系数和 二项式系数和 赋值法 增减性：先增后减 210 例3：赋值法 探究1　二项式系数的性质 (2)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n的展开式中x3的系数为(　　) A．80 B．40 C．－40 D．－80 (2)由题意知＝，所以3＋7＝2n，解得n＝5， 则(2x－1)5的展开式的通项为Tk＋1＝(2x)5-k(－1)k＝(－1)k25-kx5-k， 由5－k＝3，得k＝2， 所以x3的系数为×23＝80. [学以致用]　1．(1)在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数， 当a＝7时，b等于(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 探究2　二项式系数的增减性与最大值 增减性：由对称性知，先增后减； 最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 注意：二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的． [典例讲评]　2．在5中，求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中系数最大的项． [解]　(1)由于n＝5为奇数， ∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项， 它们分别为T3＝·(3x2)2＝90x6， T4＝·(3x2)3＝. (2)开展式的通项为Tk＋1＝， 假设Tk＋1项系数最大， 则有 ∴则 解得.又k∈N，∴k＝4. ∴展开式中系数最大的项为T5＝·(3x2)4＝. (1)二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项． 总结： [学以致用]　2．在(3x－2y)20中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． [解]　(1)因为n＝20， 所以二项式系数最大的项是第11项． T11＝×310×(－2)10x10y10＝×610x10y10. (2)通项Tk+1=x20-kyk 设系数绝对值最大的项是第k＋1项， 于是 化简得 解得7.因为k∈N，所以k＝8， 即T9＝×312×28x12y8是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为奇数项， 且第9项的系数的绝对值最大， 所以T9＝×312×28x12y8是系数最大的项． 探究3　二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝____； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝_______． 2n 2n-1 [典例讲评]　3．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求下列各式的值． (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. [解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得(－3)5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tk＋1＝(－1)k25-kx5-k 知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. 赋值法 (3)由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，由（2）知－a0＋a1－a2＋…＋a5＝(－3)5， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝＝－121. [母题探究]　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5， (变设问)在本例条件下，求下列各式的值． (1)a0＋a2＋a4； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. [解]　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝(－3)5， 所以a0＋a2＋a4＝＝122. (2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数， 所以a0＝25＝32， 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. (3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5， 所以两边求导数， 得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 总结： [学以致用]　3．已知(x＋1)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则a0＋a1＋a2＋…＋a1 012＝(　　) A．22 023 B．22 024 C．21 011 D．21 012 4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________． B -15 探究4　求两个多项式积的特定项 [典例讲评]　 1．(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝·xk，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为＋·a＝5，所以a＝－1，故选D． (2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x的项的系数为(　　) A．10 B．－10 C．2 D．－2 (1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为·(－x)1＋·(－x)0，其系数为×(－1)＋＝－4＋6＝2.故选C. 探究5　三项展开式问题 [典例讲评]　2．的展开式中的常数项是________ 补充：(a+b+c)n展开式的通项为（k,r∈N,k+r≤n） [学以致用]　2．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 分k=1,r=2时；k=3,r=1时; k=5,r=0三种情况.相加得 由题意知k=2,则r=1,所以x5y2的系数为=30 组合数思想 探究6　整除和余数问题 （课本35页） Can－kbk 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值； $