精品解析：贵州三联教育集团 2025-2026学年九年级上学期期末联考考试数学试卷

2025—2026学年第一学期期末联考试卷 九年级数学（人教版） 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）． 1. 已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm 2. 如图，点A为反比例函数（x＞0）的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，则四边形OCAB的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 随着A点位置的变化而变化 3. 山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（ ） A 1 B. 0.95 C. 0.9 D. 0.85 4. 一元二次方程x2+3x-4=0的根的情况是( ) A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得．．或，解得． 其中完全正确的是（ ） A. 甲 B. 都正确 C. 乙 D. 都不正确 6. 对于反比例函数，下列说法正确的是（） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x增大而减小 D. 图象与x轴有交点 7. 下列事件中，必然事件（　　） A. 实数的绝对值是非负数 B. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 D. 抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6 8. 如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（ ） A. P， B. A， C. P， D. A， 9. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为______． 15. 若是实数，且，则2b+c=_________. 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共98分） 17. 解方程∶ （1）； （2）． 18. 如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． （1）求弦的长； （2）若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 19. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸（）、氯化钠（）、稀盐酸（）、碳酸钠（）四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液（）、稀盐酸溶液（））可以用来除铁锈． （1）从中随机抽取一瓶，这瓶溶液可以用于除铁锈的概率是_________； （2）从中随机抽取两瓶，请利用列表或画树状图的方法求出这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率． 20. 已知抛物线经过点． （1）求m的值及此抛物线的顶点坐标． （2）该抛物线如何平移可得到抛物线． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）当时，y的取值范围？ （3）求的面积． 23. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 24. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点B． （1）反比例函数的解析式为______； （2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集； （3）如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接． ①求的面积； ②直接写出点E的坐标． 25. 已知：PA=，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB两侧． (1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长； (2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末联考试卷 九年级数学（人教版） 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）． 1. 已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm 【答案】A 【解析】 【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可． 【详解】解： ∵点A在半径为2cm的圆内， ∴点A到圆心的距离小于2cm， 故选：A． 【点睛】本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 2. 如图，点A为反比例函数（x＞0）的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，则四边形OCAB的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 随着A点位置的变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】设A点坐标为（x，y），求得S△AOB＝×OB×AB＝｜xy｜，由xy＝﹣2，得S△AOB＝×2＝1，即可得到答案． 【详解】解：设A点坐标为（x，y）， ∵AB⊥x轴， ∴OB＝x，AB＝｜y｜， ∴S△AOB＝×OB×AB＝｜xy｜， ∵， ∴xy＝﹣2， ∴S△AOB＝×2＝1， 故四边形OCAB的面积＝2S△AOB＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握这一点是本题关键． 3. 山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（ ） A. 1 B. 0.95 C. 0.9 D. 0.85 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 由图可知，成活频率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：C． 4. 一元二次方程x2+3x-4=0的根的情况是( ) A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求出“△”的值，再判断即可． 【详解】∵x2+3x-4=0 ∴△=（3）2﹣4×1×（-4）=25＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 5. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得．．或，解得． 其中完全正确的是（ ） A. 甲 B. 都正确 C. 乙 D. 都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的管家． 甲的解法错误，因为两边同时除以 可能漏解（当 时）；乙的解法正确，通过移项和因式分解得到所有解． 【详解】解：∵方程的解可能为或，甲同学两边同时除以时，未考虑的情况，导致漏解； 乙同学移项得， 移项，得， ， 或， 解得， ∴完全正确的是乙． 故选C． 6. 对于反比例函数，下列说法正确的是（） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x增大而减小 D. 图象与x轴有交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数在限定定义域内的性质，根据反比例函数的图象和性质，结合的条件进行判断． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第一象限，且y随x增大而减小；图象与坐标轴无交点． 对于A：当时，，该项错误； 对于B：由于，图象仅位于第一象限，不涉及第三象限，该项错误； 对于C：在第一象限内，y随x增大而减小，该项正确； 对于D：反比例函数图象不与坐标轴相交，该项错误． 故选：C． 7. 下列事件中，必然事件是（　　） A. 实数的绝对值是非负数 B. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 D. 抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指一定发生的事件；A选项实数的绝对值总是非负数，故为必然事件；B、C、D选项均为随机事件，不一定发生． 【详解】解：∵ 任何实数的绝对值都满足，即非负数，∴ A是必然事件； ∵ 只有当两直线平行时同位角才相等，∴ B不是必然事件； ∵ 抛硬币落地后正面朝上可能发生也可能不发生，∴ C不是必然事件； ∵ 抛掷骰子向上的点数可能为1至6中的任意一个，∴ D不是必然事件． 故选：A． 8. 如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（ ） A. P， B. A， C. P， D. A， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键．根据条件得出，，确定旋转中心，根据条件得出，确定旋转角度数． 【详解】解：∵是由按顺时针方向旋转而得， ∴， ∴，，， ∴， ∴是以点A为旋转中心顺时针旋转得到的． 故选：D． 9. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 10. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点与点是关于原点的对称点 ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 11. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴性质、二次函数与一元二次方程的关系及不等式的变形，熟练掌握二次函数对称轴与方程两根的对称关系是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，利用对称轴的性质得到两个根的对称关系．根据局部细节图确定较小根的取值范围．利用对称关系推导出较大根的取值范围，从而选出正确选项． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴， 设方程的两根为（）， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 由局部图知， ∴， 即， 故选：C． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点和函数特殊值对应的图象位置是解题的关键．通过二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合函数表达式的特殊值，逐一判断选项． 【详解】解：∵图象开口向上，∴； ∵对称轴，∴； ∵图象与轴交于负半轴，∴； ∴，故A项错误． ∵图象与轴有2个交点，∴，故B项错误． ∵当时，，且图象过，∴，故C项正确． ∵当时，，且图象过上方，∴，故D项错误． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数比较大小，涉及二次函数图象与性质、二次函数增减性等知识，先判断增减性，再求出对称轴，根据点到对称轴的距离求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴点B离对称轴最近，点C离对称轴最远， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为______． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】本题考查了网络圆弧．熟练掌握垂径定理的推论：线段垂直平分线性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦和的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线性质和勾股定理，得，，根据勾股定理的逆定理，得． 【详解】解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 15. 若是实数，且，则2b+c=_________. 【答案】17 【解析】 【分析】先移项，再利用配方法得到，即有．然后根据非负数的性质解得a=0，b=3，c=11，最后代入求得答案即可. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得，a=0，b=3，c=11， ∴2b+c=2×3+11=17. 故答案为17. 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数和性质，主要利用完全平方公式分组分解解决问题. 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=BC=1， ∴AB=； 根据题意得：△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动； ∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示： ∴点A经过的路线与x轴围成的图形是： 一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形； ∴点A经过路线与x轴围成图形的面积 ． 故答案为：π+． 【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键． 三、解答题：（本大题共9个小题，共98分） 17. 解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 18. 如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． （1）求弦的长； （2）若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作于，则，然后由等腰三角形的性质可得，则，最后由勾股定理即可求解； （）设圆锥体底面半径为，再根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于， 由垂径定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设圆锥体底面半径为， ∵该扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长， ∴， ∴． 19. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸（）、氯化钠（）、稀盐酸（）、碳酸钠（）四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液（）、稀盐酸溶液（））可以用来除铁锈． （1）从中随机抽取一瓶，这瓶溶液可以用于除铁锈的概率是_________； （2）从中随机抽取两瓶，请利用列表或画树状图的方法求出这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用列表法或画树状图法求概率，不重复不遗漏画出树状图得到所有可能的结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先根据题意列表或画出树状图得到所有可能的结果数和满足题意的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有瓶试剂瓶，随机抽取一瓶，每瓶被抽到的可能性相等，其中能除铁锈的有：稀硫酸溶液（）、稀盐酸溶液（）两种可能， 随机抽取一瓶，这瓶溶液可以用于除铁锈的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中这两瓶溶液都可以用于除铁锈的结果有：，，共种， 这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率为． 答：这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率为． 20. 已知抛物线经过点． （1）求m的值及此抛物线的顶点坐标． （2）该抛物线如何平移可得到抛物线． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数图象的平移，关键是利用二次函数的性质解题． （1）把点代入，求出m的值，再化为顶点式，即可作答． （2）根据二次函数的平移规律，即可作答． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得： ∴该抛物线顶点坐标 【小问2详解】 解：先向左平移0.5个单位长度，再向下平移4.5个单位长度，可得到抛物线． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）当时，y的取值范围？ （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点和与坐标轴的交点，利用二次函数图象解不等式，二次函数上点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式即可； （2）求出当时的函数值，结合函数的图象求出y的取值范围； （3）令求出、点坐标，令求出点坐标，作轴交直线于交轴于，可求出解析式及点坐标，利用求解即可． 【小问1详解】 解：， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵顶点的坐标为， ∴当时，， 由图象得当时，； 【小问3详解】 解：令，即， 解得，，， ，， 令，则， ， 设解析式为，代入坐标得： 解得， ∴解析式为， 作轴交直线于， 当时，代入， ∴， ， ． 23. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径，，的半径为5， ，， ， ，， ， ， ， 长是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 24. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点B． （1）反比例函数的解析式为______； （2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集； （3）如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接． ①求的面积； ②直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）①根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积；②求出直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：①如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ②由①得：， ∴点， ∵， ∴可设直线得解析式为， 把点代入得：， ∴， ∴直线得解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴． 25. 已知：PA=，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧． (1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长； (2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小． 【答案】（1），；（2）的最大值为6 【解析】 【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出； 求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出； 解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出； （2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°． 【详解】(1)① 如图，作AE⊥PB于点E， ∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝， ∴AE＝PE＝×＝1， ∵PB＝4， ∴BE＝PB﹣PE＝3， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ∴AB＝＝． ②解法一： 如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB， 可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A． ∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90° ∴PP′＝PA＝2， ∴PD＝P′B＝＝＝； 解法二： 如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G． 在Rt△AEG中， 可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝． 在Rt△PFG中， 可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝． 在Rt△PDF中，可得， PD＝＝＝． (2)如图所示， 将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值， ∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝ PA＝2，PB＝4， 且P、D两点落在直线AB的两侧， ∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图） 此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6． 此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°． 【点睛】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中通过添加辅助线，确定P′B取得最大值时点P′位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $