模块综合检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

模块综合检测 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知角α的终边过点P（－4m，3m）（m≠0），则2sin α＋cos α的值是（　　） A.1或－1　　　　　　　B.或－ C.1或－ D.－1或 解析：B　当m＞0时，2sin α＋cos α＝2×＋＝；当m＜0时，2sin α＋cos α＝2×＋＝－. 2.已知向量a＝（cos 75°，sin 75°），b＝（cos 15°，sin 15°），则｜a－b｜的值为（　　） A. B.1 C.2 D.3 解析：B　如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则｜a－b｜＝｜｜且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又｜a｜＝｜b｜＝1，则△AOB为正三角形，从而｜｜＝｜a－b｜＝1. 3.函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin 2x的图象，可将f（x）的图象（　　） A.向右平移个单位　　 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 解析：A　因为f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π），函数图象过点，所以－1＝sin⇒φ＝，因此函数f（x）＝sin的图象向右平移个单位得到函数g（x）＝sin 2x的图象，故选A. 4.函数f（x）＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是（　　） A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2 解析：C　因为函数f（x）＝sin＋cos＝（sin＋cos）＝（sincos＋cossin）＝sin，所以函数f（x）的最小正周期T＝＝6π，最大值为.故选C. 5.已知tan θ＋＝4，则cos2＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2＝＝＝＝＝. 6.如图，四个边长为1的小正方形组成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i＝1，2，…，7）是小正方形除A，B外的各个顶点，则·（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（　　） A.7 B.5 C.3 D.1 解析：C　由数量积的定义知·＝｜｜｜｜·cos∠PiAB（i＝1，2，…，7），记其值为m，从题图中可看出，对于P2，P5，m＝0；对于P1，P3，P6，m＝2；对于P4，P7，m＝4.故不同值的个数为3. 7.已知函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（　　） A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝对称 解析：C　因为T＝＝π，所以ω＝2，于是f（x）＝sin，因为f（x）在对称轴上取到最值，所以f＝sin＝1≠0，A不对；f＝sin≠0，B不对；又因为f＝sin＝1，C符合题意；f＝sin≠±1，D不对. 8.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（＋）·的最小值是（　　） A.2 B.0 C.－1 D.－2 解析：D　由平行四边形法则得＋＝2，故（＋）·＝2·，又｜｜＝2－｜｜，且，反向，设｜｜＝t（0≤t≤2），则（＋）·＝2·＝－2t（2－t）＝2（t2－2t）＝2[（t－1）2－1].因为0≤t≤2，所以当t＝1时，（＋）·有最小值，最小值为－2. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a＝λb，λ∈R，则｜a－b｜可以为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：BD　由a＝λb可知a∥b，即a与b夹角为0或π，｜a－b｜2＝a2＋b2－2｜a｜·｜b｜·cos 0＝｜a｜2＋｜b｜2－2｜a｜·｜b｜＝1＋4－4＝1或｜a－b｜2＝a2＋b2－2｜a｜·｜b｜cos π＝｜a｜2＋｜b｜2＋2｜a｜·｜b｜＝1＋4＋4＝9，所以｜a－b｜＝1或3. 10.在△ABC中，＝c，＝a，＝b，在下列命题中，是真命题的有（　　） A.若a·b＞0，则△ABC为锐角三角形 B.若a·b＝0，则△ABC为直角三角形 C.若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形 D.若c·a＋c2＝0，则△ABC为直角三角形 解析：BCD　若a·b＞0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；若a·b＝c·b，b·（a－c）＝0，·（－）＝0，·（＋）＝0，取AC中点D，连接BD（图略），则·2＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；因为c·a＋c2＝·＋＝·（＋）＝0，所以·＝0，所以⊥，即△ABC为直角三角形，D正确.故选B、C、D. 11.对于函数f（x）＝cos，给出下列结论，正确的是（　　） A.函数f（x）的最小正周期为2π B.函数f（x）在上的值域是 C.函数f（x）在上是减函数 D.函数f（x）的图象关于点对称 解析：CD　由诱导公式可得f（x）＝cos（2x－）＝sin 2x，所以T＝＝＝π≠2π，A错误；若x∈，则2x∈，sin 2x∈，故函数f（x）在上的值域是，B错误；令＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），即＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），函数f（x）在（k∈Z）上单调递减，当k＝0时，函数f（x）在上是减函数，所以C正确；令2x＝kπ（k∈Z），则x＝（k∈Z），函数f（x）＝sin 2x的对称中心为（k∈Z），当k＝－1时，函数f（x）的图象关于点对称，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知向量a＝（1－sin θ，1），b＝（θ为锐角），且a∥b，则tan θ＝　1　. 解析：因为a∥b，所以（1－sin θ）（1＋sin θ）－＝0.所以cos2θ＝，因为θ为锐角，所以cos θ＝，所以θ＝，所以tan θ＝1. 13.已知sin（α＋）－cos α＝，则cos（2α＋）＝　－　. 解析：sin（α＋）－cos α＝sin α－cos α＝sin（α－）＝，∴cos（2α＋）＝cos［2（α－）＋π］＝－cos［2（α－）］＝2sin2（α－）－1＝－. 14.若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（0＜ω＜，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，A（0，），C（2，0），并且AB∥x轴，则cos ∠ACB的值为　　. 解析：由已知f（0）＝2sin φ＝，又｜φ｜＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin，由f（2）＝0，即2sin＝0，所以2ω＋＝2kπ＋π，k∈Z，解得ω＝kπ＋，k∈Z，而0＜ω＜，所以ω＝，所以f（x）＝2sin，令f（x）＝，得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k＋1，由题图可知，B（1，）.所以＝（－2，），＝（－1，），所以｜｜＝，｜｜＝2，所以cos ∠ACB＝＝＝. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知向量a＝（1，sin θ），b＝（2，1）. （1）当θ＝时，求向量2a＋b的坐标； （2）若a∥b，且θ∈，求sin的值. 解：（1）因为θ＝，所以a＝，所以2a＋b＝2＋（2，1）＝（4，2）. （2）因为a∥b，所以sin θ＝. 又θ∈，所以cos θ＝， 所以sin＝sin θcos ＋cos θsin ＝. 16.（本小题满分15分）已知平面四边形ABCD中，｜｜＝｜｜＝2｜｜＝2，｜｜＝，向量，的夹角为. （1）求·； （2）点E在线段BC上，求·的最小值. 解：（1）根据题意，画出平面四边形ABCD的示意图，如图①所示. 因为｜｜＝｜｜＝2，∠BAD＝， 所以△ABD为等边三角形，则｜｜＝2. 又｜｜＝1，｜｜＝， 所以｜｜2＋｜｜2＝｜｜2， 则△BCD为直角三角形，且∠C＝， ∠DBC＝. 所以∠ABC＝＋＝， 所以·＝｜｜｜｜cos ＝0. （2）根据题意，建立如图②所示的平面直角坐标系. 易知A（0，2），D（，1），设E（a，0），0≤a≤， 则＝（－a，2），＝（－a，1）， 所以·＝（－a，2）·（－a，1）＝a2－a＋2＝＋. 所以当a＝时，·取得最小值. 故·的最小值为. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝（2cos2x－1）sin 2x＋cos 4x. （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）若α∈（0，π），且f＝，求tan（α＋）的值. 解：（1）∵f（x）＝（2cos2x－1）sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝（sin 4x＋cos 4x） ＝sin， ∴函数f（x）的最小正周期T＝. 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得＋≤x≤＋，k∈Z. ∴函数f（x）的单调递减区间为［＋，＋］，k∈Z. （2）∵f＝，∴sin＝1. 又α∈（0，π），∴－＜α－＜， ∴α－＝，故α＝. 因此tan＝＝＝2－. 18.（本小题满分17分）已知向量＝（cos x，sin x），＝，且x∈［－，］. （1）若f（x）＝·，求函数f（x）关于x的解析式； （2）求f（x）的值域； （3）设t＝2f（x）＋a的值域为D，且函数g（t）＝t2＋t－2在D上的最小值为2，求a的值. 解：（1）f（x）＝·＝cos xcos x－sin xsin x＝cos＝cos 2x. （2）由（1）知f（x）＝cos 2x， ∵x∈，∴2x∈， ∴cos 2x∈[0，1].故函数f（x）的值域为[0，1]. （3）由（2）知2f（x）＋a∈[a，a＋2]，即D＝[a，a＋2]. ①当a＋2≤－1，即a≤－3时，g（t）min＝g（a＋2）＝（a＋2）2＋（a＋2）－2＝2，解得a＝－6或a＝0（舍）. ②当a＜－1＜a＋2，即－3＜a＜－1时，g（t）min＝g（－1）＝－1－2＝－，不合题意. ③当a≥－1时，g（t）min＝g（a）＝a2＋a－2＝2，解得a＝2或a＝－4（舍）. 综上所述，a＝2或a＝－6. 19.（本小题满分17分）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC，AC上的两点，且＝，＝λ（0≤λ≤1），AE，BF相交于点P. （1）求｜｜的值； （2）试问：当λ为何值时，AE⊥BF？ （3）求证：·≥·. 解：（1）因为＝，所以＝－＝－， 所以｜｜2＝｜－｜2＝｜｜2－·＋｜｜2， 得｜｜2＝×42－×4×4×＋42＝13， 所以｜｜＝. （2）因为＝λ，所以＝＋＝＋λ， 所以·＝（＋λ）·（－）＝·－｜｜2＋λ·－λ·＝×4×4×－42＋λ×4×4×－λ×4×4×（－）＝－10＋14λ， 因为AE⊥BF，所以·＝0，即－10＋14λ＝0，解得λ＝， 故当λ＝时，AE⊥BF. （3）证明：＝－＝－－（λ－1）＝－＋（1－λ）， ·＝·［－＋（1－λ）］＝－·＋（1－λ）· ＝－×4×4×cos 60°＋（1－λ）×4×4×cos 120° ＝－×4×4×＋（1－λ）×4×4×（－）＝8λ－10， 因为0≤λ≤1，所以·－·＝－10＋14λ－（8λ－10）＝6λ≥0， 所以·≥·. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $