章末检测（8） 向量的数量积与三角恒等变换-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦向量的数量积与三角恒等变换核心知识，通过章末检测梳理向量垂直、投影及三角二倍角、和差公式的应用，搭建从基础概念到综合解题的学习支架。 资料特色在于题目融合实际情境如黄金分割构图，培养数学眼光，综合题训练逻辑推理的数学思维，解答题提升符号表达的数学语言能力，助力学生巩固知识，教师精准评估教学效果。

章末检测（八）　向量的数量积与三角恒等变换 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知向量a＝（－1，3），b＝（1，k），若a⊥b，则实数k的值是（　　） A.3　　　　　　　　　　 B.－3 C. D.－ 解析：C　∵a⊥b，∴a·b＝－1×1＋3k＝0，∴k＝. 2.＝（　　） A.2 B. C. D. 解析：D　＝＝＝，故选D. 3.已知sin＝，则cos＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.故选A. 4.已知｜a｜＝｜b｜＝3，e是与b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为e，则向量a与b的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：B　根据题意，设a与b的夹角为θ.已知向量a在向量b上的投影向量为（｜a｜cos θ）e＝e，｜a｜＝3，则有cos θ＝.又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，故选B. 5.已知sin 2α＝，tan（α－β）＝，则tan（α＋β）＝（　　） A.－1 B.－2 C.－ D. 解析：B　由sin 2α＝，且＜2α＜π，可得cos 2α＝－，所以tan 2α＝－，所以tan（α＋β）＝tan[2α－（α－β）]＝＝＝－2. 6.已知向量a＝（1，），b＝（3，m）.若向量b在a方向上的投影的数量为3，则实数m＝（　　） A.2 B. C.0 D. － 解析：B　因为向量b在a方向上的投影的数量为，所以＝＝＝3，解得m＝. 7.已知sin（α＋2β）＝，cos β＝，α，β为锐角，则sin（α＋β）的值为（　　） A. B. C. D. 解析：D　因为sin（α＋2β）＝，cos β＝，α，β为锐角，又cos（2β）＝2cos2β－1＝－＜0，所以α＋2β大于90°.由同角三角函数关系，可得cos（α＋2β）＝－，sin β＝，所以sin（α＋β）＝sin[（α＋2β）－β]＝sin（α＋2β）cos β－cos（α＋2β）sin β＝×－×＝，故选D. 8.已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（1，），其中θ∈[0，π]，则a·b的取值范围是（　　） A.[－1，2] B.[－1，1] C.[－2，2] D.[－，2] 解析：A　a·b＝cos θ＋sin θ＝2sin，∵θ∈[0，π]，∴θ＋∈，∴sin∈，∴a·b∈[－1，2].故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知0＜θ＜，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的有（　　） A. B. C. D. 解析：AD　∵sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴＝，∴tan＝＝＝＝＝＝. 10.已知sin α＝－，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是（　　） A.sin 2α＝－ B.sin ＝ C.cos ＝－ D.tan ＝－2 解析：BCD　∵180°＜α＜270°，∴cos α＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A错误.∵90°＜＜135°，∴sin ＝ ＝ ＝；cos ＝－ ＝ ＝－；tan ＝＝－2，故B、C、D均正确. 11.设函数f（x）＝sin＋cos，则f（x）（　　） A.是偶函数 B.在单调递减 C.最大值为2 D.其图象关于直线x＝对称 解析：ABD　f（x）＝sin＋cos（2x＋）＝sin＝cos 2x.选项A，f（－x）＝cos（－2x）＝cos 2x＝f（x），它是偶函数，A正确；选项B，x∈，所以2x∈（0，π），因此f（x）在上单调递减，B正确；选项C，f（x）＝cos 2x的最大值为，C不正确；选项D，当x＝时，f（x）＝cos＝－，因此当x＝时，函数有最小值，因此函数图象关于x＝对称，D正确.故选A、B、D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知2sin α＋cos β＝，2cos α＋sin β＝－，则sin（α＋β）＝　－　. 解析：由2sin α＋cos β＝两边平方可得4sin2α＋4sin αcos β＋cos2β＝　①，由2cos α＋sin β＝－两边平方可得4cos2α＋4cos αsin β＋sin2β＝　②，①＋②，可得5＋4sin αcos β＋4cos αsin β＝3，即4sin（α＋β）＝－2，即sin（α＋β）＝－. 13.已知向量a＝（2，4），b＝（－2，2），若c＝a＋（a·b）b，则｜c｜＝　6　，cos＜a，b＞＝　　. 解析：由题知a·b＝2×（－2）＋4×2＝4，所以c＝a＋4b＝（－6，12），｜c｜＝＝6.cos＜a，b＞＝＝＝. 14.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点.若照片长、宽比例为7∶3，设∠CAB＝α，则－tan α＝　　. 解析：依题意＝，所以tan α＝，所以－tan α＝－tan α＝－tan α＝＝＝＝. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知｜a｜＝4，｜b｜＝8，a与b的夹角是120°. （1）求a·b及｜a＋b｜的值； （2）当k为何值时，（a＋2b）⊥（ka－b）？ 解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝－16，｜a＋b｜＝＝＝4. （2）由题意，知（a＋2b）·（ka－b）＝ka2＋（2k－1）a·b－2b2＝0，即16k－16（2k－1）－2×64＝0，解得k＝－7. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1，x∈R. （1）求f（x）的最大值； （2）若点P（－3，4）在角α的终边上，求f（α＋）的值. 解：（1）f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 因为x∈R，所以f（x）的最大值为. （2）由（1）得f＝sin ＝sin＝cos 2α. 由P（－3，4）在角α的终边上，得cos α＝－. 所以f＝2cos2α－＝－. 17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知A（2，3），B（1，4），C（3，3）. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若点D满足∥，⊥，求点D的坐标及向量在向量上的投影向量的坐标. 解：（1）因为A（2，3），B（1，4），C（3，3）， 所以＝（2，3），＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1）， 所以cos＜，＞＝＝＝， 故向量与夹角的余弦值为. （2）依题意可得＝（1，4），＝（3，3）， 由∥，不妨设＝λ＝（λ，4λ）（λ≠0）， 所以＝＋＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，4λ＋3）， 因为⊥， 所以·＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝－1， 所以＝（1，－1），即D（1，－1）， 所以·＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜｜＝＝， 所以向量在向量上的投影向量为·＝·（1，4）＝（－，－）， 故向量在向量上的投影向量的坐标为（－，－）. 18.（本小题满分17分）在①tan α＝4，②7sin 2α＝8cos α，③tan ＝中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知0＜β＜α＜，　　，cos（α－β）＝. （1）求sin的值； （2）求β. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选条件①：因为tan α＝4，所以＝4. 由平方关系sin2α＋cos2α＝1， 解得或 因为α∈，所以 （1）sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝（sin α＋cos α）＝＝. （2）因为cos（α－β）＝，所以由sin2（α－β）＋cos2（α－β）＝1，解得sin2（α－β）＝. 因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜， 所以sin（α－β）＝， 所以cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin（α－β）sin α＝×＋×＝， 由0＜β＜，所以β＝. 选条件②：因为7sin 2α＝8cos α， 所以14sin αcos α＝8cos α， 因为α∈，所以cos α≠0， 所以sin α＝. 由平方关系sin2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝. 因为α∈，所以cos α＝. 以下同①的解法. 选条件③：因为tan ＝， 所以cos α＝cos2－sin2＝＝＝. 由平方关系sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝. 因为α∈，所以sin α＝. 以下同①的解法. 19.（本小题满分17分）已知斜三角形ABC. （1）证明：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B·tan C； （2）利用（1）中结论，求值： ①tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°， ②； （3）若C＝135°，求tan A＋tan B的最小值. 解：（1）证明：∵C＝π－（A＋B），∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）， ∴tan C＝－， ∴tan C（1－tan Atan B）＝－（tan A＋tan B）， ∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C. （2）①tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40° ＝tan 20°＋tan 40°＋tan 120°＋tan 20°tan 40°＋ ＝tan 20°tan 40°tan 120°＋tan 20°tan 40°＋ ＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＋＝. ②＝＝tan 120°＝－. （3）∵C＝135°，则0°＜A＜45°，0°＜B＜45°，且A＋B＝45°， ∴tan A＞0，tan B＞0， ∴tan A＋tan B＝－tan 135°＋tan Atan Btan 135°＝1－tan Atan B≥1－， ∴（tan A＋tan B）2＋4（tan A＋tan B）－4≥0， 解得tan A＋tan B≥2－2或tan A＋tan B≤－2－2（舍去）， ∴tan A＋tan B≥2－2，当且仅当tan A＝tan B＝－1时取等号， ∴tan A＋tan B的最小值为2－2. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $