第8章 向量的数量积与三角恒等变换 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦平面向量数量积、三角函数运算及逻辑推理应用，通过高考真题导入，衔接向量与三角函数基础，搭建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料融入2024年新高考真题，采用一题多解（如例2向量最值问题的代数与坐标法），分层设置“培优”模块，培养数学运算与逻辑推理素养，助力学生提升解题能力，为教师提供系统培优资源，提高教学效率。

一、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.本章中向量数量积的运算、最值，三角函数式的求值都彰显核心素养中的数学运算. 培优一 平面向量的数量积 【例1】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A.－2　　　　　　　 B.－1 C.1 D.2 （2）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝｜b｜＝2，则a在a－b方向上的投影的数量为（　　） A.1 B. C. D. 答案：（1）D　（2）B 解析：（1）法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D. （2）由向量的数量积公式可得a·（a－b）＝｜a｜｜a－b｜·cos＜a，a－b＞，∴a在a－b方向上的投影的数量为｜a｜cos＜a，a－b＞＝＝.又a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝2×2×cos 120°＝ －2，｜a｜＝｜b｜＝2，∴｜a｜cos＜a，a－b＞＝＝，故选B. 培优二 平面向量中的最值问题 【例2】　已知平面单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是　　. 解析：法一　因为单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤， 所以｜2e1－e2｜2＝5－4e1·e2≤2， 即e1·e2≥. 因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ， 所以cos2 θ＝＝ ＝＝. 不妨设t＝e1·e2，则t≥，cos2 θ＝， 又y＝在上单调递增， 所以cos2 θ≥＝， 所以cos2 θ的最小值为. 法二　由题意，不妨设e1＝（1，0），e2＝（cos x，sin x）. 因为｜2e1－e2｜≤，所以≤， 得5－4cos x≤2，即cos x≥. 易知a＝（1＋cos x，sin x），b＝（3＋cos x，sin x）， 所以a·b＝（1＋cos x）（3＋cos x）＋sin2 x＝4＋4cos x， ｜a｜2＝（1＋cos x）2＋sin2 x＝2＋2cos x，｜b｜2＝（3＋cos x）2＋sin2 x＝10＋6cos x， 所以cos2θ＝＝＝. 不妨设m＝cos x，则m≥，cos2 θ＝， 又y＝在上单调递增， 所以cos2 θ≥＝， 所以cos2 θ的最小值为. 培优三 三角函数式的求值 【例3】　（1）（2024·全国甲卷理8题）已知＝，则tan（α＋）＝（　B　） A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ （2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　A　） A.－3m B.－ C. D.3m （3）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　－　. 解析：（1）根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B. （2）因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A. （3）法一　由题意得tan（α＋β）＝＝＝－2，因为α∈（2kπ，2kπ＋），β∈（2mπ＋π，2mπ＋），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则＝－2，联立sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，解得sin（α＋β）＝－. 法二　由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2），则r＝｜OP｜＝＝3，所以sin（α＋β）＝－. 法三　易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－. 二、逻辑推理 　　在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成论据充分、条理清楚、合乎逻辑的思维品质，在本章中向量数量积的应用、三角函数式的化简与证明、三角恒等变换与三角函数的综合应用都是提升学生的逻辑推理能力. 培优四 向量数量积的应用 【例4】　若三个不共线的向量，，，满足·＝·＝·＝0，则点O为△ABC的（　　） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析：A　由题意知与＋＝（E在∠BAC的外角平分线上）垂直，所以点O在∠BAC的平分线上.同理，点O在∠ABC的平分线上.故点O为△ABC的内心. 培优五 三角函数式的化简与证明 【例5】　证明：＝tan θ. 证明：法一　左边＝ ＝ ＝ ＝tan θ＝右边. 法二　左边＝ ＝ ＝ ＝tan θ＝右边. 培优六 三角恒等变换与三角函数的综合问题 【例6】　已知函数f（x）＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R. （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在上的最小值和最大值. 解：（1）由已知，有f（x）＝cos x·（sin x＋cos x）－cos2x＋ ＝sin x·cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－（1＋cos 2x）＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin， f（x）的最小正周期T＝＝π. （2）∵f（x）在区间上是减函数， 在区间上是增函数， f＝－，f＝－，f＝， ∴函数f（x）在闭区间上的最大值为，最小值为－. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $