8.2.2 第2课时 两角和与差的正切-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦“两角和与差的正切”核心知识点，通过网格图形中α、β角的正切值问题导入，衔接已学正余弦和差公式，搭建从具体几何情境到抽象公式推导的学习支架。 资料以几何直观培养数学眼光，通过公式结构特征（“分子同，分母反”）和变形应用训练数学思维，结合判定三角形形状等实例提升数学语言表达能力，如例3利用正切公式推导三角形内角关系，助力学生深化推理与应用能力，为教师提供分层题型与教学思路，提升课堂效率。

第二课时　两角和与差的正切 　 　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β. 【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的正切 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan（α＋β）＝　　 Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 tan（α－β）＝　　 Tα－β α，β，α－β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠－1 提醒　两角和与差的正切公式的变形：①tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；②tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；③tan αtan β＝1－. 【想一想】 　两角和与差的正切公式的有哪些结构特征？ 提示：公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关系为： 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立.（　√　） （2）对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立.（　×　） （3）tan能根据公式tan（α＋β）直接展开.（　×　） 2.已知tan α＝3，tan β＝，则tan（α＋β）＝（　　） A.－　　　B.－　　　C.　　　D. 解析：A　∵tan α＝3，tan β＝，∴tan（α＋β）＝＝＝－. 3.设角θ的终边过点（2，3），则tan＝　　. 解析：由于角θ的终边过点（2，3），因此tan θ＝，故tan＝＝＝. 题型一 利用公式化简求值 【例1】　求下列各式的值： （1）tan 15°；（2）； （3）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 解：（1）tan 15°＝tan（45°－30°）＝＝＝＝2－. （2）＝＝ ＝tan（30°－75°）＝tan（－45°）＝－tan 45°＝－1. （3）因为tan（23°＋37°）＝tan 60°＝＝， 所以tan 23°＋tan 37°＝（1－tan 23°tan 37°）， 所以原式＝（1－tan 23°tan 37°）＋tan 23°tan 37°＝. 通性通法 1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））.三者知二可表示或求出第三个. 2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1）； （2）tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°. 解：（1）原式＝＝ ＝tan（45°－75°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－. （2）原式＝tan 120°（1－tan 36°tan 84°）－tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－. 题型二 根据条件求值或角 【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. （1）求tan（α＋β）的值； （2）求α＋2β的值. 解：由条件得cos α＝，cos β＝， 因为α，β为锐角， 所以sin α＝，sin β＝， 所以tan α＝7，tan β＝. （1）tan（α＋β）＝＝＝－3. （2）tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β] ＝＝＝－1， 因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜， 所以α＋2β＝. 通性通法 1.通过先求角的某个三角函数值来求角. 2.选取函数时，应遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好. 3.给值求角的一般步骤： （1）求角的某一三角函数值； （2）确定角的范围； （3）根据角的范围写出所求的角. 【跟踪训练】 1.已知sin α＝，α为第二象限的角，且tan（α＋β）＝－，则tan β的值为（　　） A.－　　　　　　　　 B. C.－ D. 解析：C　因为α为第二象限角，所以cos α＜0，解得cos α＝－，所以tan α＝－.tan β＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝－. 2.已知tan（α－β）＝，tan β＝－，α，β∈（0，π），求2α－β的值. 解：因为tan β＝－，tan（α－β）＝， 所以tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝， tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝＝＝1.因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0， 所以α∈，β∈. 所以α－β∈（－π，0）. 又因为tan（α－β）＝＞0， 所以α－β∈，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，0）. 而tan（2α－β）＝1，所以2α－β＝－. 题型三 判定三角形形状 【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状. 解：由tan A＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C） ＝＝＝－. 又0°＜A＜180°，所以A＝120°. 由tan C＝tan[π－（A＋B）]＝ ＝＝， 又0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°. 所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形. 【母题探究】 　（变条件）本例中把条件改为“tan B＋tan C－tan B·tan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？ 解：由tan A＝tan [π－（B＋C）] ＝－tan（B＋C）＝ ＝＝. 又0°＜A＜180°，所以A＝60°. 由tan C＝tan [π－（A＋B）] ＝＝＝. 又0°＜C＜180°， 所以C＝60°，所以B＝60°. 所以△ABC是等边三角形. 通性通法 公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略 （1）“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan； （2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式. 1.已知α∈，sin α＝，则tan＝（　　） A.　　　　　　　　　 B.－ C. D.－ 解析：B　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝，所以tan＝＝－. 2.已知α＋β＝－，则（1＋tan α）（1＋tan β）的值是（　　） A.－1 B.1 C.2 D.4 解析：C　（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）＋1＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋1＋tan αtan β＝2. 3.tan ＝　－2＋　. 解析：tan ＝－tan ＝－tan＝－＝－2＋. 4.已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝　　. 解析：因为tan α＝，tan β＝，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝. 5.已知tan（α＋β）＝，tan＝，求tan的值. 解：因为α＋＝（α＋β）－， 所以tan＝tan ＝＝＝. 1.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（－3，－4），则tan＝（　　） A.－　　　　　　　　 B.－7 C. D. 解析：B　由三角函数的定义可得tan α＝＝，所以tan＝＝＝－7.故选B. 2.已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：D　由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2. 3.若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝（　　） A.m B.（1－m） C.（m－1） D.（m＋1） 解析：B　由公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°（1－tan 28°tan 32°）＝（1－m）. 4.已知tan＝，tan＝－，则tan的值为（　　） A. B. C. D.1 解析：D　tan（α＋）＝tan［－］＝＝1. 5.（多选）下列结果为的是（　　） A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35° B.（1＋tan 20°）（1＋tan 40°） C. D. 解析：AC　对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan（25°＋35°）·（1－tan 25°·tan 35°）＝－tan 25°tan 35°，所以原式＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.对选项B，（1＋tan 20°）（1＋tan 40°）＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋（1－tan 20°tan 40°）＋tan 20°·tan 40°＝1＋－（－1）tan 20°tan 40°≠.对选项C，原式＝＝tan 60°＝.对选项D，原式＝＝. 6.已知tan（α＋β）＝，tan＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　＝tan＝tan［（α＋β）－］＝＝＝＝，故选B. 7.已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan（α＋β）＝　1　. 解析：tan β＝＝＝tan，∵－α，β∈且y＝tan x在（－，）上是单调函数，∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan（α＋β）＝tan ＝1. 8.若tan＝－，则tan＝　　　，tan α＝　－4　. 解析：tan＝＝＝－，解得tan α＝－4，tan＝＝＝. 9.如图所示，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为　　. 解析：由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α＋β∈（0，π），所以α＋β＝. 10.已知tan＝2，tan β＝. （1）求tan α的值； （2）求的值. 解：（1）因为tan＝2，所以＝2，所以＝2，解得tan α＝. （2）原式＝＝＝＝tan（β－α）＝＝＝. 11.（1＋tan 20°）（1＋tan 21°）（1＋tan 24°）（1＋tan 25°）等于（　　 ） A.2 B.4 C.8 D.16 解析：B　由tan（20°＋25°）＝1得tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.同理（1＋tan 21°）·（1＋tan 24°）＝2.故原式等于4. 12.已知tan（α＋β）＝，tan＝－2，则tan＝　－8　，tan（α＋2β）＝　　. 解析：tan＝tan＝＝＝－8.tan＝＝－2，tan β＝－，tan（α＋2β）＝＝. 13.在①角α的终边经过点P（1，2）；②α∈，sin α＝；③α∈，sin α＋2cos α＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知　　，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：选择条件①，∵角α的终边经过点P（1，2）， ∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝. 选择条件②，∵α∈，sin α＝，∴cos α＝＝，∴tan α＝＝， 则tan （α＋β）＝＝＝4， 解得tan β＝. 选择条件③，∵α∈，sin α＋2cos α＝， 由sin2α＋cos2α＝1，则可得sin α＝，cos α＝，∴tan α＝＝3， 则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝. 14.（多选）已知tan α＝lg（10a），tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值可以为（　　） A. B.1 C. D. 解析：BD　因为α＋β＝，所以tan（α＋β）＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg（10a）＋lg ＝1－lg（10a）lg ，即1＝1－lg（10a）lg，所以lg（10a）lg＝0.lg（10a）＝0或lg＝0.得a＝或a＝1. 15.已知α，β∈，sin α＝，sin β＝. （1）求cos（α＋β）的值； （2）是否存在x，y∈，使得下列两个式子： ①＋y＝α＋β；②tan ·tan y＝2－同时成立？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵α，β∈，sin α＝，sin β＝，∴cos α＝，cos β＝ . ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝. （2）∵α＋β∈（0，π），cos（α＋β）＝，∴α＋β＝， ∴＋y＝α＋β＝.∴tan＝＝. ∵tan ·tan y＝2－，∴tan ＋tan y＝3－. ∴tan ，tan y是方程t2－（3－）t＋2－＝0的两个根. ∵x，y∈，∴0＜tan ＜1，∴tan ＝2－，tan y＝1. ∴＝，y＝，即存在x＝，y＝满足条件. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $