8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦“两角和与差的正弦公式”，通过乔布斯“思想的自行车”类比情境导入，以“类比余弦公式推导正弦公式”问题链衔接旧知，构建从公式推导到应用的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为核心，通过公式推导过程培养学生推理意识，如例1拆角化简、例3辅助角公式求最值，结合通性通法总结提升数学运算能力。分层训练与拓展课（三角形内角关系应用）助力学生巩固基础与拓展思维，教师可直接利用系统资源提升教学效率。

8.2.2　 两角和与差的正弦、正切 新课程标准解读 核心素养 1.理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程 逻辑推理 2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求 值、化简等问题 数学运算 目录 数学·必修第三册（B版） 第一课时　 两角和与差的正弦 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的 思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这 一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就 会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新. 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题】　（1）类比两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦 公式？ （2）由 sin （α＋β）能推导出 sin （α－β）吗？ 目录 数学·必修第三册（B版） 知识点　两角和与差的正弦 1. 两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和的 正弦 sin （α＋β）＝  Sα＋β α，β∈R 两角差的 正弦 sin （α－β）＝   Sα－β α，β∈R sin α· cos β＋ cos α sin β sin α· cos β－ cos α sin β 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 辅助角公式 a sin x＋b cos x＝ · sin （x＋φ）（或a sin x＋b cos x＝ · cos （x－φ）），其中 sin φ＝ 　 　， cos φ ＝ 　 　（或 cos φ＝ ， sin φ＝ ）. 　 　 目录 数学·必修第三册（B版） 提醒　两角和与差的正弦公式的结构特征：①“正余余正”表示展 开后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦；②“符号相 同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号 相同，即两角和用“＋”，两角差用“－”；③两角和与差的正弦 公式只有中间的连接符号不同. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） sin （α－β）＝ sin α cos α－ cos β sin β. （　×　） （2） sin α＋ sin β＝ sin （α＋β）. （　×　） （3） sin （α＋β－15°）＝ sin （α－15°） cos β＋ cos （α －15°） sin β. （　√　） （4） sin 15°＋ cos 15°＝ sin 60°. （　√　） × × √ √ 目录 数学·必修第三册（B版） 2. sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 140°＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　 sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 140°＝ sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 40°＝ sin 60°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 已知θ为锐角，且 sin θ＝ ，则 sin （θ－45°）＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　∵θ为锐角，且 sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝ ，∴ sin （θ－45°）＝ （ sin θ－ cos θ）＝ × ＝ － . 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 函数y＝ sin x－ cos x的最小正周期是（　　） A. B. π C. 2π D. 4π 解析： 　y＝ sin x－ cos x＝ （ sin x－ cos x）＝ sin ，所以函数的最小正周期为T＝2π. 目录 数学·必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 利用公式化简求值 【例1】　（1） ＝（　　） A. － B. － C. D. 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ sin 30°＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求 sin 157° cos 67°＋ cos 23° sin 67°的值； 解：原式＝ sin （180°－23°） cos 67°＋ cos 23° sin 67°＝ sin 23° cos 67°＋ cos 23° sin 67°＝ sin （23°＋ 67°）＝ sin 90°＝1. 目录 数学·必修第三册（B版） （3）求 sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ＋15°） 的值. 解： sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ ＋15°） ＝ sin （θ＋15°＋60°）＋ cos （θ＋15°＋30°）－ cos （θ＋15°） ＝ sin （θ＋15°） cos 60°＋ cos （θ＋15°） sin 60°＋ cos （θ＋15°）· cos 30°－ sin （θ＋15°） sin 30°－ cos （θ＋15°） ＝ sin （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）－ sin （θ＋15°）－ cos （θ＋15°）＝0. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 1. 解给角求值问题的基本思路 （1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值； （2）化为正、负相消的项，消去求值； （3）分子、分母出现公约数时进行约分求值. 2. 对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公 式求出具体数值，一般有以下三种途径： （1）化为特殊角的三角函数值； （2）化为正负相消的项，消去，求值； （3）化为分子、分母形式，进行约分再求值. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1） sin ； 解： sin ＝－ sin π＝－ sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin cos － cos sin ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） （2） －2 cos （α＋β）. 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 题型二 给值（式）求值 【例2】　设α∈ ，β∈ ，若 cos α＝－ ， sin β ＝－ ，求 sin （α＋β）的值. 目录 数学·必修第三册（B版） 解：因为α∈ ， cos α＝－ ，所以 sin α＝ ， 因为β∈ ， sin β＝－ ，所以 cos β＝ . 所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋ × ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 【母题探究】 1. （变条件）若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果 如何？ 解：因为β为第三象限角，所以 cos β＝－ . 所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋ × ＝－ ＋ ＝0. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. （变设问）若条件不变，试求 sin （α－β）＋ cos （α－ β）的值. 解： sin （α－β）＋ cos （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＋ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × － × ＋ × ＋ × ＝ － － － ＝－1. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 解给值（式）求值的策略 （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知 角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知 角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成 “已知角”. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　已知0＜α＜ ＜β＜π， sin α＝ ， sin （α＋β）＝ ，则 sin β ＝ ⁠. 解析：由0＜α＜ ＜β＜π，得 ＜α＋β＜ .又 sin α＝ ， sin （α＋β）＝ ，∴ cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ .∴ sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β）· sin α ＝ × － × ＝ . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 题型三 辅助角公式的应用 【例3】　设函数f（x）＝ sin x＋ sin . （1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合； 解： f（x）＝ sin x＋ sin x cos ＋ cos x sin ＝ sin x＋ sin x＋ cos x＝ sin x＋ cos x＝ （ sin x cos ＋ cos x sin ）＝ sin ，当 sin ＝－1时，f（x）min＝－ ， 此时x＋ ＝ ＋2kπ（k∈Z），所以x＝ ＋2kπ（k∈Z）. 所以f（x）的最小值为－ ，x的集合为{x｜x＝ ＋2kπ， k∈Z}. 目录 数学·必修第三册（B版） （2）求函数f（x）的单调区间. 解： 当2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z）， 即2kπ－ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）为增函数； 当2kπ＋ ≤x＋ ≤2kπ＋ ， 即2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）为减函数. 所以函数f（x）的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］ （k∈Z）， 函数f（x）的单调递减区间为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）. 目录 数学·必修第三册（B版） 通性通法 辅助角公式及其应用 （1）公式形式：公式a sin α＋b cos α＝ sin （α＋φ）（或 a sin α＋b cos α＝ cos （α－φ））将形如a sin α＋b cos α（a，b不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一 种三角函数式； （2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求 变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 目录 数学·必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知 sin θ＋ sin ＝1，则 sin ＝（　　） A. B. 解析： 　∵ sin θ＋ sin ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin ＝1，∴ sin ＝ ，故选B. C. D. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 函数y＝ sin （x＋10°）＋ cos （x＋40°）（x∈R）的最大值 是 ⁠. 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，∴y＝ sin α＋ cos （α＋30°）＝ sin α＋ cos α－ sin α＝ sin α＋ cos α ＝ sin （α＋60°），∴ymax＝1. 1　 目录 数学·必修第三册（B版） 　两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用 　　 　在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P ＝ sin （A＋B），Q＝ sin A＋ sin B，R＝ cos A＋ cos B的大小，并 把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来. 目录 数学·必修第三册（B版） 【问题探究】 1. 当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小. 提示：当A＝30°，B＝30°时， P＝ sin （30°＋30°）＝ sin 60°＝ ， Q＝ sin 30°＋ sin 30°＝2 sin 30°＝1， R＝ cos 30°＋ cos 30°＝2 cos 30°＝ ， ∴P＜Q＜R. 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小. 提示：当A＝30°，B＝45°时， P＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋ cos 30° sin 45° ＝ × ＋ × ＝ ， Q＝ sin 30°＋ sin 45°＝ ＋ ＝ ， R＝ cos 30°＋ cos 45°＝ ＋ ＝ ， ∵P－Q＝ － ＝ ＜0， ∴P＜Q， ∵Q－R＝ － ＝ ＜0， ∴Q＜R，∴P＜Q＜R. 目录 数学·必修第三册（B版） 3. 由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论. 提示：由问题1，2猜想P＜Q＜R. 证明：∵C为钝角，∴0＜A＋B＜ ， ∴A＜ －B，B＜ －A， ∴ cos A＞ cos ＝ sin B， cos B＞ cos ＝ sin A， ∴R－Q＝ cos A＋ cos B－ sin A－ sin B＞ sin B＋ sin A－ sin A－ sin B＝0，即R＞Q. 目录 数学·必修第三册（B版） ∵P－Q＝ sin （A＋B）－ sin A－ sin B ＝ sin A cos B＋ cos A sin B－ sin A－ sin B ＝ sin A（ cos B－1）＋ sin B（ cos A－1）＜0， ∴P＜Q. 综上可得P＜Q＜R. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？ 提示：∵P－R＝ sin （A＋B）－ cos A－ cos B ＝ sin A cos B＋ cos A sin B－ cos A－ cos B ＝（ sin A－1） cos B＋（ sin B－1） cos A＜0， ∴P＜R. ∵△ABC为锐角三角形， ∴0＜A＜ ，0＜B＜ ，A＋B＞ ， ∴ －B＜A＜ ， －A＜B＜ ， ∴ sin ＜ sin A， sin ＜ sin B， 目录 数学·必修第三册（B版） ∴R－Q＝ cos A＋ cos B－ sin A－ sin B＜ cos A＋ cos B－ sin － sin ＝ cos A＋ cos B－ cos B－ cos A＝0， ∴R＜Q，综上，P＜R＜Q. 目录 数学·必修第三册（B版） 【迁移应用】 已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan ＋ ，若任 意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论. 解：任意交换两个角的位置，y的值不变. 证明如下： ∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π， ∴ ＝ － . 目录 数学·必修第三册（B版） y＝tan ＋ ＝tan ＋ ＝tan ＋ ＝tan ＋tan ＋tan ， 因此任意交换两个角的位置，y的值不变. 目录 数学·必修第三册（B版） 1. 的值是（　　） A. B. C. 1 D. 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 2. 已知α∈（0，π）， cos ＝－ ，则 sin （－α）＝ （　　） A. B. － C. － D. 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由于α∈（0，π），α＋ ∈ ，而 cos ＝－ ＞－ ＝ cos ，所以 ＜α＋ ＜ ，所以 sin ＝ ＝ .所以 sin （－α）＝ sin ＝ sin cos － cos sin ＝ × － × ＝－ . 目录 数学·必修第三册（B版） 3. sin 15°＋ sin 75°＝（　　） A. B. 1 C. D. 解析： 　 sin 15°＋ sin 75°＝ sin 15°＋ cos 15°＝2 sin （15°＋30°）＝2 sin 45°＝ .故选C. 目录 数学·必修第三册（B版） 4. sin 155° cos 35°－ cos 25° cos 235°＝ ⁠. 解析：原式＝ sin 25° cos 35°＋ cos 25° sin 35°＝ sin （25°＋ 35°）＝ sin 60°＝ . 　 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝（ sin A， sin B），n＝（ cos B， cos A），若m·n＝1＋ cos （A＋B）， 求C. 解：因为m·n＝1＋ cos （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B， 所以 sin （A＋B）＝1＋ cos （A＋B）. 又A＋B＝π－C，整理得 sin ＝ ， 因为0＜C＜π，所以 ＜C＋ ＜ ，所以C＋ ＝ ，所以C＝ . 目录 数学·必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. sin 14° cos 16°＋ sin 76° cos 74°＝（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　原式＝ sin 14° cos 16°＋ cos 14 sin 16°＝ sin （14° ＋16°）＝ sin 30°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 2. （多选）下列四个选项，化简正确的是（　　） A. cos （－15°）＝ B. cos 15° sin 105°－ sin 15° cos 105°＝ sin （15°－105°）＝ －1 C. cos （α－35°） cos （α＋25°）＋ sin （α－35°） sin （α＋ 25°）＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos （－60°）＝ cos 60°＝ D. sin （x＋y） sin （y－x）－ cos （x＋y） cos （x－y）＝－ [ cos （x＋y） cos （x－y）＋ sin （x＋y） sin （x－y）]＝－ cos [（x＋y）－（x－y）] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　∵ cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45°· cos 30°＋ sin 45°· sin 30°＝ ，故A错.∵ cos 15° sin 105°－ sin 15° cos 105°＝ sin 105° cos 15°－ cos 105°· sin 15°＝ sin （105°－15°）＝ sin 90°＝1，故B 错.C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 3. sin θ＋ sin ＋ sin 的值为（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 解析： 　原式＝ sin θ＋ sin θ cos ＋ cos θ sin ＋ sin θ cos ＋ cos θ sin ＝ sin θ－ sin θ＋ cos θ－ sin θ－ cos θ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 4. 已知f（x）＝ sin （3x＋θ）－ cos （3x＋θ）是奇函数，且在 上是减函数，则θ的一个值是（　　） A. B. π C. π D. π 解析： 　f（x）＝ sin ，∵f（x）是奇函数，∴f （0）＝ sin ＝0，∴θ＝kπ＋ ，k∈Z. ∵f（x）在 上是减函数，∴k为奇数.当k＝1时，θ＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 5. 若0＜α＜ ＜β＜π，且 cos β＝－ ， sin （α＋β）＝ ，则 sin α的值是（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由 ＜β＜π， cos β＝－ 得 sin β＝ .又0＜α＜ ＜β＜π，所以 ＜α＋β ＜ ，所以 cos （α＋β）＝－ ＝－ ＝－ .所以 sin α＝ sin [（α ＋β）－β]＝ sin （α＋β） cos β－ cos （α＋β） sin β＝ × ＋ × ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 6. 在△ABC中，3 sin A＋4 cos B＝6，3 cos A＋4 sin B＝1，则C的大 小为（　　） A. B. C. 或 D. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　由已知可得（3 sin A＋4 cos B）2＋（3 cos A＋4 sin B）2 ＝62＋12，即9＋16＋24 sin （A＋B）＝37，所以 sin （A＋B） ＝ .所以在△ABC中， sin C＝ ，所以C＝ 或C＝ .又1－3 cos A＝4 sin B＞0，所以 cos A＜ .又 ＜ ，所以A＞ ，所以C＜ ，所以C＝ 不符合题意，所以C＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 7. 已知 cos θ＝ ，则 sin 的值为 　 　， sin 的值为 　 　. 解析：因为 cos θ＝ ，所以 sin θ＝ ＝ ，所以 sin ＝ sin θ cos ＋ cos θ sin ＝ × ＝ ； sin （θ－ ）＝ sin θ cos － cos θ sin ＝ × － × ＝ . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 8. 若 sin x＋ cos x＝4－m，则实数m的取值范围为 ⁠. 解析：∵ sin x＋ cos x＝4－m，∴ sin x＋ cos x＝ ， ∴ sin sin x＋ cos cos x＝ ，∴ cos ＝ ， ∵ ≤1，∴ ≤1，∴2≤m≤6. [2，6]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 9. 已知△ABC的内角为A，B，C. 若2 cos B sin A＝ sin C，则△ABC 的形状一定是 ⁠. 解析：因为2 cos B sin A＝ sin C，所以2 cos B sin A＝ sin （A＋B） ＝ sin A cos B＋ cos A sin B，所以 cos B sin A－ cos A sin B＝0⇒ sin （A－B）＝0.因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＝B. 等腰三角形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解：因为 ＜α－β＜π， cos （α－β）＝－ ， 所以 sin （α－β）＝ . 因为 ＜α＋β＜2π， sin （α＋β）＝－ ， 所以 cos （α＋β）＝ . 10. 已知 cos （α－β）＝－ ， sin （α＋β）＝－ ， ＜α－β ＜π， ＜α＋β＜2π，求β的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 因为 ＜α－β＜π， ＜α＋β＜2π， 所以 ＜2β＜ ，2β＝π，所以β＝ . 所以 cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝ cos （α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝ × ＋ × ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 11. （多选）已知θ为锐角，那么下列各值中， sin θ＋ cos θ可能取 的值是（　　） A. B. 解析： 　 sin θ＋ cos θ＝ sin （θ＋ ），∵0＜θ＜ ， ∴ ＜θ＋ ＜ ，∴ ＜ sin ≤1，∴1＜ sin θ＋ cos θ≤ ，∴ sin θ＋ cos θ可能取的值是 和 ，故选A、D. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 12. 函数f（x）＝ sin （x＋2φ）－2 sin φ cos （x＋φ）的最大值 为 ，最小值为 ⁠. 解析：因为f（x）＝ sin （x＋2φ）－2 sin φ cos （x＋φ）＝ sin [（x＋φ）＋φ]－2 sin φ cos （x＋φ）＝ sin （x＋φ） cos φ－ sin φ· cos （x＋φ）＝ sin x，所以函数f（x）的最大值为1，最小值 为－1. 1　 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 13. 已知函数f（x）＝A sin ，x∈R，且f（ ）＝ . （1）求A的值； 解： 由f ＝A sin ＝A sin ＝ A＝ ， 可得A＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）若f（θ）－f（－θ）＝ ，θ∈ ，求f . 解： f（θ）－f（－θ）＝ ， 则3 sin －3 sin ＝ ， 3 －3 ＝ ，得 sin θ＝ . 因为θ∈ ，所以 cos θ＝ ，f ＝3 sin ＝3 sin ＝3 cos θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 14. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，那么 β＝（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解析： 　 sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β） － cos α sin （α－β），由已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，0＜β＜α＜ ，可知 sin α＝ ， sin （α－β）＝ ，代 入上式得 sin β＝ × － × ＝ ＝ ，所以β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 15. 已知向量a＝（ sin x， cos x－1），b＝（ ，－1），设f （x）＝a·b. （1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心； （1）f（x）的最小正周期T＝2π， 令x－ ＝kπ（k∈Z），则x＝kπ＋ （k∈Z）， 又f ＝2 sin （kπ）＋1＝1， 因此函数f（x）的对称中心为 ，k∈Z. 解：由题意得f（x）＝a·b＝ sin x－ cos x＋1＝2 sin ＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） （2）已知α为锐角，β∈（0，π），f ＝ ， sin （α＋ β）＝－ ，求 sin （2α＋β）的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） 解： f ＝2 sin ＋1＝2 sin α＋1＝ ⇒ sin α＝ . ∵α∈ ，∴ cos α＝ . ∵α∈ ，β∈（0，π），∴α＋β∈ . 又 sin （α＋β）＝－ ＜0，∴α＋β∈ ， ∴ cos （α＋β）＝－ ， ∴ sin （2α＋β）＝ sin [（α＋β）＋α]＝ sin （α＋β） cos α ＋ cos （α＋β） sin α＝－ × ＋ × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第三册（B版） $