8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦两角和与差的正弦公式及辅助角公式，通过类比两角和差的余弦公式推导过程导入，搭建知识迁移支架，帮助学生梳理公式逻辑脉络。 以问题驱动引导逻辑推理，通过分层题型（判断、选择、解答）强化数学运算，结合三角形应用拓展培养数学语言表达，助力学生提升核心素养，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 新课程标准解读 核心素养 1.理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程 逻辑推理 2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求值、化简等问题 数学运算 第一课时　两角和与差的正弦 　　 乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新. 【问题】　（1）类比两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？ （2）由sin（α＋β）能推导出sin（α－β）吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的正弦 1.两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和的正弦 sin（α＋β）＝sin α·cos β＋cos αsin β Sα＋β α，β∈R 两角差的正弦 sin（α－β）＝sin α·cos β－cos αsin β Sα－β α，β∈R 2.辅助角公式 asin x＋bcos x＝·sin（x＋φ）（或asin x＋bcos x＝·cos（x－φ）），其中sin φ＝　　，cos φ＝　　（或cos φ＝，sin φ＝）. 提醒　两角和与差的正弦公式的结构特征：①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦；②“符号相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和用“＋”，两角差用“－”；③两角和与差的正弦公式只有中间的连接符号不同. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）sin（α－β）＝sin αcos α－cos βsin β.（　×　） （2）sin α＋sin β＝sin（α＋β）.（　×　） （3）sin（α＋β－15°）＝sin（α－15°）cos β＋cos（α－15°）sin β.（　√　） （4）sin 15°＋cos 15°＝sin 60°.（　√　） 2.sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝（　　） A.－　　 B.　　　C.－　　 D. 解析：B　sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝. 3.已知θ为锐角，且sin θ＝，则sin（θ－45°）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：D　∵θ为锐角，且sin θ＝，∴cos θ＝＝，∴sin（θ－45°）＝（sin θ－cos θ）＝×＝－. 4.函数y＝sin x－cos x的最小正周期是（　　） A. B.π C.2π D.4π 解析：C　y＝sin x－cos x＝（sin x－cos x）＝sin，所以函数的最小正周期为T＝2π. 　　题型一 利用公式化简求值 【例1】　（1）＝（　　） A.－　　 B.－　　C.　　 D. （2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； （3）求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值. （1）解析：C　 ＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. （2）解：原式＝sin（180°－23°）cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin（23°＋67°）＝sin 90°＝1. （3）解：sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°） ＝sin（θ＋15°＋60°）＋cos（θ＋15°＋30°）－cos（θ＋15°） ＝sin（θ＋15°）cos 60°＋cos（θ＋15°）sin 60°＋cos（θ＋15°）·cos 30°－sin（θ＋15°）sin 30°－cos（θ＋15°） ＝sin（θ＋15°）＋cos（θ＋15°）＋cos（θ＋15°）－sin（θ＋15°）－cos（θ＋15°）＝0. 通性通法 1.解给角求值问题的基本思路 （1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值； （2）化为正、负相消的项，消去求值； （3）分子、分母出现公约数时进行约分求值. 2.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： （1）化为特殊角的三角函数值； （2）化为正负相消的项，消去，求值； （3）化为分子、分母形式，进行约分再求值. 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1）sin； （2）－2cos（α＋β）. 解：（1）sin＝－sin π＝－sin＝sin ＝sin＝sin cos －cos sin ＝. （2）原式＝ ＝ ＝＝. 题型二 给值（式）求值 【例2】　设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin（α＋β）的值. 解：因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝， 因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝. 所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. 【母题探究】 1.（变条件）若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？ 解：因为β为第三象限角，所以cos β＝－. 所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0. 2.（变设问）若条件不变，试求sin（α－β）＋cos（α－β）的值. 解：sin（α－β）＋cos（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1. 通性通法 解给值（式）求值的策略 （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 【跟踪训练】 　已知0＜α＜＜β＜π，sin α＝，sin（α＋β）＝，则sin β＝　　. 解析：由0＜α＜＜β＜π，得＜α＋β＜.又sin α＝，sin（α＋β）＝，∴cos α＝，cos（α＋β）＝－.∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）·sin α＝×－×＝. 题型三 辅助角公式的应用 【例3】　设函数f（x）＝sin x＋sin. （1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合； （2）求函数f（x）的单调区间. 解：（1）f（x）＝sin x＋sin xcos ＋cos xsin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝（ sin xcos ＋cos xsin ）＝sin， 当sin＝－1时，f（x）min＝－， 此时x＋＝＋2kπ（k∈Z），所以x＝＋2kπ（k∈Z）. 所以f（x）的最小值为－，x的集合为{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}. （2）当2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z）， 即2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）为增函数； 当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）为减函数. 所以函数f（x）的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）， 函数f（x）的单调递减区间为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）. 通性通法 辅助角公式及其应用 （1）公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin（α＋φ）（或asin α＋bcos α＝cos（α－φ））将形如asin α＋bcos α（a，b不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式； （2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 【跟踪训练】 1.已知sin θ＋sin＝1，则sin＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B. 2.函数y＝sin（x＋10°）＋cos（x＋40°）（x∈R）的最大值是　1　. 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，∴y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos α－sin α＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°），∴ymax＝1. 　两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用 　　 　在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝sin（A＋B），Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B的大小，并把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来. 【问题探究】 1.当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小. 提示：当A＝30°，B＝30°时， P＝sin（30°＋30°）＝sin 60°＝， Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1， R＝cos 30°＋cos 30°＝2cos 30°＝， ∴P＜Q＜R. 2.当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小. 提示：当A＝30°，B＝45°时， P＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝×＋×＝， Q＝sin 30°＋sin 45°＝＋＝， R＝cos 30°＋cos 45°＝＋＝， ∵P－Q＝－＝＜0， ∴P＜Q， ∵Q－R＝－＝＜0， ∴Q＜R，∴P＜Q＜R. 3.由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论. 提示：由问题1，2猜想P＜Q＜R. 证明：∵C为钝角，∴0＜A＋B＜， ∴A＜－B，B＜－A， ∴cos A＞cos＝sin B， cos B＞cos＝sin A， ∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B＞sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R＞Q. ∵P－Q＝sin（A＋B）－sin A－sin B ＝sin Acos B＋cos Asin B－sin A－sin B ＝sin A（cos B－1）＋sin B（cos A－1）＜0， ∴P＜Q. 综上可得P＜Q＜R. 4.若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？ 提示：∵P－R＝sin（A＋B）－cos A－cos B ＝sin Acos B＋cos Asin B－cos A－cos B ＝（sin A－1）cos B＋（sin B－1）cos A＜0， ∴P＜R. ∵△ABC为锐角三角形， ∴0＜A＜，0＜B＜，A＋B＞， ∴－B＜A＜，－A＜B＜， ∴sin＜sin A，sin＜sin B， ∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B＜cos A＋cos B－sin－sin ＝cos A＋cos B－cos B－cos A＝0， ∴R＜Q，综上，P＜R＜Q. 【迁移应用】 已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论. 解：任意交换两个角的位置，y的值不变. 证明如下： ∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π， ∴＝－. y＝tan＋ ＝tan＋ ＝tan＋ ＝tan＋tan＋tan， 因此任意交换两个角的位置，y的值不变. 1.的值是（　　） A. B. C.1 D. 解析：A　原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 2.已知α∈（0，π），cos＝－，则sin（－α）＝（　　） A.　　　　　　 B.－ C.－ D. 解析：B　由于α∈（0，π），α＋∈，而cos＝－＞－＝cos ，所以＜α＋＜，所以sin＝＝.所以sin（－α）＝sin＝sin cos－cos sin＝×－×＝－. 3.sin 15°＋sin 75°＝（　　） A.　 　　B.1　 　　C.　　 　D. 解析：C　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin（15°＋30°）＝2sin 45°＝.故选C. 4.sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝　　. 解析：原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝sin（25°＋35°）＝sin 60°＝. 5.设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝（sin A，sin B），n＝（cos B，cos A），若m·n＝1＋cos（A＋B），求C. 解：因为m·n＝1＋cos（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin（A＋B）＝1＋cos（A＋B）. 又A＋B＝π－C，整理得sin＝， 因为0＜C＜π，所以＜C＋＜， 所以C＋＝，所以C＝. 　 1.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝（　　） A.　 　　B.　 　C.－　 　D.－ 解析：B　原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14sin 16°＝sin（14°＋16°）＝sin 30°＝. 2.（多选）下列四个选项，化简正确的是（　　） A.cos（－15°）＝ B.cos 15°sin 105°－sin 15°cos 105°＝sin（15°－105°）＝－1 C.cos（α－35°）cos（α＋25°）＋sin（α－35°）sin（α＋25°）＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝ D.sin（x＋y）sin（y－x）－cos（x＋y）cos（x－y）＝－[cos（x＋y）cos（x－y）＋sin（x＋y）sin（x－y）]＝－cos[（x＋y）－（x－y）] 解析：CD　∵cos（－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°＝，故A错.∵cos 15°sin 105°－sin 15°cos 105°＝sin 105°cos 15°－cos 105°·sin 15°＝sin（105°－15°）＝sin 90°＝1，故B错.C、D正确. 3.sin θ＋sin＋sin的值为（　　） A.0 B. C.1 D.2 解析：A　原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0. 4.已知f（x）＝sin（3x＋θ）－cos（3x＋θ）是奇函数，且在上是减函数，则θ的一个值是（　　） A. B.π C.π D.π 解析：D　f（x）＝sin，∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝sin＝0，∴θ＝kπ＋，k∈Z.∵f（x）在上是减函数，∴k为奇数.当k＝1时，θ＝π. 5.若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin（α＋β）＝，则sin α的值是（　　） A. B. C. D. 解析：C　由＜β＜π，cos β＝－得sin β＝.又0＜α＜＜β＜π，所以＜α＋β ＜，所以cos（α＋β）＝－＝－＝－.所以sin α＝sin[（α＋β）－β]＝sin（α＋β）cos β－cos（α＋β）sin β＝×＋×＝，故选C. 6.在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为（　　） A. B. C.或 D.或 解析：A　由已知可得（3sin A＋4cos B）2＋（3cos A＋4sin B）2＝62＋12，即9＋16＋24sin（A＋B）＝37，所以sin（A＋B）＝.所以在△ABC中，sin C＝，所以C＝或C＝.又1－3cos A＝4sin B＞0，所以cos A＜.又＜，所以A＞，所以C＜，所以C＝不符合题意，所以C＝. 7.已知cos θ＝，则sin的值为　　，sin的值为　　. 解析：因为cos θ＝，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θcos＋cos θsin＝×＝；sin（θ－）＝sin θcos－cos θsin＝×－×＝. 8.若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围为　[2，6]　. 解析：∵sin x＋cos x＝4－m，∴sin x＋cos x＝，∴sin sin x＋cos cos x＝，∴cos＝，∵≤1，∴≤1，∴2≤m≤6. 9.已知△ABC的内角为A，B，C.若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是　等腰三角形　. 解析：因为2cos Bsin A＝sin C，所以2cos Bsin A＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，所以cos Bsin A－cos Asin B＝0⇒sin（A－B）＝0.因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＝B. 10.已知cos（α－β）＝－，sin（α＋β）＝－，＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，求β的值. 解：因为 ＜α－β＜π，cos（α－β）＝－， 所以sin（α－β）＝. 因为＜α＋β＜2π，sin（α＋β）＝－， 所以cos（α＋β）＝. 所以cos 2β＝cos [（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝－1. 因为＜α－β＜π，＜α＋β＜2π， 所以＜2β＜，2β＝π，所以β＝. 11.（多选）已知θ为锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ可能取的值是（　　） A. B. C. D. 解析：AD　sin θ＋cos θ＝sin（θ＋），∵0＜θ＜，∴＜θ＋＜，∴＜sin≤1，∴1＜sin θ＋cos θ≤，∴sin θ＋cos θ可能取的值是和，故选A、D. 12.函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sin φ cos（x＋φ）的最大值为　1　，最小值为　－1　. 解析：因为f（x）＝sin（x＋2φ）－2sin φcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sin φcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cos φ－sin φ·cos（x＋φ）＝sin x，所以函数f（x）的最大值为1，最小值为－1. 13.已知函数f（x）＝Asin，x∈R，且f（）＝. （1）求A的值； （2）若f（θ）－f（－θ）＝，θ∈，求f. 解：（1）由f＝Asin＝Asin ＝A＝，可得A＝3. （2）f（θ）－f（－θ）＝， 则3sin－3sin＝， 3－3＝，得sin θ＝. 因为θ∈，所以cos θ＝，f＝3sin＝3sin＝3cos θ＝. 14.已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，那么β＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β），由已知cos α＝，cos（α－β）＝，0＜β＜α＜，可知sin α＝，sin（α－β）＝，代入上式得sin β＝×－×＝＝，所以β＝. 15.已知向量a＝（sin x，cos x－1），b＝（，－1），设f（x）＝a·b. （1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心； （2）已知α为锐角，β∈（0，π），f＝，sin（α＋β）＝－，求sin（2α＋β）的值. 解：由题意得f（x）＝a·b＝sin x－cos x＋1＝2sin＋1. （1）f（x）的最小正周期T＝2π， 令x－＝kπ（k∈Z），则x＝kπ＋（k∈Z），又f＝2sin（kπ）＋1＝1， 因此函数f（x）的对称中心为，k∈Z. （2）f＝2sin＋1＝2sin α＋1＝⇒sin α＝. ∵α∈，∴cos α＝. ∵α∈，β∈（0，π），∴α＋β∈. 又sin（α＋β）＝－＜0，∴α＋β∈， ∴cos（α＋β）＝－， ∴sin（2α＋β）＝sin[（α＋β）＋α]＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α＝－×＋×＝－. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $