8.2.1 两角和与差的余弦-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦“两角和与差的余弦”核心知识点，以电视发射塔高度测量问题导入，通过认知冲突（如cos15°是否为cos45°-cos30°）引发思考，衔接三角函数定义与向量知识，搭建学习支架。 资料以问题驱动贯穿教学，向量法推导公式培养逻辑推理，分题型（给角、给值、求角）设计例题与变式训练强化数学运算，母题探究深化知识应用。助力学生构建知识体系，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率与学生核心素养。

8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 新课程标准解读 核心素养 1.通过感悟利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用 逻辑推理 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式 逻辑推理 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值 数学运算 　 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射塔的高度. 　　设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC·cos 15°＝60cos 15°，BC＝ACsin 15°＝60sin 15°，BD＝AB·tan 60°＝60·cos 15°·tan 60°＝60cos 15°，所以x＝BD－BC＝60cos 15°－60sin 15°，如果能求出cos 15°，sin 15°的值，就可求出电视发射塔的高度了. 【问题】　（1）30°＝60°－30°，那么cos 30°＝cos 60°－cos 30°成立吗？类似的15°＝45°－30°，那么cos 15°＝cos 45°－cos 30°成立吗？为什么？ （2）如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的余弦 名称 公式 简记符号 使用条件 两角差的余弦 cos（α－β）＝cos α·cos β＋sin αsin β Cα－β α，β∈R 两角和的余弦 cos（α＋β）＝cos α·cos β－sin αsin β Cα＋β α，β∈R 提醒　两角和与差的余弦公式的结构特征 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.（1）“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；（2）“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“－”，两角差的余弦展开后两项之间用“＋”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）cos（60°－30°）＝cos 60°－cos 30°.（　×　） （2）∃α，β∈R，cos（α－β）＝cos α－cos β成立.（　√　） （3）∀α，β∈R，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β都成立.（　√　） 2.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为（　　） A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：A　原式＝cos（22°＋38°）＝cos 60°＝. 3.cos（－15°）的值是（　　） A. B. C. D. 解析：C　cos（－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝. 题型一 给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： （1）cos 345°； （2）cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°； （3）sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°. 解：（1）cos 345°＝cos（360°－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝. （2）cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos（45°－15°）＝cos 30°＝. （3）sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313° ＝sin（180°－17°）sin（180°＋43°）＋sin（180°＋73°）·sin（360°－47°）＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47° ＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43° ＝cos（17°＋43°）＝cos 60°＝. 通性通法 含非特殊角的三角函数式求值的解法 （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值； （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差（和）的余弦公式的形式，然后逆用公式求值. 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1）cos ； （2）sin 460°sin（－160°）＋cos 560°cos（－280°）. 解：（1）cos ＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×－× ＝. （2）原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－（cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°） ＝－cos 60°＝－. 题型二 给值（式）求值 【例2】　（1）已知α∈，β是第三象限角，sin α＝，cos β＝－.求cos（α＋β）的值； （2）α，β为锐角，cos（α＋β）＝，cos（2α＋β）＝，求cos α的值. 解：（1）∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－＝－. ∵β是第三象限角，cos β＝－， ∴sin β＝－＝－＝－， ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. （2）∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos（α＋β）＝，∴0＜α＋β＜， 又∵cos（2α＋β）＝，∴0＜2α＋β＜， ∴sin（α＋β）＝，sin（2α＋β）＝， ∴cos α＝cos[（2α＋β）－（α＋β）] ＝cos（2α＋β）·cos（α＋β）＋sin（2α＋β）·sin（α＋β） ＝×＋×＝. 通性通法 给值求值的解题步骤 （1）找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异； （2）拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）－（α－β）， α＝[（α＋β）＋（α－β）]，α＝[（β＋α）－（β－α）]等； （3）求解.结合公式Cα±β求解. 【跟踪训练】 1.若tan αtan β＝3，且sin αsin β＝，则cos（α－β）的值为（　　） A.－　　　　　　　　　 B. C. D.1 解析：C　因为tan αtan β＝＝3，且sin αsin β＝，所以cos αcos β＝，则cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝. 2.已知cos α＝，cos（α＋β）＝，且α，β均为锐角，求cos β的值. 解：∵α，β均为锐角， ∴0＜α＋β＜π，∴sin（α＋β）＞0. 由cos α＝，cos（α＋β）＝， 得sin α＝，sin（α＋β）＝. ∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）·sin α＝×＋×＝. 题型三 已知三角函数值求角 【例3】　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值. 解：∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝， ∴sin α＝，sin β＝， ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0.故α－β＝－. 【母题探究】 1.（变条件）本例中条件变为“cos α＝，cos β＝－，2π＜α＜3π，0＜β＜π”，问题不变. 解：因为cos α＝，且2π＜α＜3π，sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝； 因为cos β＝－，且0＜β＜π，sin2β＋cos2β＝1，所以sin β＝. 所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝， 因为cos α＝＞0，所以2π＜α＜π，因为cos β＝－，所以＜β＜π，即－π＜－β＜－， 所以π＜α－β＜2π，所以α－β＝π. 2.（变条件）本例中条件变为“a＝（cos α，sin β），b＝（cos β，sin α），0＜β＜α＜且a·b＝”，问题不变. 解：a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β）＝，又0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，故α－β＝. 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 【跟踪训练】 　已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，0＜α＜β＜π，求α－β的值. 解：因为（sin α＋sin β）2＝，（cos α＋cos β）2＝， 以上两式展开两边分别相加得2＋2cos（α－β）＝1， 所以cos（α－β）＝－. 因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0，所以α－β＝－. 1.下列式子中，正确的个数为（　　） ①cos（α－β）＝cos α－cos β；②cos＝sin α； ③cos（α－β）＝cos αcos β－sin αsin β. A.0个　 　B.1个　 　C.2个　 　D.3个 解析：A　由cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos＝－sin α，故②错误，故选A. 2.计算cos 8°cos 38°＋sin 8°sin 38°＝（　　） A. B. C. D.－ 解析：C　逆用两角差的余弦公式，得cos 8°cos 38°＋sin 8°sin 38°＝cos（8°－38°）＝cos（－30°） ＝cos 30°＝. 3.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，则cos αcos β的值为（　　） A.0 B. C.0或 D.0或± 解析：A　由条件得，cos αcos β－sin αsin β＝，　① cos αcos β＋sin αsin β＝－，　② ①＋②得cos αcos β＝0. 4.已知cos＝cos α，则tan α＝　　. 解析：∵cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝cos α＋sin α＝cos α，∴sin α＝cos α，∴＝tan α＝. 5.设α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α＋β）＝，求cos β的值. 解：因为α，β都是锐角且cos α＝＜， 所以＜α＜，0＜β＜，所以＜α＋β＜π， 又sin（α＋β）＝＜， 所以＜α＋β＜π， 所以cos（α＋β）＝－＝－， sin α＝＝， 所以cos β＝cos[（α＋β）－α] ＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α ＝－×＋×＝. 　　 1.cos 80°cos 35°＋sin 80°cos 55°＝（　　） A.　　　B.－　　　C.　 　D.－ 解析：A　原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝. 2.（多选）下列各式化简正确的是（　　） A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B.cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° C.sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45° D.cos＝cos α－sin α 解析：ABC　根据两角和与差的余弦公式可知选项A、B、C都正确，选项D，cos＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α. 3.已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　因为θ∈，所以θ＋∈，所以sin＝.又cos θ＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝. 4.已知cos＝，则cos x＋cos＝（　　） A.－1 B.1 C. D. 解析：B　∵cos＝，∴cos x＋cos（x－）＝cos x＋cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝cos＝×＝1. 5.若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝，则tan α·tan β＝（　　） A.2 B. C.－2 D.－ 解析：B　由cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝可得则sin αsin β＝，cos αcos β＝.故tan αtan β＝＝＝. 6.（多选）已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是（　　） A.cos（β－α）＝ B.cos（β－α）＝－ C.β－α＝ D.β－α＝－ 解析：AC　由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得（sin β－sin α）2＋（cos α－cos β）2＝1，∴－2cos（β－α）＝－1，∴cos（β－α）＝，∴A正确，B错误；∵α，β，γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝，∴C正确，D错误. 7.cos（－40°）cos 20°－sin（－40°）sin（－20°）＝　　. 解析：原式＝cos（－40°）·cos（－20°）－sin（－40°）·sin（－20°）＝cos[－40°＋（－20°）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝. 8.已知α∈，且cos＝－，则sin（α＋）＝　　，cos α＝　　. 解析：∵α∈，∴α＋∈，∴sin（α＋）＝＝，∴cos α＝cos［（α＋）－］＝coscos＋sinsin＝×＋×＝. 9.已知cos＋sin α＝，则cos的值是　　. 解析：∵cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，∴cos＝cos α＋sin α＝. 10.已知函数f（x）＝cos，x∈R. （1）求f的值； （2）若cos θ＝，θ∈，求f. 解：（1）f＝cos＝cos＝×＝1. （2）∵cos θ＝，θ∈， ∴sin θ＜0，∴sin θ＝－＝－＝－. ∴f＝cos＝cos（θ－）＝＝（cos θ×＋sin θ×）＝cos θ＋sin θ＝－＝－. 11.（多选）满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是（　　） A.α＝π，β＝π B.α＝，β＝ C.α＝，β＝ D.α＝，β＝ 解析：BD　由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos（α－β）＝， α＝，β＝满足题意，α＝，β＝也满足题意，故选B、D. 12.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，则cos 2α＝　－　. 解析：因为cos（α＋β）＝，＜α＋β＜2π，所以sin（α＋β）＝－；因为cos（α－β）＝－，＜α－β＜π，所以sin（α－β）＝，所以cos 2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）＝－. 13.在平面直角坐标系中，已知角α，β的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，角α的终边上有一点A，坐标为（1，－1）. （1）求cos的值； （2）若角β满足下列三个条件之一. ①锐角β满足tan β＝2；②锐角β的终边在直线y＝2x上；③角β的终边与π的终边相同.请从上述三个条件中任选一个，你的选择是　　，求cos（α－β）的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：（1）角α终边上一点A（1，－1），根据三角函数定义：r＝＝， ∴sin α＝＝－，cos α＝＝， cos＝cos αcos －sin αsin ＝×＝1. （2）若选择①，∵tan β＝＝2，∴sin β＝2cos β， 又∵sin2β＋cos2β＝1， 即（2cos β）2＋cos2β＝1，即5cos2β＝1，cos2β＝， 又∵β为锐角，∴cos β＝， sin β＝＝＝＝， ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 若选择②，∵锐角β的终边在直线y＝2x上； 即角β的终边在第一象限，不妨在直线上取一点B（1，2）， 根据三角函数的定义得r＝＝， sin β＝＝，cos β＝＝， ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 若选择③，∵角β的终边与π的终边相同， 又∵π＝π＝336×2π＋π， 即π与终边相同，∴β与终边相同， ∴sin β＝sin ＝－sin ＝－， cos β＝cos ＝－cos ＝－， ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 14.设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝（2cos A，2sin A），b＝（3cos B，3sin B）.若a，b的夹角的弧度数为，则A－B＝（　　） A. B.－ C.± D. 解析：C　cos ＝＝＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos（A－B）.又－＜A－B＜，∴A－B＝±. 15.如图，设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈. （1）若Q，求cos的值； （2）设函数f（α）＝·，求f（α）的值域. 解：（1）因为Q，∠AOQ＝α，所以sin α＝，cos α＝， 则cos＝cos α·＋sin α·＝. （2）由题意得Q（cos α，sin α），∠AOP＝，则P，所以·＝cos α＋sin α， 即函数f（α）＝cos α＋sin α＝cos. 由α∈，得α－∈，所以f（α）∈. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $