8.1.3 向量数量积的坐标运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦向量数量积的坐标运算核心知识点，通过“隐形的翅膀”歌词情境导入，将向量数量积的几何形式与代数形式相联系，搭建从向量数量积定义到坐标运算的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以新课标核心素养为导向，通过基础判断、分层例题及跟踪训练，培养数学运算与逻辑推理能力，如利用坐标法解决模、夹角问题，结合通性通法总结提升解题思维，助力学生掌握定量研究方法，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

8.1.3　向量数量积的坐标运算 新课程标准解读 核心素养 1.掌握向量数量积的坐标表示及运算 数学运算 2.能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题 逻辑推理 　 　　“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”，如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 【问题】　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝（3，2），b＝（2，1），则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b为多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量数量积的坐标表示 1.设平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 （1）a·b＝　x1x2＋y1y2　； （2）a⊥b⇔　x1x2＋y1y2＝0　. 2.三个重要公式 （1）设a＝（x，y），则a2＝x2＋y2⇔｜a｜＝　　； （2）两点间的距离公式：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝｜｜＝　　； （3）向量的夹角公式：设a，b都是　非零　向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则cos＜a，b＞＝＝　　 . 【想一想】 1.向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？ 提示：公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序. 2.已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），问a与b夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？ 提示：（1）当θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2＞0； （2）当θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0； （3）当θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2＜0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.（　√　） （2）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a⊥b ⇔x1x2－y1y2＝0.（　×　） （3）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°.（　×　） 2.已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b等于（　　） A.0　　　 B.10　　　 C.6　　　 D.－10 解析：C　由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6. 3.已知向量a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，则实数x等于（　　） A.－7 B.9 C.4 D.－4 解析：C　∵a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，∴a·b＝1×x＋2×（－2）＝0，即x－4＝0，∴x＝4. 4.已知向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a与b的夹角为　135°　. 解析：因为向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a·b＝－6，｜a｜＝2，｜b｜＝3，则cos＜a，b＞＝＝－，又0°≤＜a，b＞≤180°，所以a与b的夹角为135°. 题型一 向量数量积的坐标运算 【例1】　（1）已知a＝（1，2），b＝（3，4），求a·b，（a－b）·（2a＋3b）； （2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，且＝2，求·. 解：（1）法一　因为a＝（1，2），b＝（3，4）， 所以a·b＝1×3＋2×4＝11， （a－b）·（2a＋3b）＝2a2＋a·b－3b2＝2｜a｜2＋a·b－3｜b｜2＝2（12＋22）＋11－3（32＋42）＝－54. 法二　因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以a·b＝1×3＋2×4＝11. 因为a－b＝（1，2）－（3，4）＝（－2，－2）， 2a＋3b＝2（1，2）＋3（3，4）＝（2×1＋3×3，2×2＋3×4）＝（11，16）， 所以（a－b）·（2a＋3b）＝－2×11＋（－2）×16＝－54. （2）如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系. 则B（2，0），E（1，2），C（2，2），F， 因为＝（－1，2），＝. 所以·＝2－＝. 通性通法 平面向量数量积坐标运算的两条途径 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径： 　　一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 　　二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝　1　，a·（a－b）＝　4　. 解析：a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4. 2.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则（＋）·＝　－　. 解析：如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 则A（0，0），B（2，0），D（0，1），所以C（2，1）. 因为E，F分别为BC，CD的中点， 所以E，F（1，1）， 所以＋＝，＝（－2，1）， 所以（＋）·＝3×（－2）＋×1＝－. 题型二 求向量的模 【例2】　（1）若a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a－b＝（，），则｜2a－b｜＝（　C　） A.　 　B.　 　C.2　 　D.2 （2）若向量＝（1，－3），｜｜＝｜｜，·＝0，则｜｜＝　2　. 解析：（1）由已知得（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5，∴a·b＝0，∴（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4－0＋4＝8，∴｜2a－b｜＝2. （2）法一　设＝（x，y），由｜｜＝｜｜，知 ＝.　① 由题意知·＝x－3y＝0.　② 由①②组成方程组，解得或当x＝3，y＝1时，＝－＝（2，4），则｜｜＝2；当x＝－3，y＝－1时，＝（－4，2），则｜｜＝2.故｜｜＝2. 法二　由题意知，｜｜就是以，对应线段为邻边的正方形的对角线长，∵｜｜＝，∴｜｜＝×＝2. 【母题探究】 　（变条件）本例（1）中条件变为“设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b”，求｜2a－b｜. 解：由a∥b，得1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，所以b＝（－2，－4），所以2a－b＝（4，8），则｜2a－b｜＝4. 通性通法 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是｜a｜＝. 【跟踪训练】 　在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（16，12），B（－5，15），则｜｜＝　20　，｜｜＝　15　. 解析：由题意可得｜｜＝＝20.｜｜＝＝＝15. 题型三 向量夹角和垂直问题 【例3】　（1）设平面向量a＝（cos α，sin α）（0°≤α≤90°），b＝.求证：a＋b与a－b垂直； （2）平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图）.已知点A（16，12），B（－5，15）.求∠OAB. 解：（1）证明：法一　∵（a＋b）·（a－b）＝（ cos α－，sin α＋）·（cos α＋，sin α－）＝（cos α－）·（cos α＋）＋·＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0， ∴（a＋b）⊥（a－b）. 法二　由已知可得a2＝1，b2＝1， ∴（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝1－1＝0， ∴（a＋b）⊥（a－b）. （2）由＝（16，12），＝（－5－16，15－12）＝（－21，3）， 得｜｜＝＝20， ｜｜＝＝15. cos∠OAB＝cos＜，＞＝. 其中·＝－· ＝－（16，12）·（－21，3） ＝－[16×（－21）＋12×3]＝300. 故cos∠OAB＝＝.∴∠OAB＝45°. 通性通法 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 （1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积； （2）利用｜a｜＝求两向量的模； （3）代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值. 【跟踪训练】 1.已知向量a＝（2，4），b＝（－1，1），c＝a－tb，若b⊥c，则实数t＝（　　） A.1　　　　　　　　　　B.－1 C. D.2 解析：A　由题意得c＝a－tb＝（2，4）－t（－1，1）＝（2＋t，4－t）.∵b⊥c，∴b·c＝（－1，1）·（2＋t，4－t）＝－（2＋t）＋（4－t）＝2－2t＝0，解得t＝1.故选A. 2.已知平面向量a＝（1，2），b＝（4，2），c＝ma＋b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：D　由题意，得c＝（m＋4，2m＋2），＝，∴＝，∴＝，∴m＝2.故选D. 题型四 向量数量积的坐标运算的综合问题 【例4】　在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为（　　） A.1 B.2 C.－2 D.－1 解析：C　建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A（0，2）.设点P的坐标为（x，y），则＝（－x，2－y），＝（－x，－y），故·＋·＝·（＋）＝2·＝2（x2＋y2－2y）＝2[x2＋（y－1）2]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立.所以·＋·的最小值为－2. 通性通法 解决向量数量积的最值或范围问题的方法技巧 （1）“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断； （2）“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或范围问题. 【跟踪训练】 在如图所示的矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为线段BC上的点，则·的最小值为（　　） A.2 B. C. D.4 解析：B　如图所示，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），D（1，2）.设E（x，0）（0≤x≤1），则＝（x，－2），＝（x－1，－2），∴·＝（x，－2）·（x－1，－2）＝x2－x＋4＝＋，又0≤x≤1，故当x＝时，·取得最小值. 1.已知｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，设a，b夹角为θ，所以cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，所以向量a与b夹角的大小为.故选C. 2.（多选）设向量a＝（1，0），b＝，则下列结论中错误的是（　　） A.｜a｜＝｜b｜ B.a·b＝ C.a－b与b垂直 D.a∥b 解析：ABD　因为｜a｜＝1，｜b｜＝＝，所以｜a｜≠｜b｜，故A错.因为a·b＝1×＋0×＝，故B错.因为a－b＝（1，0）－＝，所以（a－b）·b＝·＝－＝0，所以a－b与b垂直，故C符合题意.因为1×－0×≠0，所以a不平行于b，故D错.故选A、B、D. 3.已知向量a＝（1，－1），向量b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝　1　. 解析：由向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），得2a＋b＝（1，0），所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1×1＋0×（－1）＝1. 4.已知平面向量a＝（2，2），b＝（x，－1）. （1）若a∥b，求x； （2）若a⊥（a－2b），求a与b所成夹角的余弦值. 解：（1）因为a∥b， 所以－2－2x＝0，可得x＝－1. （2）依题意a－2b＝（2－2x，4）， 因为a⊥（a－2b），所以a·（a－2b）＝0， 即4－4x＋8＝0，解得x＝3， 所以b＝（3，－1）. 所以cos＜a，b＞＝＝. 　　 1.已知向量a＝（2，），b＝（－1，），则向量a在b上的投影向量为（　　） A.　　　　　　 B. C. D. 解析：A　∵b＝（－1，），∴｜b｜＝2.又∵向量a＝（2，），∴向量a在b的投影的数量为＝＝，所以向量a在b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞＝·＝b＝.故选A. 2.已知向量a＝（1，n），b＝（－1，n），若2a－b与b垂直，则｜a｜＝（　　） A.1 B. C.2 D.4 解析：C　∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－（1＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝＝2. 3.（多选）已知a＝（1，1），b＝（0，－2），且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k＝（　　） A.－1＋ B.－2 C.－1－ D.1 解析：AC　∵｜ka－b｜＝，｜a＋b｜＝＝，∴（ka－b）·（a＋b）＝（k，k＋2）·（1，－1）＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos 120°＝，即－＝，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±. 4.设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A. B. C.2 D.10 解析：B　因为a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，所以 x＝2.由b∥c，得1×（－4）－2y＝0，所以 y＝－2.所以a＝（2，1），b＝（1，－2）.所以a＋b＝（3，－1），所以｜a＋b｜＝＝. 5.（多选）已知向量a＝（3，4），b＝（－4，－3），则下列说法正确的是（　　） A.a与b的夹角是直角 B.｜a＋b｜为2 C.a＋b与a－b的夹角是直角 D.a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量 解析：CD　由向量a＝（3，4），b＝（－4，－3），得a·b＝－24＜0，所以a与b的夹角是钝角，A错误.a＋b＝（－1，1），所以｜a＋b｜＝＝，B错误.（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角，C正确.a在b上投影的数量为｜a｜cos＜a，b＞＝＝－，b在a上投影的数量为｜b｜cos＜a，b＞＝＝－，D正确. 6.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值为（　　） A. B.2 C.0 D.1 解析：A　建立如图所示的坐标系xAy，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2），则＝（，0），＝（x，2），于是·＝x＝，解得x＝1，因此F（1，2），＝（，1），＝（1－，2），·＝（1－）＋1×2＝.故选A. 7.已知平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为　180°　，的值为　－　. 解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，∴θ＝180°.即a，b共线且反向，∴a＝－b，∴x1＝－x2，y1＝－y2，∴＝－. 8.在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，4），B（－2，3），C（2，－1），若（－t）⊥，则实数t＝　－1　. 解析：∵＝（－3，－1），＝（2，－1），∴－t＝（－3－2t，－1＋t），又（－t）⊥，∴（－3－2t）×2＋（－1＋t）·（－1）＝0.∴t＝－1. 9.已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝（，0），则｜2a－b｜的最大值为　2＋　. 解析：2a－b＝（2cos θ－，2sin θ），｜2a－b｜＝＝ ＝，当且仅当cos θ＝－1时，｜2a－b｜取最大值2＋. 10.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，），b，c为单位向量. （1）若a∥c，求c的坐标； （2）若a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解：（1）设c＝（x，y），由题意，得 解得或 ∴c＝或c＝. （2）由题意，得（a＋2b）·（2a－b）＝0， 即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，∴a·b＝－2. ∴cos θ＝＝－1.而0≤θ≤π，∴θ＝π. 11.角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q（－3，－4），且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为（　　） A.－ B. C.或－ D.或 解析：C　因为tan α＝－2，所以可设P（x，－2x），所以cos＜，＞＝＝，当x＞0时，cos＜，＞＝，当x＜0时，cos＜，＞＝－.故选C. 12.已知向量m＝（λ＋2，1），n＝（λ＋1，2），若（m＋n）⊥（m－n），则向量m，n的夹角的余弦值为　　，m＋n在n方向上的投影的数量为　　. 解析：由题意知向量m＋n＝（2λ＋3，3），m－n＝（1，－1），因为（m＋n）⊥（m－n），所以λ＝0.所以m＝（2，1），n＝（1，2），cos＜m，n＞＝，m＋n＝（3，3）.m＋n在n方向上的投影的数量为｜m＋n｜cos＜m＋n，n＞＝＝. 13.已知向量a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，λ∈R. （1）求λ为何值时， ｜c｜最小？此时b与c的位置关系如何？ （2）求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？ 解：（1）由a＝（1，2），b＝（－3，4）， 得c＝a＋λb＝（1－3λ，2＋4λ）， ｜c｜2＝c2＝（1－3λ）2＋（2＋4λ）2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4， 当λ＝－时，｜c｜最小，此时c＝，b·c＝0，所以b⊥c. （2）设向量a与c的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝， 要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大， 由于θ∈[0， π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，解得λ＝0，c＝（1，2）. 所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c. 14.（多选）在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（　　） A.－1 B. C. D. 解析：BCD　在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），①当A＝90°时，·＝0，即2×1＋3k＝0，解得k＝－.②当B＝90°时，＝－＝（－1，k－3），且·＝0，即2×（－1）＋3×（k－3）＝0，解得k＝.③当C＝90°时，·＝0，即－1＋k（k－3）＝0，整理得k2－3k－1＝0，解得k＝.综上知，k的取值为－或或. 15.在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点. （1）若｜｜＝｜｜，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值； （2）若O是线段AM上任意一点，且｜｜＝｜｜＝，求·＋·的最小值. 解：（1）设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，｜｜＝｜｜＝a. ∵⊥，∴·＝0， ∴（＋2）·（2＋）＝2＋5·＋2＝4a2， ｜＋2｜＝ ＝＝a， 同理可得｜2＋｜＝a， ∴cos θ＝＝＝. （2）∵⊥，｜｜＝｜｜＝，∴｜｜＝1. 设｜｜＝x（0≤x≤1），则｜｜＝1－x，而＋＝2， ∴·＋·＝·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos π＝－2x（1－x）＝2x2－2x＝2－， 当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $