8.1.2 向量数量积的运算律-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦向量数量积的运算律，通过“没有规矩不成方圆”的生活实例导入，衔接向量数量积定义，构建从定义到运算律的知识支架，帮助学生理解交换律、数乘结合律及分配律的形成逻辑。 资料通过对比实数与向量运算差异培养逻辑推理，结合平行四边形、三角形等几何情境设计例题与分层练习，强化数学运算能力。助力学生深化对运算本质的理解，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率与学生思维严谨性。

8.1.2　向量数量积的运算律 新课程标准解读 核心素养 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律 逻辑推理 2.能利用运算律进行向量数量积的运算 数学运算 　　没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……世间事物都要遵循一定的规律和法则才能生存. 【问题】　向量数量积的运算又遵循哪些“规律”和“法则”呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量数量积的运算律 1.已知向量a，b，c与实数λ，则 交换律 a·b＝　b·a　 数乘向量的数量积 （λa）·b＝a·（λb）＝　λ（a·b）　 分配律 （a＋b）·c＝　a·c＋b·c　 2.重要公式 平方差公式 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 完全平方公式 （a±b）2＝a2±2a·b＋b2 提醒　向量的数量积与实数乘积运算性质的比较 实数a，b，c 向量a，b，c a≠0，a·b＝0⇒b＝0 a≠0，a·b＝0⇒/b＝0 a·b＝b·c（b≠0）⇒a＝c a·b＝b·c（b≠0）⇒/a＝c ｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜ ｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜ 满足乘法结合律 不满足乘法结合律 【想一想】 　式子｜a｜2－｜b｜2＝（a＋b）·（a－b），正确吗？ 提示：正确. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（a·b）·c＝a·（b·c）.（　×　） （2）（a·b）2＝a2·b2.（　　×） （3）a·[b（a·c）－c（a·b）]＝0.（　　）√ 2.已知｜a｜＝｜b｜＝2，a·b＝2，则｜a－b｜＝（　　） A.1　　　　　　　　　　 B. C.2 D.或2 解析：C　｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则｜a－b｜＝2. 3.已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，cos＜m，n＞＝，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　） A.4 B.－4 C. D.－ 解析：B　由题意知，cos＜m，n＞＝＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4. 题型一 平面向量数量积的运算 【例1】　（1）已知｜a｜＝4，｜b｜＝7，且向量a与b的夹角为120°，求（2a＋3b）·（3a－2b）； （2）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求·的值. 解：（1）（2a＋3b）·（3a－2b） ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6｜a｜2＋5a·b－6｜b｜2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72＝－268. （2）·＝·（－）＝－－·＝1－×4－×2×1×＝－. 通性通法 求两向量的数量积的两种常见题型 （1）类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解； （2）在平面图形中求两向量的数量积，一般先用已知向量线性表示出待求数量积的两个向量，然后根据运算律或运算公式求解. 【跟踪训练】 1.已知｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，则（a＋2b）·（a－3b）＝　－4　. 解析：∵｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝5×2×＝5，∴（a＋2b）·（a－3b）＝a2－a·b－6b2＝25－5－24＝－4，故（a＋2b）·（a－3b）＝－4. 2.如图，已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上，·＝·＝0，｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜，｜－｜＝2，在边DE上有2个不同的点F，G，则·（＋）的值为　16　. 解析：由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形，斜边长为2，·（＋）＝·（＋）＝·＋·＝·（＋）＋·（＋）＝·2＋·2＝4·＝4×2×2×＝16. 题型二 向量的模 【例2】　（1）若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，则｜b｜＝　3　； 解析：由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝3. （2）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，求AD的长. 解：由向量的性质，知＝＋＋，其中与的夹角为60°，与的夹角为30°，与的夹角为90°， 于是｜｜2＝｜＋＋｜2 ＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0＝17＋2. 则AD的长为. 通性通法 向量模的常见求法 　　在求向量的模时可直接运用公式｜a｜＝，但计算两向量的和与差的长度时则用｜a±b｜＝＝. 【跟踪训练】 1.已知不共线的向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·（b－a）＝1，则｜b－a｜＝（　　） A.　　　B.2　　　C.　　　D.2 解析：A　∵a·（b－a）＝1，∴a·b－a2＝1，即a·b＝1＋a2＝5，∴｜b－a｜＝＝＝. 2.已知a，b是单位向量，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，向量e是与a－b同向的单位向量，则向量a在a－b上的投影向量为（　　） A.e B. C.e D. 解析：A　∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝2（a2－2a·b＋b2），∴6a·b＝a2＋b2.∵a，b为单位向量，∴a·b＝.∵a·（a－b）＝a2－a·b＝1－＝，｜a－b｜＝＝＝，∴cos＜a，a－b＞＝＝，∴向量a在a－b上的投影向量为（｜a｜cos＜a，a－b＞）e＝e.故选A. 题型三 利用平面向量的数量积证明几何问题 【例3】　（1）点O是△ABC所在平面上的一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的（　　） A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 （2）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. （1）解析：B　因为·＝·，所以（－）＝·＝0，所以⊥，同理⊥，⊥，所以O是△ABC的垂心. （2）证明：设＝a，＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 通性通法 利用向量法证明几何问题的技巧 （1）利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系； （2）进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算； （3）将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等. 【跟踪训练】 　已知O为△ABC所在平面内一点，且｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.求证：点O是△ABC的垂心. 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝c－a，＝b－a. 由｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2， 得a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2， 即a2＋c2＋b2－2c·b＝b2＋a2＋c2－2a·c＝c2＋b2＋a2－2a·b，整理得c·b＝a· c＝b·a. ∴·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0，·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0，·＝（c－a）·b＝c·b－a·b＝0， ∴⊥，⊥，⊥，即OC⊥AB，OA⊥BC，OB⊥AC， ∴点O是△ABC的垂心. 1.已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（　　） A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　由题意知a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以｜a｜＝｜b｜，a·b＝｜a｜2，所以cos＜a，b＞＝＝，即＜a，b＞＝. 2.已知｜p｜＝2，｜q｜＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为（　　） A.15 B. C.14 D.16 解析：A　因为以a，b为邻边的平行四边形的对角线有两条，分别为a＋b，a－b，所以｜a＋b｜＝｜6p－q｜＝＝＝＝15， ｜a－b｜＝｜4p＋5q｜＝＝＝.故选A. 3.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a⊥b，则实数k的值为　　. 解析：由a·b＝0得（e1－2e2）·（ke1＋e2）＝0，整理得k－2＋（1－2k）cos ＝0，解得k＝. 4.如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE. 证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a， 则·＝· ＝·＋·＋·＋· ＝－a2＋0＋a·a·＋·a· ＝－a2＋a2＋a2＝0.所以AD⊥CE. 　　 1.已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为（　　） A.－　　　　　　　　　 B. C.－3 D.3 解析：C　向量｜a｜＝2，｜b｜＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b＝｜a｜｜b｜cos 150°＝2××＝－3.故选C. 2.在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以·＝·（－）＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos ＝. 3.已知向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋2b｜＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 解析：A　因为向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4｜a｜｜b｜·cos 120°＋4＝4.所以｜a＋2b｜＝2. 4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜－｜＝｜＋－2｜，则△ABC的形状为（　　） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：B　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，于是｜＋｜＝｜－｜，所以｜＋｜2＝｜－｜2，即·＝0，从而AB⊥AC.故△ABC为直角三角形. 5.（多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，其中正确的是（　　） A.a·c－b·c＝（a－b）·c B.（b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直 C.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 解析：ACD　根据向量数量积的分配律知A正确；因为[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，所以（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形三边，所以｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正确；（3a＋2b）·（3a－2b）＝9a2－4b2＝9｜a｜2－4｜b｜2，D正确；故选A、C、D. 6.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，则｜a＋b＋c｜＝（　　） A.4 B.10 C.4或10 D.2或 解析：C　因为平面向量a，b，c两两所成的角相等，所以任意两个向量的夹角为0或.再由｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，可得①若任意两个向量的夹角为0，则｜a＋b＋c｜＝2＋2＋6＝10. ②若任意两个向量的夹角为，则a·b＝2×2×cos ＝－2，a·c＝b·c＝2×6×cos ＝－6，故｜a＋b＋c｜＝＝＝4.所以｜a＋b＋c｜＝4或10. 7.如图，在▱ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝3，∠DAB＝60°，则·＝　－7　. 解析：因为＝＋，＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－＝9－16＝－7. 8.已知向量a，b，其中｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，则向量a和b的夹角是　　，a·（a＋b）＝　6　. 解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·（a＋b）＝｜a｜2＋｜a｜｜b｜·cos θ＝3＋2×＝6. 9.已知平面向量a，b的夹角为，且｜a｜＝，｜b｜＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则｜｜＝　2　. 解析：因为＝（＋）＝（2a＋2b＋2a－6b）＝2a－2b，所以｜｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4×（3－2×2××cos＋4）＝4，则｜｜＝2. 10.如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点.用向量法求证：∠ACB＝90°. 证明：如图，设圆心为O，连接OC，则｜｜＝｜｜，＝（＋），所以｜｜2＝｜｜2，＝（＋）2，得｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，得＋－2·＝＋＋2·， 所以4·＝0，·＝0，所以⊥，即∠ACB＝90°. 11.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：C　因为（2a＋b）·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－｜b｜2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，而0°≤θ≤180°，故θ＝120°. 12.（多选）已知不共线的两个非零向量a，b，满足｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则（　　） A.｜a｜＜｜2b｜ B.｜a｜＞｜2b｜ C.｜b｜＝｜a－b｜ D.｜a｜＝｜a－b｜ 解析：AC　设向量a，b的夹角为θ，由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得（a＋b）2＝（2a－b）2，即｜a｜2＋2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝4｜a｜2－4｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2，化简得｜a｜＝2｜b｜cos θ.因为向量a，b不共线，所以cos θ∈（0，1），所以｜a｜＜｜2b｜，故A正确，B错误；又｜a－b｜2＝｜a｜2－2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝｜a｜2－｜a｜2＋｜b｜2＝｜b｜2，所以｜a－b｜＝｜b｜，故C正确，D错误. 13.已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时. （1）求t的值； （2）已知a与b共线同向，求证：b⊥（a＋tb）. 解：（1）｜a＋tb｜2＝a2＋2ta·b＋t2b2， 即｜a＋tb｜2＝b2t2＋2a·bt＋a2， 所以当t＝－时，｜a＋tb｜有最小值. （2）证明：因为a与b共线同向，所以a·b＝｜a｜｜b｜， 所以t＝－＝－＝－， 所以b·（a＋tb）＝a·b＋t｜b｜2＝｜a｜｜b｜－｜a｜｜b｜＝0. 所以b⊥（a＋tb）. 14.（多选）对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝（a，b是任意的两个向量）.对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是（　　） A.a*b＝b*a B.λ（a*b）＝（λa）*b（λ∈R） C.（a＋b）*c＝a*c＋b*c D.若e是单位向量，则｜a*e｜≤｜a｜＋1 解析：AD　当a，b共线时，a*b＝｜a－b｜＝｜b－a｜＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ（a*b）＝0，（λa）*b＝｜0－b｜≠0，故B是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，（a＋b）*c＝｜a＋b－c｜，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然｜a＋b－c｜≠a·c＋b·c，故C是错误的；当e与a不共线时，｜a*e｜＝｜a·e｜＜｜a｜·｜e｜＜｜a｜＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，｜a*e｜＝｜a－e｜＝｜ue－e｜＝｜u－1｜≤｜u｜＋1，故D是正确的. 15.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值. 解：∵＝－，＝－＝－－， ∴·＝（－）·（－－） ＝（－·）＋·－＋· ＝·－r2＋（－） ＝·－r2＋· ＝｜｜·｜｜cos∠BAC－r2＋· ＝bccos∠BAC－r2＋·. 当与同向时，·取得最大值，为ra，即当与共线且同向时， ·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $