8.1.1 向量数量积的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册教用Word(人教B版)

本教案聚焦向量数量积概念，以物理“功”的实例导入，衔接向量基本概念，通过夹角定义、数量积公式及性质构建知识体系，为三角恒等变换奠定基础。 特色在于跨学科情境导入培养数学抽象，通过定义辨析、不同夹角例题（平行、垂直、60°）提升逻辑推理与数学运算能力，帮助学生建立数学与现实联系，教师使用可高效落实核心素养，提升教学效果。

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 数学抽象 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 数学运算 3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理 　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ. 【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两个向量的夹角 定义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的　∠AOB　为向量a与向量b的夹角，记作　＜a，b＞　 范围 0≤＜a，b＞≤π 特例 ＜a，b＞＝0 a与b　同向　 ＜a，b＞＝π a与b　反向　 ＜a，b＞＝　　 a与b垂直，记作　a⊥b　，规定　零向量　与任意向量垂直 【想一想】 　如果a，b是两个非零向量，那么＜a，b＞＝＜b，a＞成立吗？ 提示：成立. 如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为　互补　. 解析：根据向量夹角定义可知向量，夹角为A，而向量，夹角为π－A，故二者互补. 知识点二　向量的数量积 1.定义：当a与b都是非零向量时，称　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　. 2.两个非零向量a，b的数量积的性质 不等式 ｜a·b｜　≤　｜a｜｜b｜ 恒等式 a·a＝　a2　＝　｜a｜2　，即｜a｜＝　　 向量垂直的充要条件 a⊥b⇔　a·b＝0　 3.投影向量及向量数量积的几何意义 （1）设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，B'，则称向量为向量a在直线l上的　投影向量　或　投影　； （2）如果a，b都是非零向量，则称　｜a｜cos＜a，b＞　为向量a在向量b上的投影的数量； （3）两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的　投影的数量　与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 【想一想】 1.向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？ 提示：向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数乘仍是向量，既有大小又有方向. 2.根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？ 提示：先求cos＜a，b＞＝，再根据余弦值求＜a，b＞. 3.一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？ 提示：一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两向量的数量积是一个实数.（　√　） （2）向量a在b上的投影仍为向量.（　√　） （3）向量a在b方向上的投影的数量与向量b在a方向上的投影的数量相等.（　×　） 2.已知平面向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝，则a·b＝（　　） A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.0 解析：B　因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝，则a·b＝｜a｜｜b｜cos＝2×3×＝3. 3.已知｜a｜＝3，向量a与b的夹角为，则a在b上的投影的数量为（　　） A. B. C. D. 解析：D　向量a在b上的投影的数量为｜a｜cos θ＝3×cos ＝.故选D. 4.已知｜m｜＝2，m·n＝8，m与n的夹角为60°，则｜n｜＝　8　. 解析：∵m·n＝｜m｜｜n｜cos＜m，n＞，∴｜n｜＝＝8. 　　题型一 向量的数量积 【例1】　已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°， ∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝3×6×1＝18. 若a与b反向，则它们的夹角为180°， ∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝3×6×（－1）＝－18. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝0. ③当a与b的夹角是60°时， a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝3×6×＝9. 通性通法 　　求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 【跟踪训练】 　（多选）已知a，b，c是三个非零向量，下列选项正确的是（　　） A.a·b＝±｜a｜·｜b｜⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b＝－｜a｜｜b｜ C.a⊥b⇔｜a＋b｜＝｜a－b｜ D.｜a｜＝｜b｜⇔｜a·c｜＝｜b·c｜ 解析：ABC　因为a，b，c为三个非零向量，若｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜cos θ｜＝｜a｜·｜b｜⇔｜cos θ｜＝1⇔cos θ＝±1⇔θ＝0或π⇔a∥b，故A正确.a，b反向⇔θ＝π⇔cos θ＝－1⇔a·b＝－｜a｜｜b｜，故B正确.a⊥b⇔a·b＝0⇔｜a＋b｜2＝｜a－b｜2⇔｜a＋b｜＝｜a－b｜，故C正确.若｜a｜＝｜b｜，＜a，c＞与＜b，c＞不一定相等，故｜a·c｜＝｜b·c｜不成立，当｜a·c｜＝｜b·c｜时，只能说明a，b在c上的投影相等，但｜a｜＝｜b｜不一定成立，故D错误. 题型二 投影向量与投影的数量 【例2】　（1）（多选）已知非零单位向量a和b，若a·b＝－，向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为d，则下列结论正确的是（　ABD　） A.｜c｜＝｜d｜　　　　　　B.a·b＝a·c C.d＝b D.c·d＝－ （2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上投影的数量为　－　，b在a方向上投影的数量为　－4　. 解析：（1）∵a和b为单位向量，∴｜a｜＝｜b｜＝1，又a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝－，∴cos＜a，b＞＝－，∴向量b在向量a上的投影向量c＝｜b｜cos＜a，b＞a＝－a，向量a在向量b上的投影向量d＝｜a｜cos＜a，b＞b＝－b，∴｜d｜＝＝，｜c｜＝＝，A正确，C错误.a·c＝－a2＝－，B正确.c·d＝｜c｜·｜d｜cos＜c，d＞＝×cos＜a，b＞＝×＝－，D正确.故选A、B、D. （2）a·b＝｜a｜·｜b｜cos＜a，b＞＝－12，所以向量a在向量b方向上投影的数量为｜a｜·cos＜a，b＞＝＝＝－；向量b在向量a方向上投影的数量为｜b｜·cos＜a，b＞＝＝＝－4. 通性通法 投影向量与投影向量的求法 （1）向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数； （2）向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos θ.向量b在向量a上的投影向量为｜b｜cos θ·； （3）向量a在向量b上的投影的数量是｜a｜cos＜a，b＞，向量b在向量a上的投影的数量是｜b｜cos＜a，b＞，二者不能混为一谈. 【跟踪训练】 　已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： （1）a在b上的投影向量； （2）b在a上的投影向量. 解：（1）∵｜b｜＝1，∴b为单位向量. ∴a在b上的投影向量为｜a｜cos 120°·b＝3×b＝－b. （2）∵｜a｜＝3，∴＝a， ∴b在a上的投影向量为｜b｜cos 120°＝1··a＝－a. 题型三 向量数量积的综合应用 【例3】　已知a，b是两个非零向量： （1）若｜a｜＝3，｜b｜＝4，｜a·b｜＝6，求a与b的夹角； （2）若｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，求a与a＋b的夹角. 解：（1）因为a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞， 所以｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜cos＜a，b＞｜＝｜a｜｜b｜｜cos＜a，b＞｜＝6. 又｜a｜＝3，｜b｜＝4， 所以｜cos＜a，b＞｜＝＝＝， 所以cos＜a，b＞＝±. 因为＜a，b＞∈[0，π]， 所以a与b的夹角为或. （2）如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作▱OACB， 因为｜a｜＝｜b｜，即｜｜＝｜｜， 所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时＝a＋b，＝a－b， 因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜， 即｜｜＝｜｜＝｜｜， 所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为. 【母题探究】 　（变条件、变设问）若将本例（2）条件“｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜”改为“｜a＋b｜＝｜a－b｜＝2｜a｜”，求向量a＋b与a－b的夹角. 解：如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中， 因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以四边形ABCD为矩形. 在Rt△ABD中，｜a－b｜＝2｜a｜， 所以∠ABD＝. 所以a＋b和a－b的夹角为. 通性通法 求向量夹角的基本步骤及注意事项 （1）基本步骤： （2）注意事项：在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中常利用消元思想计算cos＜a，b＞的值. 【跟踪训练】 1.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝，则向量a，b的夹角为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D.－ 解析：C　设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，因为｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝，所以cos θ＝＝＝，所以向量a，b的夹角θ＝. 2.已知a·b＝－12，｜a｜＝4，a，b的夹角为135°，则｜b｜＝（　　） A.12 B.3 C.6 D.3 解析：C　a·b＝｜a｜｜b｜cos 135°＝－12，又｜a｜＝4，所以｜b｜＝6. 1.已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，a，b的夹角为θ，若tan θ＝，则a·b的值为（　　） A.1 B.2 C.3 D.－1 解析：A　因为向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，＜a，b＞＝θ，tan θ＝，θ∈[0，π]，则θ＝，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝1. 2.已知平面向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a2＋b2＝（　　） A.2 B.3 C.5 D.－5 解析：C　因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以a2＋b2＝｜a｜2＋｜b｜2＝5. 3.已知｜a｜＝4，e为单位向量，当a，e的夹角为时，a在e上的投影的数量为（　　） A.2 B.－2 C.2 D.－2 解析：B　a在e上的投影的数量为｜a｜cos＜a，e＞＝｜a｜＝＝4×1×cos ＝－2，故选B. 4.若四边形ABCD满足＋＝0，且·＝0，试判断四边形ABCD的形状. 解：因为＋＝0， 所以＝，即AB∥DC，且AB＝DC， 所以四边形ABCD为平行四边形. 又因为·＝0，所以⊥，即AB⊥BC. 所以四边形ABCD为矩形. 1.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是（　　） A.e1·e2＝1 B.e1·e2＝－1 C.e1·e2＝±1 D.｜e1·e2｜＜1 解析：C　因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 180°＝－1.综上所述，e1·e2＝±1. 2.在△ABC中，·＜0，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析：C　因为·＝｜｜｜｜cos A＜0，所以cos A＜0.所以角A是钝角.所以△ABC是钝角三角形. 3.已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为，则a与b的夹角为（　　） A.30°　 　 B.60°　 　　 C.120°　　　 D.150° 解析：A　由题意知｜b｜cos θ＝cos θ＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝30°.故选A. 4.已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则cos＜a，a＋b＞＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　由题意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝＝＝7，所以cos＜a，a＋b＞＝＝＝，故选D. 5.（多选）给出下列判断，其中正确的是（　　） A.若a2＋b2＝0，则a＝b＝0 B.已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则｜a·c｜＝｜b·c｜ C.a，b共线⇔a·b＝｜a｜｜b｜ D.｜a｜｜b｜＜a·b 解析：AB　由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故A正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以｜a·c｜＝｜b·c｜，故B正确；a，b共线⇔a·b＝±｜a｜｜b｜，所以C不正确；对于D应有｜a｜｜b｜≥a·b，所以D不正确.故选A、B. 6.在边长为4的菱形ABCD中∠BAD＝120°，则在方向上的投影的数量为（　　） A.2 B.－2 C.－2 D.2 解析：C　由题意知向量和的夹角为120°，所以在方向上的投影的数量为｜｜cos 120°＝4×＝－2.故选C. 7.已知长为4的向量a与单位向量e的夹角为，则向量a在向量e方向上的投影向量为　－2e　. 解析：向量a在向量e方向上的投影向量为｜a｜cos ·e＝4×e＝－2e. 8.已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝3，AC＝5，则·＝　8　. 解析：如图，取AC的中点D，AB的中点E，并连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥AB.∴·＝，·＝，∴·＝·（－）＝·－·＝－＝×52－×32＝8. 9.已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则·的值为　1　，·的最大值为　1　. 解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝｜｜｜｜·cos θ. 由图可知，｜｜cos θ＝｜｜，因此·＝｜｜2＝1. ·＝｜｜｜｜cos α＝｜｜cos α，而｜｜cos α就是向量在上的投影的数量， 当在上的投影的数量最大，即投影的数量为｜｜时，·取得最大值，所以·的最大值为1. 10.已知a·b＝－9，a在b方向上投影的数量为－3，b在a方向上投影的数量为－，求a与b的夹角θ. 解：∵∴ 即∴ ∴cos θ＝＝＝－. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 11.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字.宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛地出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，BC＝－1，AB＞BC，那么·的值为（　　） A.－1 B.＋1 C.4 D.2＋2 解析：C　由黄金矩形的定义，可得AB＝2.在矩形ABCD中，cos∠CAB＝，则·＝｜｜｜｜cos∠CAB＝｜｜2＝4. 12.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，且a·b＝4，则a与b的夹角为　　.若向量c，d满足c为单位向量，c·d＝4，＜c，d＞＝，则｜d｜＝　8　. 解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.因为c为单位向量，所以｜c｜＝1，由向量数量积公式得c·d＝｜c｜·｜d｜·cos＜c，d＞，得4＝1×｜d｜×cos ，所以｜d｜＝8. 13.已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61. （1）求a·b的值； （2）若a在b方向上的投影向量为c，求c·（a＋b）的值. 解：（1）∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61， ∴4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61，又｜a｜＝4，｜b｜＝3， ∴64－4a·b－27＝61，则a·b＝－6. （2）∵c＝×＝－. ∴c·（a＋b）＝－b·（a＋b）＝－（a·b＋b2）＝－×（－6＋9）＝－2. 14.（多选）对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是（　　） A.若a·b＝b·c，则a＝b B.若a⊥b，则a·b＝（a·b）2 C.若a∥b，则a在b上的投影的数量为｜a｜ D.若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），则a∥b 解析：BD　对于选项A，若a·b＝b·c，则（a－c）·b＝0，故A错误；对于选项B，若a⊥b，所以a·b＝0，则a·b＝（a·b）2，故B正确；对于选项C，若a∥b，则a在b上的投影的数量为±｜a｜，故C错误；对于选项D，若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），推出a＝－b，由平行向量基本定理可知a∥b，故D正确.故选B、D. 15.如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4，E为腰BC上的动点.求·的取值范围. 解：如图，过E作EE'⊥AB，垂足为E'，过C作CC'⊥AB，垂足为C'. 则在上的投影为， ∴在上的投影的数量为｜｜， 由向量数量积的几何意义知·＝｜｜·｜｜＝4｜｜. ∵点E在腰BC上运动， ∴点E'在线段C'B上运动， ∴｜｜≤｜｜≤｜｜， ∴2≤｜｜≤4， ∴8≤4｜｜≤16， ∴·的取值范围是[8，16]. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $